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2026年河南省驻马店市汝南县三门闸乡联考中考阶段测试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
2.根据年月日河南日报发布的数据，河南出口产品向新升级，其中“新三样”产品电动汽车、锂电池、光伏产品出口约亿元，数据“亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.唐代诗人王维的田园乐七首其六，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是( )
A. “更” B. “带” C. “朝” D. “烟”
4.如图，的顶点在直线上，且，平分，，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线交于点若，则线段的长为( )
A. B. C. D.
7.某银行招聘大堂经理，需从专业能力、沟通服务、应急处理三个核心维度考评应聘人员，三个维度的权重占比为，最终考评得分由加权计算得出．应聘人员张婷在这三个维度的得分为专业能力分、沟通服务分、应急处理分，则张婷的最终考评得分为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
8.定义新运算：例如，，关于的方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
9.如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为点，连接若，则的长为( )
A. B. C. D.
10.智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图所示，图中为电阻箱一种变阻器，电阻阻值大小可调，为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图所示，下列说法正确的是( )
信息窗 电路中的触发器电阻忽略不计； 为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量餐盘质量不计为，压力为取，要求不低于．
A. 压力传感器阻值随所受压力的增大而增大
B. 当时，压力传感器阻值
C. 当送餐量为时，
D. 为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个使代数式在实数范围内有意义的的值： ．
12.一个不透明的盒子里装有三张完全相同的卡片，分别标有如图所示的数字，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，摇匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上的数字都为有理数的概率为 ．
13.关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
14.如图，将扇形沿弦对折后，恰好经过扇形的顶点已知弦，则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，在正方形中，为对角线上不与端点重合的一动点，作，交于点，已知若是等腰三角形，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算及化简
计算：；
化简：．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
学校开展消防器材实操培训，让师生掌握灭火器、消防栓等使用技能，增强全校师生的消防安全意识，提升火情初期处置能力，筑牢校园安全防线，为师生生命财产安全保驾护航．河南某校开展消防器材实操培训后，为了解学生操作灭火器的熟练度，进行了如下统计．收集数据在九，两个班各随机抽取了名学生进行测试，测试成绩单位：，时间越短越熟练如下：
九班：，，，，，，，，，，，；
九班：，，，，，，，，，，，．
整理数据分组整理这两组数据如表所示：
组别频数
九班
九班
分析数据两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级 平均数 众数 中位数 方差
九班
九班
根据以上信息，回答下列问题：
， ， ．
若规定成绩在以下为优秀，请估计该校九年级名学生中，测试成绩为优秀的有多少人．
你认为哪个班的学生操作灭火器的熟练度更好？请根据以上统计数据说明理由．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点落在轴上，顶点落在轴上，反比例函数的图象经过点．
求反比例函数的解析式；
现将直角三角尺沿轴正方向平移，顶点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的对应点的坐标．
19.本小题分
如图，古塔用于藏舍利、经卷，兼具宗教信仰、文化传承与历史见证意义，是古代建筑艺术瑰宝．综合与实践活动中，某小组要利用测角仪测量一古塔的高度，其测量模型如图所示，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度，点，，在同一条水平直线上．该小组在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．
求的长；
求塔的高度．结果精确到参考数据：
20.本小题分
为满足市场对特色美食的需求，某商户计划一次性购进汝南五香鸡汁豆腐干和宿鸭湖烤鸭蛋两款热门特产共箱．已知购进箱豆腐干和箱烤鸭蛋共需元，购进箱豆腐干和箱烤鸭蛋共需元．
求购进豆腐干和烤鸭蛋的单价．
豆腐干的售价为元箱，烤鸭蛋的售价为元箱，若豆腐干的进货量不少于烤鸭蛋进货量的一半，且不超过箱，求两种特产全部售完时的最大利润及对应的进货方案．
21.本小题分
如图，是的直径，为的弦，为射线上一点，弦平分．
作，垂足为尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的基础上，求证：为的切线；
若，，求的长．
22.本小题分
转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架如图，以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为．
设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式．
若枝条外端到主干的水平距离即枝条牵引深度为，求点离地面的高度．
为保证枝条弯枝之后不至于断枝当的长度超过时枝条会被折断，需测量安全监测距离为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由．
23.本小题分
在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为，的度数为．
问题解决如图，若，则的度数为 ，的值为 ；
问题探究如图，若，判断的值是否发生变化，并说明理由；
拓展延伸若，中有一锐角的正切值为，请直接写出线段的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一，即可
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】
解：原式
【小题】
解：原式

17.【答案】【小题】
【小题】
解：人，
答：测试成绩为优秀的有人；
【小题】
解：九班的学生操作灭火器的熟练度更好，理由：九班成绩的平均数和方差均小于九班，说明九班学生操作的平均用时更短，且成绩更稳定．

18.【答案】【小题】
解：反比例函数的图象经过点，
将代入反比例函数，得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
【小题】
解：过点作于点，如图，
，
，，
是等腰直角三角形，，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，，
设三角尺沿轴正方向平移了个单位，则，
点在上，代入得：，
解得，
点向右平移个单位后，坐标为，即．

19.【答案】【小题】
解：，
是直角三角形，
，的坡度，
，
设，则．
在中，，
由勾股定理得：
解得舍去负根，
．
【小题】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
四边形，是矩形，
，，
由得，，
，，
，
设，则，，
在中，，
，
，
解得：，
，
．
塔的高度约为．

20.【答案】【小题】
解：设购进豆腐干的单价为元箱，烤鸭蛋的单价为元箱．
根据题意得
解得
答：购进豆腐干的单价为元箱，烤鸭蛋的单价为元箱；
【小题】
解：设购进豆腐干箱，全部售完的总利润为元，则购进烤鸭蛋箱．
每箱豆腐干的利润为元，每箱烤鸭蛋的利润为元，
则，
根据题意得
解得，
为整数，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为元，
此时箱．
答：两种特产全部售完时的最大利润为元，对应的进货方案为购进豆腐干箱，烤鸭蛋箱．

21.【答案】【小题】
【小题】
证明：连接，如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
为的切线；
【小题】
解：连接，则，
，
是等边三角形，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
．

22.【答案】【小题】
解：根据题意得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
由题意得，点在抛物线上，代入得：，
解得：，
所以，抛物线的解析式为，即：；
【小题】
解：枝条外端到主干的水平距离即枝条牵引深度为，
，
，
点离地面的高度为；
【小题】
该枝条不会被折断，理由如下：
，，
，
点到主干的水平距离为，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得：
解得
直线的解析式为，
设，则，
，
这是一个开口向下的二次函数，顶点在处，
代入得：的最大值为，
，
该枝条不会被折断．

23.【答案】【小题】
【小题】
解：的值不变化，理由如下：
延长，交于点，
，
，
又，，
，即是的中点，
，
，
，
，
，即点是的中点，
是的中位线，
，即；
【小题】
解：当时，
设，则，
，
平分，
，
又，
，
，即，
，
，
解得：，舍去
延长，交于点，
由知，，
，
又，
，
由勾股定理得，
；
当时，延长，交于点，
同理可得，，
由勾股定理得，
；
综上，的长为或．

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