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第二十一章 四边形
探究与发现：用多边形镶嵌平面
1．了解平面镶嵌的含义，知道镶嵌的基本条件；
2．探究哪些正多边形可以单独镶嵌平面，理解其数学原理；
3．能设计简单的多边形镶嵌图案．
请仔细观察下面的图片，这些图案有什么共同特点？它们是由哪些基本图形拼成的？
为什么这些图形拼在一起时，中间没有空隙、也不会重叠？
房间中的地砖
蜂巢结构
正方形
正六边形
在生活中，很多地面和墙面都是用正方形的瓷砖铺成的（图1）．无论用瓷砖铺地还是贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面完全覆盖，通常把这类问
题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题．
平面镶嵌在设计建筑中的各种图案，计算如何
利用空间节省成本、优化晶体结构等工作中发
挥着重要作用．
下面，我们来探究一些多边形能否镶嵌平面，并思考为什么会出现这种结果．
活动一：分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸板，如果用其中一种正多边形镶嵌平面，哪几种正多边形能镶嵌平面？
正三角形、正方形、正六边形能镶嵌平面
正五边形不能镶嵌平面
活动二：用两种正多边形也可以镶嵌平面，图2是用正三角形和正方形镶嵌平面的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？
用正三角形和正六边形镶嵌平面
活动二：用两种正多边形也可以镶嵌平面，图2是用正三角形和正方形镶嵌平面的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？
用正方形和正八边形镶嵌平面
活动三：任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（图3（1）），试着拼一拼，它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板（图3（2））呢？
活动三：任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（图3（1）），试着拼一拼，它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板（图3（2））呢？
思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？
60°
60°
60°
60°
60°
60°
360°
90°
90°
90°
90°
360°
120°
120°
120°
360°
思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？
90°
60°
60°
90°
60°
360°
60°
120°
60°
120°
90°
135°
135°
360°
360°
思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？
三角形内角和180°
180°
180°
360°
四边形内角和360°
360°
360°
多边形能进行平面镶嵌的条件
形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，拼接在同一点的各个角的度数和是360 °.
你还可以搜集一些用其他多边形镶嵌平面的图案，或者设计一些地面的平面镶嵌图，并与同学互相交流．
平面镶嵌问题也是数学研究的一个经典问题，吸引了许多数学家和数学爱好者的关注．你可以查阅相关资料，了解平面镶嵌问题的研究进展．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（ ）．
A．正七边形和正方形 B．正方形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形
A
【知识技能类练习】必做题：
2．工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________．
12
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法．
解：如图所示：
【知识技能类练习】选做题：
4．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
C
【综合拓展类练习】
5．根据正多边形和的对话，解决下列问题．
(1)求和的边数；
(2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由．
解：（1）设正多边形的边数为，正多边形的边数为，
由题意，得，
解得，
，，
答：正多边形的边数为4，正多边形的边数为6．
【综合拓展类练习】
5．根据正多边形和的对话，解决下列问题．
(1)求和的边数；
(2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由．
（2）设用个正方形（正多边形）和个正六边形（正多边形）可以铺满地面，且，，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为120°，由题意，得，
化简得，
当，时，不存在正整数解满足该二元一次方程，
用正多边形和（两种都用）不能铺满地面．
用多边形镶嵌平面
平面镶嵌条件
平面镶嵌的定义
常见镶嵌类型
单一正多边形镶嵌
任意三角形、任意四边形均可镶嵌平面
两种正多边形组合镶嵌
同一顶点处内角和为360°
【知识技能类作业】必做题：
1．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
C
【知识技能类作业】必做题：
2．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________．
【知识技能类作业】必做题：
3．如图所示，正多边形A，B，C密铺地面，其中A为正六边形，C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数．
解：设正多边形B一个内角为x，则有
120°+90°+x=360°，
∴x=150°，
∴n=360÷（180﹣150）=12．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
B
【综合拓展类作业】
5．已知两个多边形的边数之比为，且这两个多边形所有内角的和为．
(1)求这两个多边形的边数．
(2)若这两个多边形为边长相等的正多边形，则用足够多的这两种正多边形_________（填“能”或“不能”）铺满地面．
解：（1）设两个多边形的边数分别是x和，
则，
解得：，
，
则两个多边形的边数分别为4和8．
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分课时教学设计
第三课时《探究与发现：用多边形镶嵌平面》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八下四边形这一章的拓展探究课时，承接多边形内角和、外角和的核心知识，是几何知识从理论推导到实际应用的重要延伸．它以多边形的边角性质为基础，探究平面镶嵌的数学原理，既让学生深化对多边形内角和定理的理解与运用，又搭建起几何知识与生活实际的桥梁．平面镶嵌的探究过程，能让学生进一步体会“数形结合”“实践验证”的数学思想，提升动手操作、合作探究和逻辑分析能力．同时，本节课的内容是对多边形知识的综合运用与巩固，也为后续学习几何图形的实际应用、图案设计奠定基础，在整个章节中起到深化知识、拓展应用、培养核心素养的重要作用．
学习者分析 学生已掌握多边形内角和、外角和公式，具备一定的几何推理和动手操作能力，且对生活中的镶嵌图案有直观认知．但学生缺乏将实际生活现象转化为数学问题的意识，难以从镶嵌的直观现象中提炼出“拼接点各角和为360°”的核心原理．同时，学生在探究多种正多边形组合镶嵌时，对角度的计算与搭配推理容易出现疏漏，合作探究中也可能存在思路不清晰、分工不明确的问题，需要教师逐步引导，帮助学生建立“实际现象—数学原理—实践验证”的思维路径．
教学目标 1．了解平面镶嵌的含义，知道镶嵌的基本条件； 2．探究哪些正多边形可以单独镶嵌平面，理解其数学原理； 3．能设计简单的多边形镶嵌图案．
教学重点 理解平面镶嵌的核心条件，掌握单一正多边形能进行平面镶嵌的种类及原理．
教学难点 探究两种正多边形组合进行平面镶嵌的角度搭配规律，理解镶嵌原理的实际应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解平面镶嵌的含义，知道镶嵌的基本条件； 2．探究哪些正多边形可以单独镶嵌平面，理解其数学原理； 3．能设计简单的多边形镶嵌图案．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：请仔细观察下面的图片，这些图案有什么共同特点？它们是由哪些基本图形拼成的？ 预设：正方形，正六边形 引问：为什么这些图形拼在一起时，中间没有空隙、也不会重叠？学生活动2： 学生认真观察并回答问题活动意图说明： 通过生活中的实例引入，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，为平面镶嵌的学习做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：在生活中，很多地面和墙面都是用正方形的瓷砖铺成的（图1）．无论用瓷砖铺地还是贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面完全覆盖，通常把这类问 题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 平面镶嵌在设计建筑中的各种图案，计算如何 利用空间节省成本、优化晶体结构等工作中发 挥着重要作用． 下面，我们来探究一些多边形能否镶嵌平面，并思考为什么会出现这种结果． 活动一：分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸板，如果用其中一种正多边形镶嵌平面，哪几种正多边形能镶嵌平面？ 预设： 正三角形、正方形、正六边形能镶嵌平面 正五边形不能镶嵌平面 活动二：用两种正多边形也可以镶嵌平面，图2是用正三角形和正方形镶嵌平面的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？ 预设： 用正三角形和正六边形镶嵌平面 用正方形和正八边形镶嵌平面 活动三：任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（图3（1）），试着拼一拼，它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板（图3（2））呢？ 预设： 思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？ 引导探究： 归纳：多边形能进行平面镶嵌的条件 形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，拼接在同一点的各个角的度数和是360 °. 问题：你还可以搜集一些用其他多边形镶嵌平面的图案，或者设计一些地面的平面镶嵌图，并与同学互相交流． 平面镶嵌问题也是数学研究的一个经典问题，吸引了许多数学家和数学爱好者的关注．你可以查阅相关资料，了解平面镶嵌问题的研究进展．学生活动3： 学生观察生活中平面镶嵌的实例，结合课前准备的正多边形纸片（正三角形、正方形、正五边形、正六边形等），分组动手拼摆，尝试用单一正多边形和两种正多边形（如正方形与正八边形）进行平面镶嵌，记录拼摆过程中“能镶嵌”和“不能镶嵌”的情况；小组讨论拼接成功的关键的因素，结合多边形内角和公式，推导同一顶点处各内角之和的特点，总结平面镶嵌的条件，最后小组代表分享探究过程与结论，参与班级交流互评。活动意图说明： 通过动手拼摆、小组探究的活动形式，调动学生的主动性和积极性，让学生在实践中直观感受平面镶嵌的特点，突破“同一顶点处内角和为360°”这一教学难点；引导学生将动手操作与数学推理相结合，深化对多边形内角和公式的理解与运用，体会数形结合、转化的数学思想；培养学生的动手操作能力、合作探究能力和逻辑推理能力，同时让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生对几何知识的探究兴趣，落实数学核心素养的培养环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：探究与发现：用多边形镶嵌平面一、平面镶嵌的定义 二、常见镶嵌类型 三、平面镶嵌条件 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（ ）． A．正七边形和正方形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 答案：A 2．工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________． 答案：12 3．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法． 解：如图所示： 选做题： 4．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 答案：C 【综合拓展类练习】 5．根据正多边形和的对话，解决下列问题． (1)求和的边数； (2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由． 解：（1）设正多边形的边数为，正多边形的边数为， 由题意，得， 解得， ，， 答：正多边形的边数为4，正多边形的边数为6． （2）设用个正方形（正多边形）和个正六边形（正多边形）可以铺满地面，且，，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为120°， 由题意，得， 化简得， 当，时，不存在正整数解满足该二元一次方程， 用正多边形和（两种都用）不能铺满地面．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 答案：C 2．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 答案：． 3．如图所示，正多边形A，B，C密铺地面，其中A为正六边形，C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数． 解：设正多边形B一个内角为x，则有120°+90°+x=360°， ∴x=150°， ∴n=360÷（180﹣150）=12． 选做题： 4．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．已知两个多边形的边数之比为，且这两个多边形所有内角的和为． (1)求这两个多边形的边数． (2)若这两个多边形为边长相等的正多边形，则用足够多的这两种正多边形_________（填“能”或“不能”）铺满地面． 解：（1）设两个多边形的边数分别是x和， 则， 解得：， ， 则两个多边形的边数分别为4和8． （2）正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满． 故答案：能．
教学反思 本节课通过生活实例和动手拼摆，有效调动了学生的探究兴趣，多数学生能掌握单一正多边形的镶嵌原理．但在两种正多边形组合镶嵌的探究中，部分学生对角度搭配的推理较慢，缺乏系统的思考方法．同时，对镶嵌原理与生活实际的联系讲解不够深入，部分学生未能充分体会数学的实用性．后续需简化探究任务，分步引导角度计算与搭配，增加生活镶嵌案例的分析，让学生更深刻理解几何知识的实际价值．
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同步探究学案
课题 探究与发现：用多边形镶嵌平面 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解平面镶嵌的含义，知道镶嵌的基本条件； 2．探究哪些正多边形可以单独镶嵌平面，理解其数学原理； 3．能设计简单的多边形镶嵌图案．
重点 理解平面镶嵌的核心条件，掌握单一正多边形能进行平面镶嵌的种类及原理．
难点 探究两种正多边形组合进行平面镶嵌的角度搭配规律，理解镶嵌原理的实际应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 请仔细观察下面的图片，这些图案有什么共同特点？它们是由哪些基本图形拼成的？
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究用多边形镶嵌平面。 在生活中，很多地面和墙面都是用正方形的瓷砖铺成的（图1）．无论用瓷砖铺地还是贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面完全覆盖，通常把这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题．平面镶嵌在设计建筑中的各种图案，计算如何利用空间节省成本、优化晶体结构等工作中发挥着重要作用． 下面，我们来探究一些多边形能否镶嵌平面，并思考为什么会出现这种结果． 活动一：分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸板，如果用其中一种正多边形镶嵌平面，哪几种正多边形能镶嵌平面？ 活动二：用两种正多边形也可以镶嵌平面，图2是用正三角形和正方形镶嵌平面的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？ 活动三：任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（图3（1）），试着拼一拼，它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板（图3（2））呢？ 思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？ 归纳：多边形能进行平面镶嵌的条件 形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，拼接在同一点的各个角的度数和是____. 你还可以搜集一些用其他多边形镶嵌平面的图案，或者设计一些地面的平面镶嵌图，并与同学互相交流． 平面镶嵌问题也是数学研究的一个经典问题，吸引了许多数学家和数学爱好者的关注．你可以查阅相关资料，了解平面镶嵌问题的研究进展．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（ ）． A．正七边形和正方形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 2．工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________． 3．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法． 选做题： 4．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【综合拓展类练习】 5．根据正多边形和的对话，解决下列问题． (1)求和的边数； (2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 2．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 3．如图所示，正多边形A，B，C密铺地面，其中A为正六边形，C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数． 选做题： 4．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．已知两个多边形的边数之比为，且这两个多边形所有内角的和为． (1)求这两个多边形的边数． (2)若这两个多边形为边长相等的正多边形，则用足够多的这两种正多边形_________（填“能”或“不能”）铺满地面．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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