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第21章 四边形 章末复习 同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
3．如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．按照下列步骤作图，得到下图：
①任意画两条相交直线，n，记交点为；
②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使；
③顺次连接A，B，C，D得到四边形．
若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
6．若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________．
7．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______．
8．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______．
，
9．如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____．
10．如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______．
三、解答题
11．如图，在中，，分别是、上的点，且，和的交点为，和的交点为，求证：，．
12．综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究．
(1)【操作判断】
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由．
(2)【拓展应用】
小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由．
(3)【迁移探究】
如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长．
答案与解析
第21章 四边形 章末复习 同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据正多边形的性质求得，，，再根据等腰三角形的性质和周角定义求得， ，进而平角定义求得．
解：由正多边形的性质可知，
，，，
，，
．
2．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【解析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可．
解：如下图，共有10种，
故选：B．
3．如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数．
解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴．
4．按照下列步骤作图，得到下图：
①任意画两条相交直线，n，记交点为；
②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使；
③顺次连接A，B，C，D得到四边形．
若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形；
B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形；
C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形；
D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形；
所以正确条件是选项C．
5．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解析】作于点M，取的中点P，连接，由折叠的性质和矩形的性质得，，进而推出是锐角，结合G为的中点，可得，假设平分结合角平分线性质定理可得，从而推出可判断①；根据折叠性质得，结合平行线的性质推得进而得到可判断②；取的中点P，连接，结合已知条件推出点F是的中点得是的中位线，从而得，再根据矩形的性质结合已知条件证进而得可判断③．
解：如图，作于点M，取的中点P，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可知：，，
∴，是锐角，
∴点M与点E不重合，
∴，
∵G为的中点，
∴，假设平分 ，
∵，，
∴，
∴，与 相矛盾，
∴不能平分，故①错误；
由折叠可知，，
，
，
，
，
∴点H在的垂直平分线上，故②正确；
∵平分，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴点F是的中点，点P是的中点，
∴是的中位线，
，
∵四边形是矩形，，
，
，
∵点G是的中点，
∴，
又∵
，
，故③正确．
综上所述：结论正确的是②和③．
二、填空题
6．若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________．
【答案】
解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，
该正多边形的边数为，
则这个多边形的边数是．
7．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______．
【答案】60
【解析】连接，根据三角形中位线定理即可解答．
解：如图，连接，
∵D，E分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
即B、C两点之间的距离为．
8．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______．
【答案】
【解析】先利用勾股定理求出的长度，构造直角三角形，利用已知点的坐标点和勾股定理求出点的坐标，再利用平行四边形的性质证三角形全等，从而求出点的坐标．
解：∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形，，
在中，，
如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为，
则，
，
∵点B的坐标为，
∴，
在中，，
在和中，，
∴，，
又∵点D在第二象限，
∴点D的坐标为．
9．如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____．
【答案】4
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案．
解：连接、，如图所示：
∵，是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
10．如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______．
【答案】或
【解析】设的垂直平分线交于点，交直线于点，根据题意分两种情况点在矩形内部时，点在矩形外部（下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题．
解：设的垂直平分线交于点，交直线于点，
∵ 四边形是矩形，，，
∴，，，
∵垂直平分，
∴，，，
∴，，
由折叠的性质可知：，，
设，则，
分两种情况讨论： 情况一：当点在矩形内部时，
在中，，
，
在中，
由勾股定理得：即 ，
解得，
∴；
情况二：当点在矩形外部（下方）时，
在中，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
解得，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题
11．如图，在中，，分别是、上的点，且，和的交点为，和的交点为，求证：，．
【答案】见解析
【解析】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
连接，首先证明出四边形和四边形都是平行四边形，然后证明出是的中位线，进而证明即可．
证明：连接，
四边形是平行四边形，
，．
，
．
四边形和四边形都是平行四边形．
，．
是的中位线．
，．
12．综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究．
(1)【操作判断】
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由．
(2)【拓展应用】
小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由．
(3)【迁移探究】
如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长．
【答案】(1)，见解析
(2)是等边三角形，见解析
(3)或
【解析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解．
（2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证；
（3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可．
解：（1），理由如下，
如图，连接，
四边形是正方形，
，
由折叠可知，，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）是等边三角形，理由如下：
如图，连接，
四边形是正方形，
，
由折叠可知，，
，
由（1）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形；
（3）点H是边的三等分点，
或2；
由（2）知，，
，
由折叠可知，
当时，则，
设，则，
，
在中，，
，
解得 ，
，
当时，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
，
综上，的长为或．
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