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02二次函数综合综合压轴题（浙江省最新考题） 试题分析
一、单选题
1 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；斜边的中线等于斜边的一半；三线合一；面积问题(二次函数综合)；根据矩形的性质与判定求面积；用勾股定理解三角形
2 0.45 动点问题的函数图象；其他问题(二次函数综合)；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
3 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；根据一元二次方程根的情况求参数；利用不等式求自变量或函数值的范围
二、填空题
4 0.45 求三角形外心坐标；求抛物线与x轴的交点坐标；面积问题(二次函数综合)
5 0.4 其他问题(二次函数综合)；根据菱形的性质与判定求面积；解直角三角形的相关计算
三、解答题
6 0.43 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)
7 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
8 0.45 其他问题(二次函数综合)；求抛物线与x轴的交点坐标；待定系数法求二次函数解析式；y=a（x-h） +k的图象和性质
9 0.42 求一元一次不等式的解集；抛物线与x轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；线段周长问题(二次函数综合)
10 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=a（x-h） +k的图象和性质；把y=ax +bx+c化成顶点式
11 0.45 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
12 0.42 其他问题(二次函数综合)；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等
13 0.45 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；线段周长问题(二次函数综合)
14 0.36 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值
15 0.35 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；根据正方形的性质求线段长；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
16 0.38 其他问题(二次函数综合)；y=a（x-h） +k的图象和性质
17 0.42 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；根据二次函数的对称性求函数值；利用不等式求自变量或函数值的范围；把y=ax +bx+c化成顶点式
18 0.45 其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移
19 0.46 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
20 0.14 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；抛物线与x轴的交点问题
21 0.4 其他问题(二次函数综合)；相似三角形的判定与性质综合；求圆锥底面半径；待定系数法求二次函数解析式
22 0.23 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；相似三角形的判定与性质综合；待定系数法求二次函数解析式
23 0.27 其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；y=a（x-h） +k的图象和性质；把y=ax +bx+c化成顶点式
24 0.15 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；抛物线与x轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)02 二次函数综合综合压轴题
（浙江省最新考题）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2026·浙江宁波·三模）如图，在矩形中，点在边上，且，动点以每秒个单位的速度从点出发，在矩形中沿匀速运动，到达点时停止运动，以为底边作等腰直角三角形．设点运动的时间为秒，等腰直角三角形的面积为，关于的函数图象如图所示．若存在个时间，，所对应的面积均相等，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图像上
3．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2026·浙江宁波·三模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____．
5．（2026·浙江温州·模拟预测）如图1，在菱形中，点O是上的动点，过点O分别作的平行线，交于点E，F，G，H．连接．设为x，与的面积之和为y，y关于x的函数图象如图2，图象经过，且最低点．当的面积是的4倍时，则y的值为________．
三、解答题
6．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数（a为常数，且）．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)若，当时，函数的最大值为1，求的值；
(3)在（2）的条件下，如果，在二次函数（）的图象上，其中，求的最大值．
7．（2026·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）．
(1)若二次函数图象经过点，求该函数表达式与顶点坐标．
(2)当时，二次函数有最大值，求的值．
(3)若抛物线与题（1）中抛物线交于，两点（如图所示），且这两点的横坐标分别是与，两条抛物线在，两点之间形成一个封闭曲线．求证：封闭曲线所围成的图形面积大于．
8．（2026·浙江嘉兴·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为．
(1)若二次函数的图象过点．
①求该二次函数的表达式；
②当时，此二次函数的最大值为P，最小值为Q，求的值；
(2)已知线段的两个端点坐标分别为，，当二次函数的图象与线段有两个交点时，求m的取值范围．
9．（2026·浙江金华·二模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），且．将抛物线向右平移个单位后得到抛物线，并与轴交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求的值．
(2)若点恰好为的中点，则当时，求的取值范围．
(3)若直线与抛物线，均有两个交点（交点均无重合），且相邻两交点之间的距离均相等，求的值．
10．（2026·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线，点，都在函数图象上，．
(1)求二次函数的解析式及顶点坐标．
(2)当，始终有，直接写出的取值范围．
(3)若点在一次函数的图象上，过点的直线平行于轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若，求的取值范围．
11．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数（）．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求函数的解析式；
(3)已知，为该函数图象上两点，当时，，求的取值范围．
12．（2026·浙江台州·二模）如图，若四边形内接于，对角线，相交于点，是直径，．
(1)求证：．
(2)若点是半径上一点．
①求证：；
②若，求的最大值．
13．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点．点为抛物线上第一象限内的动点，设点的横坐标为．
(1)求的值．
(2)当时，记二次函数的最大值、最小值分别为，．若，求的值．
(3)过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足分别为点，，当矩形的周长最大时，求点的坐标．
14．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数且）．
(1)求该二次函数图象的对称轴．
(2)当时，有最小值，求的值．
(3)若，在该函数图像上，当，时，总有，求的取值范围．
15．（2026·浙江温州·二模）抛物线（b为常数）经过点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当时，二次函数的最大值为15，求t的值．
(3)已知正方形的边长为9，轴，在下方，点A在点B的左侧．在正方形任意平移的过程中，抛物线的一段（）在正方形的边界及其内部，其中，当达到最大值时，求点D横坐标的取值范围．
16．（2026·浙江嘉兴·二模）已知抛物线经过，，这三点中的两个点．
(1)求的值；
(2)已知（其中），
①若此时函数的最小值为，求实数的最大值；
②设是一条平行于轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线距离为的点的个数记作．当，时，，求直线与的交点坐标．
17．（2026·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点．
(1)求点的坐标（用含的代数式表示）．
(2)直线交抛物线于点．
①若点恰为的中点，求此时，的值．
②点在抛物线上，当时，始终成立，求的取值范围．
18．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围．
(3)若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值．
19．（2026·浙江台州·二模）二次函数经过，两点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)点，为该二次函数图象上满足 的部分上的两个点，且，求的取值范围．
20．（2026·浙江台州·二模）已知抛物线．
(1)求该抛物线与x轴的交点．
(2)点和分别在抛物线和上．
①当时，两抛物线有交点，且时，A，B两点间距离最大为2，求a的值．
②若恒成立，请直接写出a的取值范围．
21．（2026·浙江温州·模拟预测）《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形，，点O为底面圆心，直径为6，高为．过点O作交于点D，沿的方向切割圆锥会得到形状为抛物线的截线，该截线交底面于，D为抛物线顶点．
(1)求的长．
(2)正方形的顶点G，H在该抛物线上，点M，N在上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形的面积．
22．（2026·浙江·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
(1)求的值；
(2)求的最大值；
(3)当时，的取值范围是，且，求的值．
23．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知抛物线（为常数）．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若抛物线与轴交于点．
①求的值．
②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值．
24．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（为常数）图象经过点．
(1)求二次函数表达式．
(2)过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值．
(3)设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值．
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参考答案
题号 1 2 3
答案 C B C
1．C
等腰直角以为底，则面积为，即，当到点时，代入得；在中，，解得，即可判断A；当到点时，得．矩形中，，在中列方程，解得，进而即可求出，即可判断B；在上运动时，面积为，是关于对称的抛物线，同一时，，，，进而即可判断C和D．
解：设，斜边上的高为，
∴，
∴，
设，
∵点P速度为1单位秒，t秒后，
在中，，
∴，
∴，
由图2可得，当（P到达B点）时，，
∴
解得，
∴，故选项A正确；
当点P在运动时，过E作于F，如图，
在矩形中，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，t秒后，
∴，
在中，
∴，
当P到达C点时，此时，由图2可得，，
∴
解得，
∴，，，
在中，，，
∴，故选项B正确；
当时，，此时抛物线随着t的增大而增大，
由题意得，，
∴当时，
，
当时，是先减后增的抛物线，顶点在，
由题意得，，
∵
，
∴，．
∴，故选项D正确；
∴，
∴不恒成立，故选项C错误．
2．B
首先结合图像确定，结合点的纵坐标相等，根据二次函数图像的对称性质可得此段函数图像的对称轴为，过点作于点，连接，即，证明，利用相似三角形的性质可解得，故选项A错误；在中，由勾股定理可得，易得，故选项B正确；当点与点重合时，取最大值，解得此时 ，故选项C错误；当时，利用勾股定理解得，易得点不在该函数图像上，故选项D错误．
解：如下图，根据题意，可得当点在线段上时，函数的图像为段，
当点在线段上时，函数的图像为段，
当，即点与点重合时，，
即，解得（负值舍去），
当点运动到点，即点与点重合时，，
即，解得（负值舍去），
∴，
由函数图像可知，点的纵坐标相等，即两点的中点在此段函数图像的对称轴上，即此段函数图像的对称轴为，
如下图，过点作于点，连接，
当点与点重合时，取最小值，即取最小值，
∴取最小值，此时，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，故选项A错误，不符合题意；
在中，，
∴，故选项B正确，符合题意；
当点与点重合时，取最大值，即此时，
∵，
∴，
即，故选项C错误，不符合题意；
当时，如图，即，
∴，
∴，
∴点不在该函数图像上，故选项D错误，不符合题意．
3．C
先由二次函数解析式得出其对称轴为直线，再根据“在的图象上有且仅有一个二倍点”的条件，联立抛物线与直线得到一元二次方程，分别求出抛物线与直线相切（令）时的和抛物线过点时的，最终确定c的取值范围为．
解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点，
如图所示，当抛物线与相切时，，即，令，可得，当抛物线过点时，可得，所以．
4．/
先求得、，易得，则是等腰直角三角形，即；由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得，．易得是等腰直角三角形，如图：过D作于N，过C作于M，证明可得，设，则，，即，解得：；然后用m表示出、，最后代入求值即可．
解：∵令时，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵令时，，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点D为的外心．
∴，．
∵，
∴是等腰直角三角形，
如图：过D作于N，过C作于M，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴的面积；
∵过D作于N，，
∴，
∴的面积为，
∴．
5．10
如图1所示，设交于点P，交于点Q，，可证明四边形是菱形，四边形是菱形，且，则，，， ，求出；设，则解直角三角形可推出，则可得到，由二次函数的性质可得当时，y有最小值，据此可求出，根据图象经过，可得；则，，当的面积是的4倍时，则，解得或（舍去），据此求出y的值即可得到答案．
解：如图1所示，设交于点P，交于点Q，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，，
同理可证明四边形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，y有最小值，
∵在图2中，函数图象的最低点为，
∴，
∴，
∴，
∵图象经过，
∴，
解得；
∴，
，
当的面积是的4倍时，则，
解得或（舍去），
∴．
6．(1)对称轴为直线；
(2)；
(3)．
（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）先判断出点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，然后求出，最后根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：二次函数，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，
抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为直线，且，
当时，函数值在处取得最大值，
将，，代入，
得，解得；
（3）解：由（2）得，，
，
，
自变量的取值范围位于对称轴的左侧，
∴如图，点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，
∵ ，
∴当时，函数值离对称轴越远值越大，
∴要使取得最大值，，，
∴，
整理得，，
∵，
∴当时，.
7．(1)，顶点坐标为
(2)或
(3)证明：由题（1）知抛物线的顶点为，
与轴的交点为，抛物线与轴交点为，连接，如下图所示
，
将与分别代入，
得，，
四边形的面积，
设直线的解析式为，
将点，点代入，得，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
，，
的面积，
四边形的面积的面积，
封闭曲线所围成的图形面积大于．
（1）运用待定系数法和顶点的坐标公式即可求出；
（2）抛物线的对称轴为直线，根据对称轴在区间的位置，分类讨论取得最大值的条件，求出的值；
（3）求出抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标，抛物线与轴交点坐标，以及，两点的坐标，再以轴为底，点B与点D两点的横坐标之差为高，求出四边形的面积；求出过、两点的直线的解析式，过点作轴交于点，以为底，求出的面积，四边形的面积与的面积之和大于2，证明成立．
（1）解：将点代入，得
，解得，
该函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
，顶点坐标为．
（2）解：抛物线，开口向下，对称轴为直线，
①若，即，当时，，解得，
这与矛盾，舍去；
②若，即，当时，，
解得，，
，
；
③若，即，当时，，解得；
综上所述，或．
（3）略
8．(1)①；②
(2)
（1）把点代入代入求解即可；
②把化为顶点式，利用二次函数的性质求出最大值为P，最小值为Q，然后相减即可；
（2）令，求出，，进而可求出m的取值范围．
（1）解：①把点代入，
得，
，
二次函数的表达式是；
②且，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线，离对称轴越远，函数值越小，
当时，的最大值是4，即，
∵，
∴当时，的最小值是0，即，
；
（2）解：令，得，
，
，
解得，，
二次函数的图象与线段有两个交点，
．
9．(1)
(2)
(3)或
（1）令，则，结合，列方程即可求出；
（2）根据题意可得，进而得到，再解不等式即可；
（3）先表示出四个点坐标，，，再分和两种情况求解．
（1）解：令，则，
解得：，
所以，
所以，
则；
（2）解：由(1)知，
向右平移个单位后，得到，
因为，
所以的中点为，
点为的中点，即
将代入得：，
解得（负值已舍），
所以，
当时，即，
整理得，
解得；
（3）直线与联立得：，
解得：，
所以交点为，
直线与联立得：，
解得：，
所以交点为，
，
，
当时，即，解得，如图：
则，即，
整理得：，即，
解得，
当时，即，解得，如图：
则，即，
整理得：，即，
解得，
综上，或．
10．(1)二次函数解析式为，顶点坐标为
(2)
(3)
（1）将原函数解析式变为，根据函数图象的对称轴为直线，得出，求出m的值，即可得出函数解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）根据二次函数解析式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数增减性得出当时，y随x的增大而减小，根据，得出当时，对任意都有；再求出当时，使得对任意都有成立的的取值范围，即可得出答案；
（3）根据对称性得出，根据在一次函数的图象上，且，得出，根据，求出的范围，再根据求出的范围，最后求出结果即可．
（1）解：，
∵函数图象的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为：
，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵函数解析式为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，对任意都有，
当时，要使得对任意都有，
∴小于的最小值，
∵当时，y随x的增大而减小，且，
∴当时，取最小值，且最小值为，
∴，
∴，
解得：，
又∵，
∴此时；
综上，当时，对任意都有；
（3）解：根据题意，直线l的方程为，
∵，在直线l上，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
∴，
∵在一次函数的图象上，
∴，
又∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
即，
解得：或，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
11．(1)对称轴为直线
(2)
(3)
（1）利用对称轴公式，将代入，直接计算得对称轴；
（2）由知抛物线开口向上，在时，最大值在离对称轴更远的端点处取得，代入，，即可求出，从而得到解析式；
（3）由、纵坐标相同，知两点关于对称，设，，则，结合，得，将代入函数得，因为所以该函数的最小值要大于等于4，结合二次函数的性质，分和讨论即可求解．
（1）解：对称轴为直线．
（2）解：，图象开口向上，对称轴为直线，
当时，越远离对称轴函数值越大，
当时，的最大值为5，
，
，
．
（3）解：点和在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
这两点关于抛物线的对称轴对称，
由(1)可知，对称轴为直线，
，
，
设点，到对称轴的距离为()，则有：
，
，
解得的取值范围为：，
将代入函数解析式求：
当时，恒成立，分情况讨论：
①当时：
抛物线开口向上，在范围内，随的增大而增大。
当时，取得最小值，
要使恒成立，只需，即：
，
，
，
此时满足的条件；
②当时：
抛物线开口向下，在范围内，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
要使恒成立，只需，即：
这与前提条件矛盾，故此时无解（舍去）；
综上所述，的取值范围是．
12．(1)见详解
(2)①见详解②
（1）由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，即可得证；
（2）①连接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可得，即可得证；
②设，则，，，由二次函数的性质即可求解．
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：设，则，
，
，
，
，
点是半径上一点，
，
，
的最大值为．
13．(1)
(2)
(3)或
（1）根据对称轴公式，即可求解；
（2）先求得抛物线与轴的交点坐标，进而由，得出，分两种情况：①若，则，②若，则，分别求得，根据，列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（3）由题意得，，设矩形的周长为L，分两种情况讨论，①点P在对称轴左侧时，②点P在对称轴右侧时，表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：由，得．
（2）由（1）得，令，得，，
所以．
分两种情况：
①若，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，
解得（舍去），．
②若，则，当时，；因为，所以．
又因为当时，，所以该情况不存在满足条件的点P．
综上所述，
（3）由题意得，，设矩形的周长为L，则：
①点P在对称轴左侧时，如图，，
时L最大．
当L最大时，点．
②点P在对称轴右侧时，根据对称性得．
所以点P坐标为或．
14．(1)
(2)
(3)或
（1）直接利用二次函数的性质求解即可；
（2）由二次函数的性质可得当在的范围内，有最小值，然后分、两种情况求解即可；
（3）分、两种情况，分别根据二次函数的性质列不等式求解即可．
（1）解：∵二次函数（为常数且），
∴对称轴为直线．
（2）解：∵对称轴是直线，
∴当在的范围内，有最小值，
当时，当时，有最小值，即图象经过，代入得：
，解得：．
当时，当时，有最小值，即图象经过，
与图象经过矛盾，不存在．
综上，．
（3）解：∵二次函数（为常数且），
∴对称轴为直线．
①当时，抛物线开口方向向上，对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵总成立，点的横坐标关于直线的对称点的横坐标是，
∴，即．
②当时，抛物线开口向下，
∵，
∴,解得：；
综上，或．
15．(1)
(2)，
(3)
（1）将点代入中，即可解出答案；
（2）令，解出的取值，将按照在对称轴左侧，右侧和两侧进行分类，从而解出答案；
（3）根据题意，线段在二次函数顶点的下方或者过顶点，横坐标为的两个点的纵坐标相等，是两点之间的距离，欲使最大，离顶点越远越大，所以线段过顶点时的值最大，从而解出答案
（1）解：把代入，得，
解这个方程，得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：令，则，
解这个方程，得，，
由题意知，二次函数开口向上，对称轴为，
∵均距对称轴4个单位长度，与相距2个单位长度，
又当时，二次函数的最大值为15，
∴不在对称轴两侧；
∴当在对称轴的左侧时，在处取得最大值，则，
当在对称轴的右侧时，在处取得最大值，
则，即；
，；
（3）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的一段（）在边长为9的正方形的边界及其内部，且，
∴不能在顶点上方，
因为正方形边长为9，再由图像可知，当线段过顶点时，必能取得的最大值，
此时线段与二次函数的交点的纵坐标为，
令，则，解得，
即的最大值为，
∵，
∴此时，
①当点与点重合时，，
②当点与重合时，，
∴时，达到最大值，且二次函数图象在正方形的边界及内部．
16．(1)6
(2)①；②
（1）根据抛物线的性质得到，两点均在抛物线上，把点的坐标代入函数解析式得到方程组，解方程即可求出即可；
（2）①根据二次函数的性质求出，即可得到答案；②由题意可知当且仅当时，，求出经过，两点的一次函数为，进一步即可求出直线与的交点坐标．
（1）解：抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，函数值随的增大而减小，
∴由，两点坐标可知不在抛物线上．
由此可知，两点均在抛物线上，
将，代入，
可得
解得，
；
（2）解：①由（1）可知，，
∴，即．
当时，，
∴根据抛物线关于对称可知，
当时，．
又由于抛物线开口向下，函数的最小值为，
，
解得，
又，
，
的最大值为；
②由题意可知当且仅当时，，
设经过，两点的一次函数为，
将，代入，
可得
解得，
即经过，两点的一次函数为，
设直线与的交于点，
，
∴在中令，
解得，
∴直线与的交点．
17．(1)
(2)；②或
（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①依题可得点，代入解析式即可求出答案；②根据已知条件表示出各个点的坐标，根据题列出关于t的不等式，解不等式即可求出答案．
（1）解： ，
顶点．
（2）解：①为线段的中点
，关于原点成中心对称
点．
将点代入 ，
得 ，
解得（舍去）．
②设直线解析式为
解得
直线解析式为．
直线交抛物线于点，
可得．
当时，，点关于直线的对称点横坐标为．
当时，如图3，
，
，解得．
当时，如图4，
，
，解得 ．
或．
18．(1)
(2)
(3)或
（1）首先根据题意易得二次函数图像的对称轴为直线，然后利用待定系数法求解即可；
（2）结合（1）中二次函数解析式可得，，由可得关于的不等式，求解即可获得答案；
（3）首先将该二次函数解析式化为顶点式，然后分二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度和二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度，结合函数图像求解即可．
（1）解：二次函数的图像经过点，，，
二次函数图像的对称轴为直线，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：由题意，得，
，
，
，
解得，
m的取值范围为；
（3）解：∵，
可分情况讨论：
①当二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度时，如下图，
新函数的表达式为，当时，新函数取到最大值1，
，
解得或（舍去），
；
②当二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为，
对称轴为直线，
当时，如下图，
新函数在处取得最大值1，即，
解得，都不符合题意，舍去；
当时，如下图，
新函数在处取到最大值，最大值为4，不合题意，舍去；
当时，如下图，
新函数在处取到最大值1，即，
解得或（舍去），
．
综上所述，或．
19．(1)
(2) 或
(3) 或
（1）将，代入解析式计算即可；
（2）分别求出和时，x的值，即可得答案；
（3）先求出时，x的值，再根据n的范围和二次函数的性质，分情况讨论即可．
（1）解：将，代入解析式得

解得
函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得或2，
当时，，
解得或，
因为二次函数的图象开口向上，对称轴是，
x的取值范围是： 或 ；
（3）解：，，
，，
，
当时，或，
，，，
点P，点Q在对称轴的右侧或点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，
在对称轴的右侧时，，，或，，
，即 ；
在对称轴的两侧，点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，，，
，即，
或．
20．(1)该抛物线与x轴的交点为和，
(2)；②
（1）令，然后解方程即可得抛物线与x轴交点坐标；
（2）①先求得，，再根据两点横坐标相同，得到两点距离为纵坐标差的绝对值，联立抛物线得到交点横坐标，根据二次函数性质得到最大值的位置，列方程求解结合即可解答；② 将恒成立问题整理化简，分类讨论一次项系数的情况，即可得到a的取值范围．
（1）解：令，代入得 提取公因式得，
∵，
∴或，
∴抛物线与x轴交点为和．
（2）解：① ∵点和分别在抛物线和上，
∴，，且点A、B的横坐标相同，
∴，
联立两抛物线方程得 整理得，解得或，
∴交点的横坐标为
当时，A、B两点间距离：，
∵，
∴，即抛物线开口向下，对称轴为：
∴A，B两点间距离的最大值在对称轴处取得，且最大值为 2，
∴，解得：或（舍弃）
② ∵恒成立，
∴，即
①当，即时，恒成立，符合题意；
②当，即时，
函数是一次函数，且y随t的增大而增大，当 t 足够大时，值会大于 0，不满足恒成立．
③当，即时，
函数是一次函数，且y随t的增大而减小，最大值在处，即时的值为．
要使时，恒小于 0，需时，，解得：，
∴．
综上，a的取值范围是的取值范围是．
21．(1)
(2)，9
（1）根据题意可得，，，勾股定理求出，证明，即可得．
（2）以的中点O为原点，为x轴，垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则顶点，求出抛物线的表达式，设，则点，代入抛物线表达式中，求出，即可解答．
（1）解：根据题意可得，，，
，
，，
，
，
．
（2）解：以的中点O为原点，为x轴，垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，
，
∴顶点，
设抛物线的表达式为，
将点代入得，，解得，
．
设，则点，代入抛物线表达式中，得，
解得（舍去负值），
∴，，
∴正方形的面积为9．
22．(1)
(2)
(3)
（1）把代入即可求得，把代入即可求得；
（2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解；
（3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解．
（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为．
（3）解：由得，
∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，．
23．(1)直线
(2)①或8；②或24
（1）先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可；
（2）①直接将代入抛物线得到t的方程求解即可；②分和8两种情况解答即可．
（1）解：∵（为常数），
∴对称轴为直线．
（2）解：①把代入得：，解得：或8．
②由①得：或8，
当时，，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且，
∴下方的平行线不能在顶点上方，
∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，
∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和，
∴，两交点为，此时，为直线，
∴；
当时，，
∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且，
∴下方的平行线在顶点上方，
∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，
∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴，
∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为，
∴．
综上，或24．
24．(1)
(2)
(3)6
（1）将代入，求出a的值，即得函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由得点在对称轴右边，点在对称轴左边．设点，则点，由B、C关于对称轴对称，得，求出s，即可求出t值；
（3）根据二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值，得直线与二次函数图象相切，直线与二次函数图象相交，求出b的值，得到另一条直线的解析式，联立解方程即得．
（1）解：将代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为．
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
设点，则点，
∵，
∴
∵
∴,
∴，
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴不合；
当时，
解得，
∴，符合．
综上，的值为．
（3）解：∵，
∴二次函数在的图象端点分别位于对称轴的两侧，
∵二次函数图象开口向下，直线在直线的上方，
∴当直线和二次函数图象相切时，
直线和二次函数图象两交点间的水平距离最大，
的值最大，
设直线和这一段图象切点为，
∴，
化简得．
∴，
解得，
∴另一条直线为．
∴当端点在直线上时，
设端点为，，
端点满足，
解得．
又，
故为使最大，
取．
故的最大值为6．
本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图象性质，一次函数图象和性质，二次函数图象与一次函数图象交点，是解题的关键．
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