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11 锐角三角函数压轴题（浙江省最新考题） 试题分析
一、单选题
1 0.4 相似三角形的判定与性质综合；折叠问题；已知正弦值求边长；利用菱形的性质求线段长
2 0.4 全等三角形综合问题；解直角三角形的相关计算；公式法解一元二次方程；利用平行四边形的性质求解
3 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；解直角三角形的相关计算；待定系数法求二次函数解析式；其他问题(实际问题与二次函数)
4 0.4 解直角三角形的相关计算；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
5 0.4 动点问题的函数图象；解直角三角形的相关计算；求一次函数解析式
6 0.45 动点问题的函数图象；y=ax +bx+c的图象与性质；解直角三角形的相关计算
二、填空题
7 0.45 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；相似三角形的判定与性质综合；三角函数综合；根据矩形的性质求线段长
8 0.4 相似三角形的判定与性质综合；矩形与折叠问题；求角的正切值；用勾股定理解三角形
9 0.4 解直角三角形的相关计算
三、解答题
10 0.4 解直角三角形的相关计算；等边对等角；相似三角形的判定与性质综合；切线的性质定理
11 0.46 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；图形问题(实际问题与二次函数)
12 0.45 利用平移的性质求解；根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
13 0.45 其他问题（解直角三角形的应用）
14 0.46 解直角三角形的相关计算；利用平行四边形的性质求解；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
15 0.38 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；利用平行四边形的性质求解
16 0.45 其他问题（解直角三角形的应用）
17 0.38 公式法解一元二次方程；根据矩形的性质求线段长；矩形与折叠问题；求角的正切值
18 0.38 用描点法画函数图象；解直角三角形的相关计算；函数解析式；用勾股定理解三角形；从函数的图象获取信息
19 0.45 解直角三角形的相关计算；分母有理化；求角的正切值；用勾股定理解三角形
20 0.42 其他问题（解直角三角形的应用）
21 0.42 其他问题（解直角三角形的应用）11 锐角三角函数压轴题
（浙江省最新考题）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2026·浙江温州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，中，，，分别在上，连接，，若，与的面积相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（ ）
A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为
C． D．当的最大值为10米时，
4．（2026·浙江杭州·一模）已知：如图，平行四边形中，点是的中点．连接，过点作交边于点．若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江温州·二模）如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形）沿着足够长的斜坡从点向点运动，过点作于点，设为，的值为，如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过点．若．则下列选项正确的是（）
A． B．
C．点在该函数图象上 D．点的纵坐标是2
6．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是从点出发，沿方向运动，，设的长为，的面积为，如图是的面积随着点的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断错误的是（ ）．
A．当点是的中点时，点是的三等分点
B．
C．两段抛物线的形状不相同
D．点在该函数图象上
二、填空题
7．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且．
（1）若，则___________．
（2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）．
8．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．若，则的值为______．
9．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，一个秋千的摆长为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，，则的长度为________m．（结果精确到，参考数据：，，，）
三、解答题
10．（2026·浙江·模拟预测）如图，中，，以为直径的交边于点D，过点D作的切线交于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的值．
11．（2026·浙江杭州·一模）问题提出
(1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________．
问题探究
(2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
问题解决
(3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
12．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，．
(1)如图1，求的面积．
(2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合．
①连接．求的面积．
②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值．
13．（2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）．
(1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米）
(2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内．
（参考数据：，，，）
14．（2026·浙江杭州·一模）【综合与实践】
【定义理解】
设是的平分线，若射线在的内部且关于对称，则称与为的一对等角线．小丽发现，若内部的两条射线满足，则与就是的一对等角线．
【初步应用】
(1)如图①，已知射线与是的一对等角线，，若，求的度数．
【探索发现】
(2)如图②，在平行四边形中，是的一对等角线，分别交于点于点，于点交于点．
①求证：是的一对等角线．
②若，，求的值．
15．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点．
(1)如图1，若，．
①求的度数．
②求证：．
(2)如图2，，点为中点，若，，求的长．
16．（2026·浙江台州·二模）图1是一款可折叠的晾衣架，图2是其侧面结构的几何示意图．已知晾衣架侧面结构中，晾晒杆．若晾晒杆平行于地面时，晾晒杆的端点到的距离为；当支撑杆，向上调节到时，，此时点距离地面的高度最大，求晾晒杆的端点距离地面的最大高度．（结果精确到．参考数据：，，）
17．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，在矩形中，，，E，F分别是，上的点，作四边形关于直线对称的四边形，点D的对称点G落在上，连接．
(1)当G为的中点时，求的长．
(2)如图2，连接．
①若，求的值．
②若，求的长．
18．（2026·浙江绍兴·二模）如图1，在中，，，（），过点作斜边的高，垂足为，设．如图2，第一象限被直线和直线分成四个区域．

(1)求关于的函数解析式．
(2)证明：且，观察并判断函数图象上的点在图2第一象限的哪个区域．
(3)请根据要求，探究题（1）中求得的函数在第一象限内的图象与性质．
列表：（备注：无理数四舍五入到0.001）
… 0.2 0.5 0.8 1 1.2 2 3 4 …
… 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.732 2 3 3.873 4 …
… …
… 0.196 0.447 0.625 0.707 0.768 0.866 0.894 0.949 0.968 0.970 …
①描点：在平面直角坐标系中（图3），先用铅笔描点、连线，确定无误后再用黑色水笔描图．
②写出性质：观察图象（），类比已学函数的研究方法，另外写出一条不同于性质1的性质．
性质1：该函数图象在第一象限．
性质2：___________________．
(4)在上取靠近点的四分点，以点为圆心，长为半径作弧，且与交于点．已知当约为时，取得最大值．据此，求关于的方程有两个不同的正数解时的取值范围（端点值若为无理数则四舍五入到0.001）．
19．（2026·浙江丽水·二模）【阅读理解】
如图1，在中，，，求的值．
求解过程如下：在上取点，使得，构造出等腰（如图2）．可得的外角，设，则，，
所以．
【类比尝试】
(1)如图3，在中，，，类比上述解题过程求的值．
【拓展应用】
(2)如图4，在中，，，，，用含，的代数式表示的值，并写出推理过程．
20．（2026·浙江·二模）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、、及的端点、、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上．
【数学活动】数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点、的距离以及支架与的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0．8，取0．6）
图③是某小组的设计示意图，其中，，米．
【问题解决】
(1)请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．
(2)在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点离地面距离不能超过多少米？
21．（2026·浙江湖州·二模）【文化欣赏】汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”，意思是利用杆上挂的平面镜和盆内水面（抽象为平面镜）的反射，就能从水盆里看见院外的景象（如图）．
【科学原理】入射光线经平面镜反射得反射光线（），则（如图）．
【综合实践】小桐春假探望爷爷时，在院内作了实践探究：如图，杆地平线（为墙角），杆顶悬一平面镜，院外的邻居（点）先经平面镜的点处反射，再经水盆的水
面中心处反射后，恰被院内的小桐（观测点为）看到．现测得：米，．
【数学理解】
(1)求杆的高度．
(2)如图，保持水盆和观测点的位置不变，将平面镜绕点逆时针旋转，邻居沿射线方向移动到处，经，两处反射后，小桐恰好观测到邻居，求邻居移动的距离．
（参考数据：，，）
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D C B C D
1．B
设，由菱形的性质和得，由折叠得,由勾股定理得,，证明四边形是平行四边形，得，，再证明，根据相似三角形的性质可得结论．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴,
设，则，
由折叠得,
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．D
设，根据全等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，求出，则，利用平行四边形的判定和性质，证明，得出，在中，求出，则．再结合列方程求解即可．
解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
3．C
本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误．
解：，
，
故，
解得，，
在中，，
，
，
米，故A错误；
在中，，
，
米，故，故B错误；
抛物线的函数表达式为，
将代入，
故，
化简得，
，故C正确；
设
设着陆坡所在直线的表达式为，
将代入，
，
解得，，
，
，
，
则，
，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，有最大值，将代入，
即，
∵的最大值为10米，
即，
解得，故D错误；
4．B
先通过延长构造全等三角形，得到、为中点；再利用，推出垂直平分，故；接着过作，结合平行四边形中算出；设，用勾股定理在中列方程求解，最终算出与的比值．
解：延长，交的延长线于点，连接，如下图：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
即是的中点，
∵，即，是中点，
∴垂直平分线段，
∴，
设，
∴，即，
过作，交的延长线于，
∵平行四边形中，，
∴，，
∴
在中，由勾股定理得，
代入得：，
化简，得：，
解得，
即，
∴，
∴．
5．C
设正方形的边长为，过点作于点，过点作交的延长线于点，利用三角函数分别表示出和的长度，从而得到与的函数关系式，代入点坐标求出的值，进而确定函数解析式，最后对各选项进行判断
解：设正方形的边长为，则，
，
，
过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
即，
图象过点，
，解得，
函数解析式为，且，故B选项错误；
当时，，故A选项错误；
当时，，
点在该函数图象上，故C选项正确；
当时，，
点的纵坐标是，故D选项错误．
6．D
根据点是从点出发，沿方向运动分类①当点在上运动时，求出的值和的面积的函数解析式，②当点在上运动时，求出的面积的函数解析式；选项A，证明，结合点是的中点即可求解；选项B，根据图，判断是与轴的交点，求解即可；选项C，根据求出的函数解析式，进行比较即可；选项D，将点代入函数解析式中判断即可．
①如图，当点在上运动时，过点作交于点，
∵，，，
∴，
∴的面积为，
结合如图函数图象，可知当运动到点时，，的面积为，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
②如图，当点在上运动时，
∵，，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的面积为，
选项A，∵点是的中点时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即点是的三等分点，故选项A不符合题意；
选项B，由图可知，是与轴的交点，
∴，解得：（舍），，
∴，故选项B不符合题意；
选项C，当点在上运动时，，是开口向上的抛物线，当点在上运动时，，是开口向下的抛物线，，
∴两段抛物线的形状不相同，故选项C不符合题意；
选项D，由图可知，当时，，
将代入，，
∴点不在该函数图象上，故选项D符合题意．
7．
本题考查图形的折叠、矩形的性质与判定、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、三角函数关系等知识，题目比较综合．
（1）利用折叠的性质得到 ，结合矩形性质证得，再证明为中点，即为矩形中心，从而易证，得出，即可得出答案；
（2）令，证明，利用面积公式和三角函数关系即可求出面积比．
解：（1）由折叠可知 ，
∴，，
∵ 四边形 是矩形 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在 中，，
∴，
设 ，则 ，，
在直角中，，
在直角中，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴为中点，
即为矩形中心，
∴
∴，
∵，
∵ 四边形 是矩形 ，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）令，
在直角中，，
在直角中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
由折叠可知，
在直角中， ，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
化简得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．
过点M作于H，由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，则，令，，进而通过证明来求出x的值，最后问题可求解．
解：过点M作于H，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，，
∴，，
∴，
由折叠的性质可知：，，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
9．1.4
过点O作于点T，结合等腰三角形的“三线合一”，在中运用角的正弦解答即可．
解：过点O作于点T，如图，
根据旋转的性质有：，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴．
10．(1)
(2)
（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，则，再根据切线的性质得到，所以；
（2）过O点作于H点，连接，如图，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再证明，利用相似比可计算出，则利用勾股定理可计算出，利用正切的定义得到，然后
（1）解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过O点作于H点，连接，如图，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
11．(1)90
(2)3
(3)（i）；（ii）
（1）利用直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）证明，设，利用相似三角形对应边成比例可得，整理得，利用二次函数的性质求最值即可；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，利用直角三角形的性质得出，进而证明，设，利用相似三角形对应边成比例求解即可．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知，当时，有最大值为，根据的正切值，设，，结合勾股定理得出的长，从而得出和的长，进而求出、、、，即可得解．
（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3．
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为．
12．(1)
(2)①15；②
（1）过点作于点，则：设，则，结合勾股定理可得：，进一步求解即可．
（2）①如图2，连结，证明四边形是平行四边形，求解的面积的面积，可得的面积．
②如图3，过点作于点，求解，过点作于点，则的面积为：求解，结合只需最小，则最小，再进一步求解即可．
（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
13．(1)米
(2)此儿童在“安全高度”范围内
（1）过点A作，得矩形，在中利用直角三角形的边角关系求出，利用线段的和差关系、矩形的性质求出h；
（2）过点A作，得矩形，在中利用直角三角形的边角间关系求出，利用线段的和差关系、矩形的性质求出，再判断是否安全范围．
（1）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
答：点A到地面的高度h的值约为2.0米．
（2）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
∵，
∴踏板A在“安全高度”范围内．
14．(1)
(2)①见解析；②
（1）设，则，列方程即可解答；
（2）①证明，再根据三角形内角和定理可得，即可解答；
②设，则，则可得，，列方程解得，再解直角三角形得，，即可解答．
（1）解：射线与是的一对等角线，
，
是的平分线，
，
，即，
设，则，
则，
解得，
，
；
（2）①证明：是的一对等角线，
根据（1）中可得，
，即，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，，
，
根据小丽的说法，可得是的一对等角线；
②解：设，则，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
在中，，
在中，，
．
15．(1)①；②见解析
(2)
（1）①根据圆周角定理得到、，进而得到，从而求出，利用圆周角定理得到，据此求解即可；
②连接、、、、，根据平行四边形和垂径定理易得到，进而得到，证得是等边三角形，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，易证明，在中，，从而得出结论；
（2）连接、、，易证四边形是平行四边形、四边形是菱形，进而得到、，根据，设、，证明，进而得到、及，利用勾股定理求出的值，根据证得，进而得到，利用求解即可．
（1）①解：连接、、，
，，
、，
，
即，
，
，
，
；
②证明：连接、、、、，
，
，
为的直径，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，，
是等腰三角形，
，
由①知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：连接、、、，
四边形是平行四边形，
、，
为的中点、为的中点，
、，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形，
、，
，
，
、，
，
，
，
，
，
，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设、，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
、，
在中，，
，
解得，
、、，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
．
本题考查圆周角定理、平行四边形与菱形的判定与性质、垂径定理、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
16．点距离地面的最大高度约为
过点作于点，与交于点，由题意得，，，，在中，求得的长，即可求解．
解：如图，过点作于点，与交于点，
由题意得，，，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点距离地面的最大高度约为．
17．(1)
(2)①；②
（1）根据矩形的性质得到，，设，根据勾股定理求解即可；
（2）①连接，根据轴对称的性质及等边对等角得到，则，进而得到，证明，得到，进而得到，根据正切的定义计算即可；
②连接，设与相交于点K，设，，，根据轴对称的性质可知，，，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，则，进而得到，根据得到，可知，证明，得到，根据勾股定理求解即可．
（1）解：在矩形中，，．
设，则．
∵G为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴；
（2）解：①如图，连接．
由对称可知，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②如图，连接，设与相交于点K，设，，．
由对称可知，，，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，（舍去），
∴．
18．(1)
(2)在第二区域，理由见解析（理由不唯一）
(3)①见解析；②见解析（答案不唯一，合理即可）
(4)
（1）利用勾股定理求出，再利用等面积法求解，即可解题；
（2）根据无理数的估算推出，，进而即可证明且，再根据不等式，结合图形判断，即可解题．
（3）①根据作图步骤描点、连线画出图象即可；
②根据图象写出其不同于性质1的性质，可从增减性、与坐标轴交点情况等分析；
（4）利用线段的和差，结合方程，推出，再约为时，取得最大值，结合（3）问①中表格数据，求得其最大值，根据方程有两个不同正数解，推出函数和有两个不同的交点，结合图象分析求解，即可解题．
解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）解：，，（），
，
，
；
（2）解：在第二区域，
理由如下：
方法一：从解析式说理，
，
，
，
，
，
在第二区域；
方法二：从几何图形性质说理
中，（直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度．）
；
Rt中，（直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度．）
；
，
在第二区域；
方法三：从几何图形性质说理
直线外一点与直线AB上各点连接的线段中，垂线段最短；
即，
，
在第二区域；
（3）解： ①根据表格数据作图如下：

②性质：
随的增大而增大；
，函数图象随的增大而越来越接近直线；
函数值时，图象与直线没有交点；
时，图象在直线和直线下方（答案不唯一，合理即可）；
（4）解：由
，
，即，
已知约为时，取得最大值
（根据题（3）①表格时的数据）
又方程有两个不同正数解，
函数和有两个不同的交点，
结合图象可得：则，
所以．
19．(1)
(2)，过程如下
解：如图，延长至点，使得，连接，
则，
由题意得，
，
．
（1）根据题干，在上取一点，使得，构造出等腰，即可求解；
（2）延长至点，使得，则，即可求解．
（1）解：如图，在上取一点，使得，构造出等腰，
可得的外角，
设，则，，
．
（2）略
20．(1)米
(2)米
（1）因为，已知长度和的值，所以过B作的垂线，利用直角三角形三角函数关系和勾股定理求出的长度，即为挡雨板的一边长，因为挡雨板是矩形，已知长度为矩形另一边长，所以用矩形面积公式即可计算面积；
（2）要保证雨滴不落在墙面上，所以临界情况为雨滴沿下落方向刚好经过B点且落在O点，据此建立几何关系，过B作墙面的垂线得到水平距离，结合雨滴下落夹角，利用直角三角形三角函数求出B点到地面的高度，再求出A点的最大高度；
（1）解：过点作于点，
∵，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴在中，，
∴，
∴，
∴所需挡雨板的面积为（平方米）．
（2）连接，
若，
∵与平行，
则在中，，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
∴点A离地面距离不能超过米．
21．(1)米
(2)邻居移动的距离约为米
（1）解直角三角形，即可得出结果；
（2）解直角三角形，分别求出的长，作差即可．
（1）解：由科学原理可得， ，
∵，，，
∴米，
答：杆的高度约为米．
（2）解：邻居移动前：，
由科学原理可得， ，
∵，
∴，
∴ 米，
邻居移动后（如图）：
，
由科学原理可得，，
∴，，
∵
∴，
∴米，
∴米，
答：邻居移动的距离约为米．
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