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第二十一章 四边形
第21章 四边形
章末复习
1．梳理四边形、平行四边形、特殊平行四边形的知识体系；
2．巩固本章核心定理（性质、判定、内角和等）；
3．提升综合运用知识解决几何问题的能力．
两组对边
分别平行
四边形
平行四边形
矩形
一个角
是直角
正方形
一组
邻边相等
一个角
是直角
只有一组
对边平行
梯形
菱形
一组
邻边相等
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系．
2．四边形的内角和与外角和分别是多少？n边形呢？在得出这些结论的过程中，采用了怎样的方法？
3．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？
4．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？
5．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？
多边形
1．四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系．
四边形
梯形
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
2．四边形的内角和与外角和分别是多少？n边形呢？在得出这些结论的过程中，采用了怎样的方法？
四边形：内角和为360°，外角和为360°．
n边形：内角和为(n 2)×180°，外角和为360°．
方法：通过从多边形的一个顶点引对角线，将多边形分割成(n 2)个三角形，利用三角形内角和推导得出；外角和通过每个顶点的内角与外角互补，求和后减去内角和得到．
3．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？
（3）研究思路与方法
从边、角、对角线三个维度，通过观察、猜想、证明的方式，先探究性质，再通过性质的逆命题推导判定定理，体现了“性质与判定互逆”的研究逻辑．
（1）性质
边：对边平行且相等
角：对角相等，邻角互补
对角线：互相平分
（2）判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？
（1）矩形
特有性质：四个角都是直角；对角线相等
判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形
（2）菱形
特有性质：四条边都相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角
判定：有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形
4．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？
（3）正方形
特有性质：兼具矩形和菱形的所有特殊性质（四个角为直角、四边相等、对角线相等且垂直平分）
判定：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形；既是矩形又是菱形的四边形
（4）研究方法
以平行四边形为基础，通过添加“角为直角”或“邻边相等”的特殊条件，分别得到矩形和菱形，再同时添加两个条件得到正方形；研究时同样从边、角、对角线入手，结合图形的特殊化推导性质与判定．
5．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？
（1）梯形中位线定理
通过延长梯形的一腰，构造平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，推导得出梯形的中位线平行于两底，且长度等于两底和的一半．
（2）直角三角形斜边中线定理
以直角三角形的斜边为对角线构造矩形，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导得出直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
考点一：多边形及其内角和
考点一：多边形及其内角和
（1）n 边形内角和公式：(n 2)×180°，外角和为360° ．
（2）求边数时，通常利用内角和公式列方程求解；已知外角度数求边数，直接用360° 除以单个外角度数即可．
（3）遇到“缺角”问题，需结合内角的取值范围（0°< 内角 <180°）进行分析，通过不等式确定边数．
考点二：三角形的中位线
考点二：三角形的中位线
三角形中位线定理是证明线段平行与倍分关系的重要工具
（1）看到中点时，主动构造中位线（如连接中点、取中点连线），将分散的线段关系转化为平行或倍分关系．
（2）常与平行四边形性质结合使用，利用中位线定理可快速证明四边形为平行四边形，或求解线段长度．
考点三：直角三角形斜边上的中线
考点三：直角三角形斜边上的中线
（1）遇到直角三角形斜边中点时，优先连接中线，利用 “中线 = 斜边一半”进行等量代换，解决线段长度、角度计算问题．
（2）常与矩形性质结合，矩形对角线相等且互相平分，其交点到各顶点的距离相等，本质上也是该定理的应用．
考点四：特殊平行四边形中的图形变换问题
考点四：特殊平行四边形中的图形变换问题
抓住“不变”解图形变换问题
图形的平移、折叠、旋转不改变图形的形状、大小，仅改变位置．在此类题目中，要抓住图形变换过程中的对应边（或角），进而利用不变性解决问题．
考点五：在动态中探究特殊的平行四边形
考点五：在动态中探究特殊的平行四边形
考点五：在动态中探究特殊的平行四边形
考点五：在动态中探究特殊的平行四边形
考点五：在动态中探究特殊的平行四边形
解决动点问题的关键是抓住题中的变量和不变量．同时应注意解决这类问题时，分析方法可“执果索因”，而在说明理由时需要“由因索果”，有据推理．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十七课时《第21章 四边形 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是本章的复习课，对四边形全章知识进行系统梳理与整合提升．通过回顾四边形、多边形内角和与外角和、平行四边形及矩形、菱形、正方形的性质与判定，构建从一般到特殊的四边形知识网络，厘清各类图形的从属关系与内在联系．本课既是对本章核心概念、定理的巩固强化，也是对研究几何图形“从边、角、对角线入手，由性质推判定”的通用方法的总结提炼，为后续几何学习奠定方法论基础，同时通过综合应用，提升学生的逻辑推理与几何直观能力，在整章教学中起到承上启下、查漏补缺、融会贯通的关键作用．
学习者分析 学生已学完本章所有内容，对四边形、平行四边形及特殊平行四边形的基本性质和判定有初步掌握，但知识体系较为零散，容易混淆各类图形的判定条件，对从一般到特殊的图形演变逻辑理解不够清晰．部分学生在综合题中难以灵活选用合适的定理解决问题，对“性质与判定互逆”的研究方法掌握不牢，多边形内角和公式的推导思路也易遗忘，需要通过系统梳理、对比辨析和针对性练习，帮助学生构建知识网络，提升综合应用能力．
教学目标 1．梳理四边形、平行四边形、特殊平行四边形的知识体系； 2．巩固本章核心定理（性质、判定、内角和等）； 3．提升综合运用知识解决几何问题的能力．
教学重点 梳理本章知识结构，掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定定理，形成完整的知识体系．
教学难点 灵活运用四边形相关知识解决综合几何问题，理解并应用研究几何图形的通用方法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．梳理四边形、平行四边形、特殊平行四边形的知识体系； 2．巩固本章核心定理（性质、判定、内角和等）； 3．提升综合运用知识解决几何问题的能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系． 预设： 2．四边形的内角和与外角和分别是多少？n边形呢？在得出这些结论的过程中，采用了怎样的方法？ 预设：四边形：内角和为360°，外角和为360°． n边形：内角和为(n 2)×180°，外角和为360°． 方法：通过从多边形的一个顶点引对角线，将多边形分割成(n 2)个三角形，利用三角形内角和推导得出；外角和通过每个顶点的内角与外角互补，求和后减去内角和得到． 3．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？ 预设： （1）性质 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 （2）判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 （3）研究思路与方法 从边、角、对角线三个维度，通过观察、猜想、证明的方式，先探究性质，再通过性质的逆命题推导判定定理，体现了“性质与判定互逆”的研究逻辑． 4．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？ 预设：（1）矩形 特有性质：四个角都是直角；对角线相等 判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形 （2）菱形 特有性质：四条边都相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 判定：有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形 （3）正方形 特有性质：兼具矩形和菱形的所有特殊性质（四个角为直角、四边相等、对角线相等且垂直平分） 判定：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形；既是矩形又是菱形的四边形 （4）研究方法 以平行四边形为基础，通过添加“角为直角”或“邻边相等”的特殊条件，分别得到矩形和菱形，再同时添加两个条件得到正方形；研究时同样从边、角、对角线入手，结合图形的特殊化推导性质与判定． 5．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？ 预设：（1）梯形中位线定理 过程：通过延长梯形的一腰，构造平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，推导得出梯形的中位线平行于两底，且长度等于两底和的一半． （2）直角三角形斜边中线定理 过程：以直角三角形的斜边为对角线构造矩形，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导得出直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：多边形及其内角和 例1：一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 答案：D 归纳：（1）n 边形内角和公式：(n 2)×180°，外角和为360° ． （2）求边数时，通常利用内角和公式列方程求解；已知外角度数求边数，直接用360° 除以单个外角度数即可． （3）遇到“缺角”问题，需结合内角的取值范围（0°< 内角 <180°）进行分析，通过不等式确定边数． 考点二：三角形的中位线 例2：如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长． 解：如图，延长交于点， 是的平分线， ， ， ， 在和中，， ， ，点是的中点， ， ， 点M为边的中点， 是的中位线， ． 归纳：三角形中位线定理是证明线段平行与倍分关系的重要工具 （1）看到中点时，主动构造中位线（如连接中点、取中点连线），将分散的线段关系转化为平行或倍分关系． （2）常与平行四边形性质结合使用，利用中位线定理可快速证明四边形为平行四边形，或求解线段长度． 考点三：直角三角形斜边上的中线 例3：如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 答案： 归纳：（1）遇到直角三角形斜边中点时，优先连接中线，利用 “中线 = 斜边一半”进行等量代换，解决线段长度、角度计算问题． （2）常与矩形性质结合，矩形对角线相等且互相平分，其交点到各顶点的距离相等，本质上也是该定理的应用． 考点四：特殊平行四边形中的图形变换问题 例4：如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（ ） A． B．8 C． D． 答案：A 归纳：抓住“不变”解图形变换问题 图形的平移、折叠、旋转不改变图形的形状、大小，仅改变位置．在此类题目中，要抓住图形变换过程中的对应边（或角），进而利用不变性解决问题． 考点五：在动态中探究特殊的平行四边形 例5：如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t． (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 解：（1）如图，过C作于点E， ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得，四边形为矩形， ∴当点P和点E重合时，四边形是矩形 ∵， ∴ ∵点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t ∴（秒） ∴时，四边形是矩形； （3）∵四边形为矩形， ∴ ∵，即 ∴当时，四边形是平行四边形 ∴此时 ∴（秒） ∴时，四边形是平行四边形． 归纳：解决动点问题的关键是抓住题中的变量和不变量．同时应注意解决这类问题时，分析方法可“执果索因”，而在说明理由时需要“由因索果”，有据推理．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对本章所学知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系．
板书设计 课题：第21章四边形章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.多边形及其内角和 2.三角形的中位线 3.直角三角形斜边上的中线 4. 特殊平行四边形中的图形变换问题 5. 在动态中探究特殊的平行四边形教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 答案：10 3．如图，在四边形中，，连接，，取和的中点E、F，连接，求的长度． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图：连接， ∵，点E是的中点， ∴，即， ∵点F是的中点， ∴，， ∴． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． (1)在运动过程中，四边形的形状是___________； (2)___________时，四边形是矩形； (3)求当等于多少时，四边形是菱形． 解：（1）平行四边形； （2） （3）依题意得：平行且等于， 四边形是平行四边形， 故时，四边形是菱形． 又， ， 过作于，如图所示： 则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即时，四边形是菱形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 答案： 3．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 解：（1）∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 选做题： 4．如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（ ） A． B． C．3 D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，在平行四边形中，对角线交于O点，过O点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于M、N两点，点M不与点B重合，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形是菱形时，，，求平行四边形边上的高． (3)在（2）条件下，若，求的长． 证明：（1）∵四边形是平行四边形，对角线交于O点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ 设菱形的边上的高为h， ∵， ， ∴，即边上的高为12． （3）如图所示，过点B作，交的延长线于点P， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为18．
教学反思 本课通过知识框架梳理与典型例题练习，帮助学生构建了四边形知识体系，多数学生能厘清各类图形的关系，但部分学生对特殊平行四边形的判定条件仍易混淆，综合题中定理选用不够灵活．后续教学需增加对比辨析类练习，强化不同图形判定条件的区分，同时补充分层变式训练，帮助学生进一步内化知识，提升综合解题能力．
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同步探究学案
课题 第21章 四边形 章末复习 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．梳理四边形、平行四边形、特殊平行四边形的知识体系； 2．巩固本章核心定理（性质、判定、内角和等）； 3．提升综合运用知识解决几何问题的能力．
重点 梳理本章知识结构，掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定定理，形成完整的知识体系．
难点 灵活运用四边形相关知识解决综合几何问题，理解并应用研究几何图形的通用方法．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系． 2．四边形的内角和与外角和分别是多少？n边形呢？在得出这些结论的过程中，采用了怎样的方法？ 3．平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？ 4．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？ 5．本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理．你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？ 考点梳理： 考点一：多边形及其内角和 例1：一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 归纳：（1）n 边形内角和公式：(n 2)×180°，外角和为360° ． （2）求边数时，通常利用内角和公式列方程求解；已知外角度数求边数，直接用360° 除以单个外角度数即可． （3）遇到“缺角”问题，需结合内角的取值范围（0°< 内角 <180°）进行分析，通过不等式确定边数． 考点二：三角形的中位线 例2：如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长． 归纳：三角形中位线定理是证明线段平行与倍分关系的重要工具 （1）看到中点时，主动构造中位线（如连接中点、取中点连线），将分散的线段关系转化为平行或倍分关系． （2）常与平行四边形性质结合使用，利用中位线定理可快速证明四边形为平行四边形，或求解线段长度． 考点三：直角三角形斜边上的中线 例3：如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 归纳：（1）遇到直角三角形斜边中点时，优先连接中线，利用 “中线 = 斜边一半”进行等量代换，解决线段长度、角度计算问题． （2）常与矩形性质结合，矩形对角线相等且互相平分，其交点到各顶点的距离相等，本质上也是该定理的应用． 考点四：特殊平行四边形中的图形变换问题 例4：如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（ ） A． B．8 C． D． 归纳：抓住“不变”解图形变换问题 图形的平移、折叠、旋转不改变图形的形状、大小，仅改变位置．在此类题目中，要抓住图形变换过程中的对应边（或角），进而利用不变性解决问题． 考点五：在动态中探究特殊的平行四边形 例5：如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t． (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 归纳：解决动点问题的关键是抓住题中的变量和不变量．同时应注意解决这类问题时，分析方法可“执果索因”，而在说明理由时需要“由因索果”，有据推理．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 3．如图，在四边形中，，连接，，取和的中点E、F，连接，求的长度． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． (1)在运动过程中，四边形的形状是___________； (2)___________时，四边形是矩形； (3)求当等于多少时，四边形是菱形．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 3．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 选做题： 4．如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（ ） A． B． C．3 D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在平行四边形中，对角线交于O点，过O点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于M、N两点，点M不与点B重合，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形是菱形时，，，求平行四边形边上的高． (3)在（2）条件下，若，求的长．
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