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2026年河南驻马店市确山县名校协作体九年级下学期阶段性评价（八）数学
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，最小的数为( )
A. B. C. D.
2.我国现已能研制出直径为的碳纳米管，则对应的原数为( )
A. B. C. D.
3.如图，直线，被直线，所截，下列能判定直线的是 ．
A. B. C. D.
4.如图所示的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是．
A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同
C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图都不相同
5.化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.下列调查中，最适合采用普查全面调查的是( )
A. 调查年春晚的收视率 B. 调查某批新能源汽车的续航能力
C. 了解五一假期某省的旅游人次 D. 了解某班学生的体育考试成绩
7.已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是( )
A. B. C. D.
8.学习小组的同学用如图所示的装置探究某种晶体熔化时温度的变化规律，初始温度为，待温度升高到开始，每隔记录一次温度计的示数，根据记录的数据得到如图所示的图象，则该晶体的熔点是 ．
小贴士晶体从开始熔化到熔化结束的过程中温度保持不变，这一温度称为晶体的熔点
A. B. C. D.
9.如图，在中，，点，分别在边，上，，将沿翻折，点的对应点为，，分别交边于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的“定向点”已知点的“定向点”为，点的“定向点”为，点的“定向点”为，，这样依次得到点，，，，若点的坐标为，经过上述“定向点”的变换，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.计算： ．
12.请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式：
图象经过原点；
当时，随的增大而增大．
则这个二次函数表达式可以是 写出一个即可
13.甲、乙两人一起用扑克牌玩“抽牌”游戏，规则如下：甲、乙两人手中的扑克牌如图所示两人均不知道对方手中牌上的数字，甲从乙的牌中随机抽取两张，则甲抽取的两张牌上的数字和甲已有的牌上的数字只有一张相同的概率为 ．
14.如图，是的弦，点是上的动点不与点，重合，，的半径为，则在点运动的过程中，由弦、弦、所围成的封闭图形阴影部分面积的最大值为 ．
15.在矩形中，，，是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，交对角线于点连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.按要求完成下列各题：
计算：．
解不等式组：．
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
科研人员通过研究试验田小麦的抗病性、丰产性筛选优质品种．科研人员从某品种小麦试验田里随机选择株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分满分为分，分数越高，性能越优，分及以上为优质小麦，将得分数据整理成如图所示的统计图．
该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表：
平均数 中位数 众数 方差 优质率
抗病性
丰产性
上表中 ， ．
根据以上数据，你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由．
18.本小题分
如图，是的直径，点在上，与相切于点，与的延长线交于点．
尺规作图：过点作，交于点不写作法，保留作图痕迹
在的基础上连接，求证：．
19.本小题分
某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售的整个过程．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．精包装每盒斤，售价元，简包装每盒斤，售价元．
在活动中，学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元．请问精包装和简包装各销售了多少盒？
现要对斤草莓进行分装，要求既有精包装也有简包装，且恰好将这斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的总成本控制在元以内，请设计出符合要求的分装方案．
20.本小题分
在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站图进行测试．
测试人员在距离基站米的处测得基站的顶端的仰角为，基站与地面垂直，示意图如图所示，则基站的高度为 米．用含，的式子表示
信号强度单位：相对值与手机到基站的距离单位：米的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足反比例函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数，测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．
求关于的函数表达式．
工程师将信号强度划分为以下等级：
信号强度
等级 优秀 良好 一般 弱覆盖
用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线
通过计算说明，手机距离基站多少米以外，上网容易掉线．结果保留整数．参考数据：
21.本小题分
综合与实践
活动主题 在网格图中巧作角平分线
活动背景 在一次动手实践课上，老师提出如下问题：如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中，点，，都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出的平分线
小组讨论 如图，在网格图中取点，，作矩形，连接对角线，交于点，则射线是的平分线
请根据上述材料，回答下列问题．
图中线段的长为 ，线段的长为 ．
判断上述作法是否正确，并说明理由．
在图中，用不同于已给出的作法，仅用无刻度的直尺作出的平分线．保留作图痕迹，不写作法，不需要说明理由
22.本小题分
近年来，我国在人工智能领域取得重大突破，智能机器人技术已广泛应用于物流、仓储等领域．在某科技公司的测试场上，两个物流机器人和正在进行性能测试，如图所示，在长的直线测试跑道上，机器人和同时从起点出发向终点运动，到达终点后停止．机器人，的运动路程，与时间均为二次函数关系．其中测得与的几组数据如下表，与的函数表达式为．
求出与的函数表达式．
开始运动后，机器人，到达终点前能否相遇？若能，求出相遇时的值；若不能，请说明理由．
运动过程中，当机器人，之间的距离最大时，直接写出的值和最大距离．
23.本小题分
【问题情境】
如图，在中，，，当点是边上一点时，将绕点逆时针旋转得到，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，，探究的形状．
【问题发现】观察图形后猜想与的关系为 ，从而得到的形状是 ．
【类比探究】改变点的位置，如图，当点是平面内任意一点时，其他条件不变，中的结论是否仍然成立？请就图的情形说明理由．
【拓展探究】在的条件下，若，，其他条件不变，将绕点旋转，当点，，三点共线时，直接写出的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】答案不唯一
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】
解：原式．
【小题】
解：解不等式，得．
解不等式，得．
把两个不等式的解集表示在数轴上，如解图所示：
该不等式组的解集为．

17.【答案】【小题】
【小题】
该品种小麦的抗病性更优，
理由：该品种小麦的抗病性的平均数和优质率均大于丰产性的平均数和优质率，则该品种小麦的抗病性更优．

18.【答案】【小题】
如解图，即为所求．作法不唯一，也可作
【小题】
如解图，连接，．
是的切线，
．
．
是的直径，
．
．
．
又，
．

19.【答案】【小题】
解：设精包装销售了盒，简包装销售了盒，
根据题意得：
解得：
答：精包装销售了盒，简包装销售了盒；
【小题】
解：设包装盒的总成本为，精包装分装盒，则简包装分装盒，
根据题意得：总成本，
是正整数，
可以取或或，
令，
解得，
或，
当时，，
当时，，
答：符合要求的分装方案有两种，方案一：分装精包装盒，简包装盒；方案二：分装精包装盒，简包装盒．

20.【答案】【小题】
【小题】
解：由题意，可知，则，此时．
把代入，得．
关于的函数表达式为．
上网容易掉线对应的信号强度为．
令，解得，即．
米．
由反比例函数图象，可知时，，即，
手机距离基站米之外，上网容易掉线．

21.【答案】【小题】
【小题】
作法正确．理由如下：
四边形是矩形，
．
，
平分．
【小题】
作法一：如解图所示，射线即为的平分线．
作法二：
作法三：

22.【答案】【小题】
解：设．
把，代入，得，解得．
与的函数表达式为．
【小题】
解：令，解得舍去，．
当时，，
机器人，到达终点前能相遇，相遇时的值为．
【小题】
解：，最大距离为．
令，解得舍去，，即机器人运动到达终点；
令，解得舍去，，即机器人运动到达终点；
，
先到达终点后，继续运动至终点．
设机器人，之间的距离为
当时，，，
当时，有最大值为．
当时，，，
，，
当时，有最大值，为．
当时，机器人到达终点停止运动，机器人继续向终点运动，过程中．
，
当时，机器人，之间的距离最大，最大距离为．

23.【答案】【小题】
全等
等边三角形
【小题】
中的结论仍然成立．
理由如下：
如解图，记，交于点，标记，，，，．
四边形是平行四边形，
．
，
．
由旋转，得，，
是等边三角形．
．
，
．
．
，，
．
．
，．
．
是等边三角形．
【小题】
解：，，
过点作于点，
根据等腰三角形性质，得，
得．
当点在线段上时，如解图，过点作于点．
，
，．
在中，．
．
同理，可得．
当点在线段的延长线上时，如解图，同理，可得．
．
．
综上所述，的长为或．

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