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同步探究学案
课题 数学活动——黄金矩形与剪拼正方形 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解黄金矩形的定义与比值，感受数学美感； 2．能通过剪拼将正方形或矩形转化为其他图形，体会面积不变原理； 3．提升动手操作与几何直观能力．
重点 掌握黄金矩形的折纸方法与剪拼正方形的操作过程，理解其背后的几何原理．
难点 结合矩形、正方形的性质，对黄金矩形和剪拼活动进行严谨的说理与证明．
探究过程
导入新课 【引入思考】 同学们，我们已经系统学习了矩形、正方形的性质与判定，这些图形不仅是几何定理的载体，更藏着独特的数学美感与智慧．今天，我们就一起走进“数学活动课”，用折纸创造充满美学比例的黄金矩形，用剪拼还原古代数学家的 “出入相补法”，在动手操作中感受几何的魅力，解锁图形变换的奥秘．
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究黄金矩形和剪拼正方形。 活动1：黄金矩形 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB，然后把纸片展平． 图1 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平． 图2 第三步，折出矩形CDAB的对角线BD，并把BD折到图3中所示的ED处． 图3 第四步，展平纸片，如图4，按照所得的点E折出EF，矩形BAEF就是黄金矩形． 图4 问题：你能说明为什么矩形BAEF是黄金矩形吗？（提示：设MN的长为2．） 活动2：剪拼正方形 如图5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接成一个大正方形吗？试试看！ 图5 图6给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程．你还有其他方法吗？ 图6 事实上，图6就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”（图7），利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想．请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国古代数学研究中的作用． 图7
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．原理加下，如图、在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆．交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 2．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 3．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 选做题： 4．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．数学活动黄金矩形 宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，如图1，折叠一张矩形纸片的一角使得，折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形翻折再折出一个相同的正方形，得矩形，再把纸片展平． 第三步，如图3．以点为圆心，以矩形的对角线为半径作弧，交延长线于点，第四步，如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 你能说明为什么矩形是黄金矩形吗？（提示：设的长为1．）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．数学几何学中有一个非常厉害的家族——“黄金家族”：著名的雕像“断臂的维纳斯”是“黄金比例”，宏伟的建筑“巴特农神庙”是“黄金矩形”，五角星上的每个角剪下来后都是“黄金三角形”（如下图）.将若干个全等的“黄金三角形”顶角无缝拼接在一起可以拼成一个正多边形，请算算这个正多边形的内角和是多少（ ） A． B． C． D． 2．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） 3．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 选做题： 4．阅读与思考：宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如图，已知矩形是黄金矩形，对角线相交于且．关于黄金矩形，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．矩形的周长为 【综合拓展类作业】 5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，四边形是一个矩形（），E是上一点，将矩形沿折叠，点B与边上的点F重合． (1)判定四边形的形状并说明理由； (2)若矩形是黄金矩形，，求的长．（结果保留根号）
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分课时教学设计
第十六课时《数学活动——黄金矩形与剪拼正方形》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是四边形章节的拓展实践活动课，承接矩形、正方形的性质与判定，是几何知识与动手操作、数学文化的融合载体．黄金矩形活动以折纸为载体，将黄金分割与矩形性质结合，让学生直观感受数学与美学的联系；剪拼正方形活动依托“出入相补法”，渗透面积不变原理，关联勾股定理的文化背景，既巩固了矩形、正方形的边长、面积相关知识，又拓展了几何直观与空间想象能力．本课将抽象的几何定理转化为可操作的实践活动，在整章知识中起到拓展应用、渗透数学文化、提升核心素养的收尾作用．
学习者分析 学生已掌握矩形、正方形的性质与面积计算，具备基础的几何操作与推理能力，对动手活动兴趣较高．但学生对黄金矩形的概念陌生，难以将折纸步骤与几何证明关联；剪拼活动中，部分学生缺乏空间想象能力，难以找到合理的分割拼接方法，对“面积不变”的原理理解停留在表层，需要教师通过分步引导、直观演示帮助学生突破操作与说理的难点，建立操作与理论的联系．
教学目标 1．了解黄金矩形的定义与比值，感受数学美感； 2．能通过剪拼将正方形或矩形转化为其他图形，体会面积不变原理； 3．提升动手操作与几何直观能力．
教学重点 掌握黄金矩形的折纸方法与剪拼正方形的操作过程，理解其背后的几何原理．
教学难点 结合矩形、正方形的性质，对黄金矩形和剪拼活动进行严谨的说理与证明．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解黄金矩形的定义与比值，感受数学美感； 2．能通过剪拼将正方形或矩形转化为其他图形，体会面积不变原理； 3．提升动手操作与几何直观能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：同学们，我们已经系统学习了矩形、正方形的性质与判定，这些图形不仅是几何定理的载体，更藏着独特的数学美感与智慧．今天，我们就一起走进“数学活动课”，用折纸创造充满美学比例的黄金矩形，用剪拼还原古代数学家的 “出入相补法”，在动手操作中感受几何的魅力，解锁图形变换的奥秘．学生活动2： 学生认真听讲活动意图说明： 以回顾矩形、正方形旧知为基础，引出黄金矩形与剪拼活动，搭建理论与实践的桥梁；通过“数学美感”“古代智慧”的情境，激发学生探究兴趣，让学生带着对图形变换的好奇进入课堂，自然衔接本课动手操作与几何说理的学习目标．环节三：新知讲解教师活动3： 活动1：黄金矩形 讲解：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB，然后把纸片展平． 图1 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平． 图2 第三步，折出矩形CDAB的对角线BD，并把BD折到图3中所示的ED处． 图3 第四步，展平纸片，如图4，按照所得的点E折出EF，矩形BAEF就是黄金矩形． 图4 指导学生分组动手操作，师巡视指导关键步骤 问题：你能说明为什么矩形BAEF是黄金矩形吗？（提示：设MN的长为2．） 证明：矩形BAEF是黄金矩形．理由如下： 设MN=2． ∵四边形MNAB是正方形， ∴MN=NA=AB=MB=2． ∵点C是MB的中点， ∴BC=MB=1． ∵四边形CDAB是矩形， ∴CD=AB=2，∠BCD=90°． 在Rt△BCD中，BD==． ∵由折叠性质，ED=BD=， ∴AE=ED AD= 1． 矩形BAEF中，长AB=2，宽AE= 1， ∴宽与长的比：= ∵黄金矩形定义为宽与长的比为， ∴矩形BAEF是黄金矩形． 活动2：剪拼正方形 如图5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接成一个大正方形吗？试试看！ 图5 图6给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程．你还有其他方法吗？ 图6 事实上，图6就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”（图7），利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想．请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国古代数学研究中的作用． 图7学生活动3： 学生小组合作进行数学活动，活动后分组展示交流活动意图说明： 通过黄金矩形折纸与剪拼正方形两项活动，以动手操作为载体，既巩固矩形、正方形的性质与面积不变原理，又渗透数学文化与几何直观，引导学生在实践中理解图形变换的本质，提升动手能力与说理能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：数学活动——黄金矩形与剪拼正方形一、黄金矩形 二、剪拼正方形教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．原理加下，如图、在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆．交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 证明：（1），， ． 平分， ． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形， 是“黄金三角形”． （2）如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 选做题： 4．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．数学活动黄金矩形 宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，如图1，折叠一张矩形纸片的一角使得，折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形翻折再折出一个相同的正方形，得矩形，再把纸片展平． 第三步，如图3．以点为圆心，以矩形的对角线为半径作弧，交延长线于点，第四步，如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 你能说明为什么矩形是黄金矩形吗？（提示：设的长为1．） 解：设的长为1， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．数学几何学中有一个非常厉害的家族——“黄金家族”：著名的雕像“断臂的维纳斯”是“黄金比例”，宏伟的建筑“巴特农神庙”是“黄金矩形”，五角星上的每个角剪下来后都是“黄金三角形”（如下图）.将若干个全等的“黄金三角形”顶角无缝拼接在一起可以拼成一个正多边形，请算算这个正多边形的内角和是多少（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） 答案：③④ 3．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 证明：五边形的面积为： ①， ②， ∴， ∴． 选做题： 4．阅读与思考：宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如图，已知矩形是黄金矩形，对角线相交于且．关于黄金矩形，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．矩形的周长为 答案：C 【综合拓展类作业】 5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，四边形是一个矩形（），E是上一点，将矩形沿折叠，点B与边上的点F重合． (1)判定四边形的形状并说明理由； (2)若矩形是黄金矩形，，求的长．（结果保留根号） 解：（1）四边形是正方形，理由如下： ∵是矩形 ∴ ∵折叠后点B与F重合， ∴， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵四边形是黄金矩形 ∴，即 ∴ ∴．
教学反思 本课通过动手折纸、剪拼活动激发了学生的兴趣，多数学生能完成基本操作，但部分学生对黄金矩形的比值推导、剪拼原理的说理不够严谨，空间想象能力薄弱．后续教学可增加小组合作探究环节，让学生通过互助交流梳理论证思路，同时补充数学文化背景，帮助学生更好地理解活动背后的几何原理与数学思想．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
第二十一章 四边形
数学活动
——黄金矩形与剪拼正方形
1．了解黄金矩形的定义与比值，感受数学美感；
2．能通过剪拼将正方形或矩形转化为其他图形，体会面积不变原理；
3．提升动手操作与几何直观能力．
同学们，我们已经系统学习了矩形、正方形的性质与判定，这些图形不仅是几何定理的载体，更藏着独特的数学美感与智慧．
今天，我们就一起走进“数学活动课”，用折纸创造充满美学比例的黄金矩形，用剪拼还原古代数学家的 “出入相补法”，在动手操作中感受几何的魅力，解锁图形变换的奥秘．
活动1：黄金矩形
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形．
黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形．
下面我们折纸做一个黄金矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB，然后把纸片展平．
图1
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平．
图2
第三步，折出矩形CDAB的对角线BD，并把BD折到图3中所示的ED处．
图3
第四步，展平纸片，如图4，按照所得的点E折出EF，矩形BAEF就是黄金矩形．
图4
想一想：你能说明为什么矩形BAEF是黄金矩形吗？（提示：设MN的长为2．）
F
F
证明：矩形BAEF是黄金矩形．理由如下：设MN=2．
∵四边形MNAB是正方形，∴MN=NA=AB=MB=2．
∵点C是MB的中点，∴BC=MB=1．
∵四边形CDAB是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°．
在Rt△BCD中，BD==．
∵由折叠性质，ED=BD=，
∴AE=ED AD= 1．
矩形BAEF中，长AB=2，宽AE= 1，∴宽与长的比：=
∵黄金矩形定义为宽与长的比为，
∴矩形BAEF是黄金矩形．
活动2：剪拼正方形
如图5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接成一个大正方形吗？试试看！
图5
图6
图6给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程．
你还有其他方法吗？
事实上，图6就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”（图7），利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想．请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国古代数学研究中的作用．
图6
图7
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
数学活动
剪拼正方形
黄金矩形
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】

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