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06圆中角的计算综合压轴题（浙江省最新考题） 试题分析
一、单选题
1 0.4 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；同弧或等弧所对的圆周角相等；用勾股定理解三角形
2 0.4 根据平行线的性质求角的度数；求扇形面积；三角形角平分线的定义；圆周角定理
3 0.4 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求证；半圆（直径）所对的圆周角是直角
4 0.4 利用垂径定理求值；圆周角定理；坐标系中的动点问题（不含函数）
二、填空题
5 0.4 解分式方程（化为一元二次）；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角
6 0.4 等腰三角形的性质和判定；成比例线段；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角
7 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；用勾股定理解三角形
8 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
9 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；用勾股定理解三角形
三、解答题
10 0.42 解直角三角形的相关计算；三角形的外角的定义及性质；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用弧、弦、圆心角的关系求解；利用弧、弦、圆心角的关系求证；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等；等边三角形的判定；等边三角形的判定和性质
11 0.42 与三角形中位线有关的求解问题；解直角三角形的相关计算；求特殊三角形外接圆的半径；利用垂径定理求值；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；点与圆上一点的最值问题
12 0.35 利用同角三角函数关系求值；利用垂径定理求值；根据等角对等边证明边相等；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
13 0.42 相似三角形的判定与性质综合；求角的正弦值；圆周角定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角
14 0.35 含30度角的直角三角形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；圆周角定理；利用平行四边形的性质求解
15 0.42 与三角形中位线有关的求解问题；直角三角形的两个锐角互余；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角
16 0.45 解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
17 0.38 解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理
18 0.38 垂径定理的推论；y=ax +bx+c的最值；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等
19 0.45 利用弧、弦、圆心角的关系求解；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用弧、弦、圆心角的关系求证；全等的性质和HL综合（HL）；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；根据矩形的性质与判定求线段长
20 0.45 相似三角形的判定与性质综合； 求圆弧的度数；半圆（直径）所对的圆周角是直角
21 0.43 与三角形中位线有关的求解问题；解直角三角形的相关计算；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；根据等角对等边证明等腰三角形；圆周角定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；用勾股定理解三角形
22 0.36 解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；圆周角定理
23 0.15 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求证；圆周角定理06 圆中角的计算综合压轴题
（浙江省最新考题）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2026·浙江湖州·二模）如图，已知（），，，（，都是常数）．过，，三点的圆与的平分线交于点，连接．当变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江丽水·二模）如图，，的角平分线交于点，以的中点为圆心，为半径的半圆分别交，于点，，连接，，．若，，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
4．（2026·浙江嘉兴·二模）已知平面直角坐标系内的三点，，，其中，两点的坐标分别为，，点满足（为坐标原点），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，以为直径作⊙分别交于点D，E，过点E作交⊙于点F，连接，若，则的长为_____．
6．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，内接于，，连接并延长，交于点，交于点，在上取一点，连接，交于点，若，则______．
7．（2026·浙江·模拟预测）如图，内接于，，过点C作，交于点D，过D作于点E，交于点M，连接．若点M是的中点，则_______．
8．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为的中点，以线段为直径的交于点，过点作，交于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则_______．
9．（2026·浙江·模拟预测）如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为_____．
三、解答题
10．（2026·浙江杭州·三模）如图1，为外接圆，点、分别为，中点，连结、、，分别与、交于点、．已知．
(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，求证：是等边三角形．
(3)在（2）的基础上，若，求．
11．（2026·浙江温州·三模）已知的直径为7，弦，作内接于过的中点D作于点E．
(1)当边经过圆心O时（如图1），
①求的长；
②过点A作于点F（如图2），求的值．
(2)当边不经过圆心O时（如图3），
①过点A作于点F，连结，求的值；
②连结，请直接写出的最大值．
12．（2026·浙江台州·三模）如图1，在中，，分别是边，上的点，且，过，，三点的交于点．
(1)连结，求证：．
(2)如图2，，为的直径，设，，
①请用的代数式表示．
②若将线段关于直线对称，点的对应点，连结，若时，求的值．
13．（2026·浙江杭州·二模）如图，以的直角边为直径作，过A作斜边的垂线交于点D，连接，交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：．
(2)当时，求的值．
(3)若，且把的面积分成的两部分，求的长．
14．（2026·浙江金华·二模）如图，已知点为射线上的动点，作，使，过点，，作⊙与交于点，连接．点为上的一点，连接交于点，交⊙于点，且．
(1)证明：．
(2)若，，求的长．
(3)若，求的值．
15．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，以为直径作交于点，是上一点，连接交于点，连接，，．
(1)若，求的长．
(2)若，．
①求证：．
②记和的面积分别为和，求的值．
16．（2026·浙江温州·二模）为半圆的直径，半径交弦于点，已知．
(1)如图1，连接，
①求证：；
②若，，求的长．
(2)如图2，连接，，若，，求半圆的半径．
17．（2026·浙江宁波·二模）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．
(1)求证：．
(2)已知，，且．
①求证：；
②当时，求的周长．
18．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)设，当时，求的取值范围．
19．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）．
(1)求证：．
(2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长．
20．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F，分别过点A，B作于点G，于点H．
(1)已知，求弧的度数．
(2)求证：．
(3)已知，，求的长．
21．（2026·浙江绍兴·一模）如图，四边形内接于圆O，为直径，，交于点G，，垂足为E，交于点F．
(1)如图1，证明：．
(2)如图2，连结，若，求的度数．
(3)如图3，连结，若，，求四边形的面积．
22．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D．
(1)如图1，连接，若，，
①求的度数；
②若又满足，，求的长．
(2)如图2，过点D作，交于点E，连接，若，求证：．
23．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G．
(1)如图2，若经过点O．
①求证：．
②若，，求的半径．
(2)若，，，求y关于x的函数表达式．
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参考答案
题号 1 2 3 4
答案 B C D B
1．B
在上取点，使得，过点作于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而可得为等腰三角形，结合等腰三角形的性质可得，进而可得；设，在和中，利用勾股定理，用含的代数式表示，，结合可得，易得的值不变，选项B符合题意；而当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意．
解：如下图，在上取点，使得，过点作于点，
则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，都是常数，
∴为常数，即的值不变，选项B符合题意；
当变化时，的长度均发生变化，故，，的值均变化，选项A、C、D不符合题意．
2．C
本题考查圆周角定理、角平分线的定义、平行线的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
利用圆周角定理得到，进而求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，最后利用扇形面积公式求解即可．
解：是半圆的直径，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
扇形的面积为．
3．D
连接，由垂径定理推出，由圆周角定理推出，，得到，即可证明．
解：如图，连接，
∵直径，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即选项D正确；
若平分，则，由已知条件无法证明，故选项A错误；
根据垂径定理可得，不能证明，故选项B错误；
由已知条件无法证明，故选项C错误；
4．B
先确定点B的轨迹为直线，再得到点C的轨迹为圆，确定，，然后分两种情况分析：当时，得出圆半径，，过点D作轴，过点E作轴，交于点G，连接，确定，，结合图形得出，过点D作交圆于点C，此时取得最小值，利用等面积法求解即可；然后利用同样的方法得出，即可求解
解：∵ 点坐标为，
设，则，，
∴ ，即点在直线上，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴点在以为弦，圆心角为的圆上，
∴中点为，的垂直平分线为，
设圆心为，
∵ ，，，
∴，即 ，
解得，，
当时，，
∴圆半径，，
过点D作轴，过点E作轴，交于点G，连接，如图所示：
∴四边形 为矩形，
∴，
∴，
∴
，
过点D作交圆于点C，任取一点，连接，
∵，
∴当点C位于图中位置时，取得最小值，
∴，
解得：
∴的最小值是：；
同理：当时，，
如图所示：，
∴不符题意，舍去，
综上可得：的最小值是：
5．/
连接设相交于点，证明，得到，证明，则，得到，解方程即可求出的长．
解：如图，连接设相交于点，
∵以为直径作⊙分别交于点D，E，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∴半圆，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
整理得到，
解得或（不合题意，舍去）
即的长为．
6．
本题主要考查了圆周角的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的判定以及相似三角形的判定与性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，从而得到角相等，，，利用平行线的判定，求得，通过对应角的相等，求得，，设，利用三角形相似的性质求线段长度即可．
解：如图，连接，
在中，为直径，
，
，
为的中点，
在中，，
，
，，
，
，
且，
，
，
，
且，
，
在中，同弧所对的圆周角相等，
，
且，
，
，
，，
，
，
，
设，在中，
，
，
，
，
解得或（舍），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
7．
连接，证明（），得，，设，，，则，可得，得．由勾股定理得，∵，得①，证明，得，得②，得，，，因为，所以，得．即得 ．
解：连接，
∵，
∴，
又是中点，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
设，，，则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴①，
∵等腰中，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴②，
将②代入①，得，
整理，得，
因式分解，得，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴ ．
8．
连接，设，，，证明得出，进而证明，证明，得出，在中，勾股定理即可求解．
解：如图，连接，
设，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴，则，
∵在中，，为的直径
∴，，
∴，
又∵
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴，即
∵，
∴
∴
∴
解得：
∴
∵，，，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵是的直径，
∴
∴
9．
连接，过点作于点，由圆周角定理得，由勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，求出，判定是等腰直角三角形，求出，证明，得到，即可得到答案．
解：连接，过点作于点，
是圆的直径，
，
，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．(1)证明：∵点、分别为，中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明：∵点、分别为，中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
(3)
（1）由圆周角定理可得，进而得到即可求证；
（2）先证明，得到，即可求证；
（3）过A点作于点H，由三角函数得到和的长，再证明，根据勾股定理可得，再由得出；由，可得，设，则，分别表示出和即可求解．
（1）略
（2）略
（3）解：∵点、分别为，中点，
∴，
∵．，
∴为等边三角形，
过A点作于点H，如图：
∵，
∴．．
∵，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴为等边三角形，即，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，，即，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．(1)①；②
(2)①；②
（1）①根据勾股定理求得，进而根据，代入数据，即可求解；
②证明是的中位线，求得，即可求解；
（2）①连结并延长，交于点，连结，则，，由与都是所对的圆周角得，，根据，即可求解；
②作的外接圆，连接，，过点作于点，根据①可得，得出点的轨迹，进而分别求得的长，即可求解．
（1）①当边经过圆心时，是直径，
∴，，
∵，
∴，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）①连结并延长，交于点，连结，则，，
由与都是所对的圆周角得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）②同理可得：，
∴，
即：．
②∵．
∴
又∵为定值，
如图，作的外接圆，连接，，过点作于点，
∴
∴，则，
∵，
∴在的垂直平分线上，则三点共线，
在
在中，，
∴
∴当在上时，取得最大值，．
12．(1)证明：∵，，
∴，
．
(2)①； ②
（1）圆周角定理、等角对等边．
（2）利用圆周角定理、三角函数、垂径定理计算．
利用圆周角定理、三角函数、对称性质计算．
（1）略
（2）解：如图，连结，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,，
∴，
在,，
∴，
在中，，
∵，
，
，
∴，
∴．
连结,如图，
由对称可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵和是边长，
∴，
∴（不符合题意，舍去），
∴．
13．(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
即．
(2)
(3)的长为或
（1）根据，，，即可证明；
（2）连接，根据等腰直角三角形得到，因此，，过点作垂直，交的延长线于点，易证四边形是正方形，设，则，，，因此；
（3）连接，证明，得到，，再由，得到，因此，进而得出．根据把的面积分成的两部分，有两种情况：当时，设，则，，从而，得到，再根据即可求解．当时，同理求解即可．
（1）略
（2）解：连接，
，
为等腰直角三角形，
，
∵，
∴，
，
过点作垂直，交的延长线于点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴．
设，则，，
∴在中，，
．
（3）解：连接，
是直径，
，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
．
把的面积分成的两部分，有两种情况：
当时，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴．
当时，，
设，则，，
同理可得，，
∴．
综上所述，的长为或．
14．(1)证明：，，
又，
，
，
(2)2
(3)
（1）根据平行四边形的性质结合三角形外角的性质即可证明；
（2）连结并延长交于点，先得到和均为等边三角形，进而可证，得到，再结合边的关系即可求解；
（3）过点作交于点，连结，由平行线分线段比可得，设，则，在中，过点作于点，解三角形得 ，进而得出即可．
（1）略
（2）如图1，连结并延长交于点，
，，
，
和均为等边三角形，
，
又，，
，
，
又，，，
，，
；
（3）如图2，过点作交于点，连结，
，，
，设，则，
，
，
又 ，
，即，
．
在中，过点作于点，
，
，， ，
，
，
由（2）知为等边三角形，
，又，
为等边三角形，
，
，
．
15．(1)
(2)①见解析；②
（1）由圆周角定理可得，利用直角三角形两锐角互余可得，再利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差即可解答；
（2）①设，则，，利用角的和差可得，进而得到，即；再利用等角对等边即可证明结论；②如图：连接并延长交于点．先说明是的中位线可得，．设，利用勾股定理列方程可得．证明可得，即，即；再证明可得，即；最后代入求解即可．
（1）解：∵是的直径，
∴．
∵，，，
∴．
∵，
∴，，
∴．
（2）①证明：设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
②解：如图：连接并延长交于点．
∵，
∴，．
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
设，则有，解得：．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴．
16．(1)①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②
(2)
（1）①由和可得；
②容易证明，则，代入求值即可；
（2）连接，过点作于点，由（1）可得，则，从而证明，则，进一步可得，结合，可得，因此是等腰直角三角形，则．利用三角函数和勾股定理计算出和，从而得到．
（1）①证明略
②解：由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
在中，，
∴，即半圆的半径为．
17．(1)证明：是的外角，
，
又四边形内接于，
（同弧所对的圆周角相等），
．
(2)①证明：由题知是的外角，
，
．
四边形内接于，
（同弧所对的圆周角相等）
（同弧所对的圆周角相等），
，
，
．
，
．
②
（1）根据三角形外角的性质得，因同圆中同弧所对的圆周角相等，得，即可得出结论．
（2）①根据三角形外角的性质得，同弧所对的圆周角相等得，得出，根据三角形相似的判定定理：，根据三角形相似的性质：，得出结论．
②作辅助线如下图，根据三角形外角的性质和同弧所对的圆周角相等得出，由题意，，求出，，由已知，得出，，，又根据，得，根据平行线的判定定理：，又得，即，进而得出结论．
（1）证明：略
（2）① 证明： 略
②解：如图，过点作交于点，过点作交于点．
是的外角，
，
（同弧所对的圆周角相等），
．
由题知，，
设：，则，
根据勾股定理得：，
即：
解得
，．
设，则．
由（2）①知：，即．
在中，，即，解得，（舍去），
，，，
又，设，
，，
根据勾股定理:
解得
．
，
弧弧，
，
，
，
．
．
弧=弧，
弧=弧，
（在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等），
，
．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）根据平行线的性质得到 ，．根据等边对等角得到，则，根据等角的补角相等即可得到结论；
（2）连结，，，证明，则，由即可得到结论；
（3）证明，得到，又由，，得到，设 ，根据二次函数的性质进行解答即可．
（1）证明：，
，．
又，
，
，
；
（2）证明：连结，，，
∵，
，
∵，
．
又由（1）知 ，
，
，即 ，
∵，
；
（3）解：∵在中，，
，
而过点，
，
∵
∴，，
，
又，
，
，
．
又，，
．
设 ，
又 ，
∴当时， ．
当时， ，
即 ，
∴当时， ．
19．(1)
证明：如图，连接、、，
∵是的直径，
∴，
由作图可得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)4
（1）连接、、，由是的直径，得到，进而证明，得到，再利用等弦对等弧即可证明；
（2）过点作于点，则，根据题意可得，得到，再证明，得到，，再证明四边形是矩形，得出，即可得出答案．
（1）略
（2）解：如图，过点作于点，
则，
由作图可得，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)见解析；
(3)
（）利用等腰三角形和圆的性质，找到弧所对的圆心角或圆周角，从而求出弧的度数；
（）根据直径所对的圆周角是直角求出，，结合圆的性质，证出，再结合等腰三角形的性质即可得证；
（）先证出，得到，再根据勾股定理即可求出．
（1）解：连结，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：连接、，
∵为的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（3）解：过点O作于点M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
，
∴，
在中，，
∴，解得，，
∴中，．
本题考查了等腰三角形的性质，圆的基本性质，相似和勾股定理，熟练掌握相关的知识是解决问题的关键．
21．(1)证明：为直径，所以，．
又．
．
．
，
．
，
．
(2)
(3)
（1）根据圆中直径对应的圆周角为和证明即可．
（2）根据已知关系证明，得到F是中点，从而是中位线，故，再根据弧长相等则对应的角相等求得 ，最后求出．
（3）连结，过O作，垂足为H，证明，得出相应边的比例关系，三角形的面积关系，用勾股定理表示出相应边和面积，最后求解．
（1）略
（2）解：由（1）已知，，，
，
．
，
，即F是中点，
O是的中点，
所以．
，，
，
．
，
，
．
（3）解：连结，过O作，垂足为H，所以，
由圆的性质和已知条件得，
由
，
，，
是中点，，
，设，
，
，所以．
，
，，
，
，
，
．
F为BG的中点，
，
，
．
22．(1)①；
②
(2)
证明：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（1）①根据等边对等角得到，根据圆周角定理，等边对等角得到，再根据角的和差计算即可；
②延长交于点M，由角的和差可得，根据特殊角的三角函数值的计算得到，结合题意得到，由此即可求解；
（2）如图，连接，设，由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形是平行四边形，结合题意即可求解．
（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②如图，延长交于点M，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）略
23．(1)①见解析；②2.5
(2)或
（1）①证明，运用证明可得结论；
②连结，得到，证明得出，由得，．求出．令，则．，由勾股定理得，求出．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，证明和均为等腰直角三角形．分别求出和,即可求出．
（1）解：①证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
②连结，
∵，经过点O，
∴．
∴垂直平分，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴在中，．
∴．
令，则．．
∴在中，．
解得．
（2）解：①当点E靠近点D时，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴和均为等腰直角三角形．
∴．
由①得．
∵，
∴．
∴，
设，则，
∴．
∴．
∴．
∴．
②当点E靠近点B时，
同理可证和均为等腰直角三角形，
令，
∴，，
∴，
∴．
∴综合所述可得：或．
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