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专题04 实数【六大题型】
【题型1 算数平方根的非负性】
1．（2025 海淀区期末）若实数a，b满足，那么a+b的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
2．（2025 顺义区期末）已知，那么（a+b）2025的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．32025 D．﹣32025
3．（2025 海淀区期末）若，则x﹣2y的值是（　　）
A．﹣13 B．3 C．1 D．5
4．（2025 平谷区期末）若m、n满足，则的平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．4 D．2
5．（2025 西城区期末）已知，则x+y＝　 　．
6．（2025 西城区期末）若，那么a+b的值为　 　．
【题型2 利用平方根与立方根的性质解方程】
7．（2025 海淀区期末）求x的值：
（1）8x3＝1；
（2）（x﹣3）2﹣4＝0．
8．（2025 东城区期末）解方程：
（1）25x2＝4．
（2）3（x﹣1）3+24＝0．
9．（2025 西城区期末）求下列各式中的x的值：
（1）x2+1＝10；
（2）（2x﹣1）3＝27．
10．（2025 海淀区期末）解下列方程：
（1）；
（2）3x2＝12．
11．（2025 西城区期末）求x的值：
（1）7x2＝63；
（2）．
12．（2025 海淀区期末）利用平方根和立方根的知识求下列方程中未知数x的值：
（1）2x2＝18；
（2）．
【题型3 实数与数轴】
13．（2025 东城区期末）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则在下列结论中，正确的是（　　）
A．|a|＜b B．a﹣b＞0 C．a2＞2 D．
14．（2025 丰台区期末）实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．|a|＝|b| B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．ab＜0
15．（2025 西城区期末）如图，数轴上点P表示的数是1，点A，B，C，D中有一个点是将点P向左平移个单位长度后得到的，这个点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
16．（2025 海淀区期末）如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（　　）
A． B． C． D．
17．（2025 西城区期末）A、B为数轴上两点，点A表示的数为1，点B到点A的距离是，则点B表示的数为　 　．
18．（2025 海淀区期末）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是　 　．
【题型4 实数大小比较】
19．（2025 朝阳区期末）在0，，，四个数中，最小的实数是（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
20．（2025 东城区期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
21．（2025 通州区期末）若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　）
A． B． C． D．
22．（2025 顺义区期末）已知min{a，b，c}表示取三个数中最小的那个数．例如：当x＝﹣2时，min{|﹣2|，（﹣2）2，（﹣2）3}＝﹣8，当时，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
23．（2025 西城区期末）比较大小：　 　4（填“＞”，“＜”或“＝”）．
24．（2025 东城区期末）在，1，﹣2，0这四个实数中，最小的是　 　．
25．（2025 密云区期末）比较大小：　 　（填“＞”，“＜”或“＝”）．
26．（2025 房山区期末）写出一个比2大且比3小的无理数　 　．
【题型5 估算无理数的大小】
27．（2025 海淀区期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　）
A． B．2 C．1 D．
28．（2025 朝阳区期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若﹣a＜b＜a，且b是无理数，则b的值可以是（　　）
A． B． C． D．π
29．（2025 延庆区期末）已知322＝1024，332＝1089，342＝1156，352＝1225．若n为整数且，则n的值为（　　）
A．35 B．34 C．33 D．32
30．（2025 大兴区期末）观察下面表格，结论不正确的是（　　）
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
x2 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41
A．2.1的平方是4.41
B．
C．5.76的算术平方根是2.4
D．当2.1≤x≤2.9时，随着x的增大，x2的值也增大
31．（2025 平谷区期末）最接近的整数是　 　．
32．（2025 丰台区期末）已知n为整数，且，则n的值为　 　 ．
33．（2025 密云区期末）若，且a、b是两个连续的整数，则ab的值为　 　 ．
34．（2025 昌平区期末）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数，，则n的值为　 　 ．
【题型6 实数的运算】
35．（2025 海淀区期末）计算：．
36．（2025 朝阳区期末）计算：．
37．（2025 西城区期末）计算：．
38．（2025 海淀区期末）计算：．
39．（2025 顺义区期末）计算：．
40．（2025 门头沟区期末）计算：．
41．（2025 东城区期末）计算：
（1）；
（2）．
42．（2025 房山区期末）计算：
（1）；
（2）．
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专题04 实数【六大题型】
【题型1 算数平方根的非负性】
1．（2025 海淀区期末）若实数a，b满足，那么a+b的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
解：由条件可知a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3﹣2＝1，
答案：D．
2．（2025 顺义区期末）已知，那么（a+b）2025的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．32025 D．﹣32025
解：∵，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1．
答案：A．
3．（2025 海淀区期末）若，则x﹣2y的值是（　　）
A．﹣13 B．3 C．1 D．5
解：∵，，（x+y﹣2）2≥0，
∴，
解得，
∴x﹣2y＝3+2＝5．
答案：D．
4．（2025 平谷区期末）若m、n满足，则的平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．4 D．2
解：∵≥0，|n﹣15|≥0，，
∴m﹣1＝0，n﹣15＝0，
解得m＝1，n＝15，
∴原式．
∵4的平方根是±2，
∴的平方根是±2．
答案：B．
5．（2025 西城区期末）已知，则x+y＝　﹣1　．
解：∵，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴x+y＝2﹣3＝﹣1．
答案：﹣1．
6．（2025 西城区期末）若，那么a+b的值为　1　 ．
解：∵，
∴3a﹣6＝0，a+2b＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝2﹣1＝1．
答案：1．
【题型2 利用平方根与立方根的性质解方程】
7．（2025 海淀区期末）求x的值：
（1）8x3＝1；
（2）（x﹣3）2﹣4＝0．
解：（1）8x3＝1，
，
；
（2）（x﹣3）2﹣4＝0，
（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
x＝5或x＝1．
8．（2025 东城区期末）解方程：
（1）25x2＝4．
（2）3（x﹣1）3+24＝0．
解：（1）原方程整理得：
，
∴；
（2）原方程整理得（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣1＝﹣2，
∴x＝﹣1．
9．（2025 西城区期末）求下列各式中的x的值：
（1）x2+1＝10；
（2）（2x﹣1）3＝27．
解：（1）x2+1＝10，
x2＝9，
x＝±3；
（2）（2x﹣1）3＝27，
2x﹣1＝3，
x＝2．
10．（2025 海淀区期末）解下列方程：
（1）；
（2）3x2＝12．
解：（1），
2（x﹣1）＝6﹣3（5x﹣3），
2x﹣2＝6﹣15x+9，
2x+15x＝6+9+2，
17x＝17，
x＝1；
（2）3x2＝12，
x2＝4，
x＝±2．
11．（2025 西城区期末）求x的值：
（1）7x2＝63；
（2）．
解：（1）7x2＝63．
x2＝9，
x＝±3；
（2），
x3＝﹣8，
x＝﹣2．
12．（2025 海淀区期末）利用平方根和立方根的知识求下列方程中未知数x的值：
（1）2x2＝18；
（2）．
解：（1）2x2＝18，
x2＝9，
x＝±3；
（2），
，
x3＝8，
x＝2．
【题型3 实数与数轴】
13．（2025 东城区期末）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则在下列结论中，正确的是（　　）
A．|a|＜b B．a﹣b＞0 C．a2＞2 D．
解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1.5，0＜b＜1，|a|＞|b|，
∴|a|＞b，a﹣b＜0，a2＞2，a＜﹣b，
∴，
∴A、B、D选项的结论错误，C选项的结论正确，
答案：C．
14．（2025 丰台区期末）实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．|a|＝|b| B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．ab＜0
解：由题知，
因为实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，
所以A，B两点表示的数互为相反数（都是不0），
所以|a|＝|b|，a+b＝0，a﹣b＞0或a﹣b＜0，ab＜0，
显然只有C选项符合题意．
答案：C．
15．（2025 西城区期末）如图，数轴上点P表示的数是1，点A，B，C，D中有一个点是将点P向左平移个单位长度后得到的，这个点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
解：由题意可知：点P与这个点的距离为，
设这个点表示的数是x，
，
，
或（不合题意舍去），
，
，
，即，
∴这个点是点B，
答案：B．
16．（2025 海淀区期末）如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（　　）
A． B． C． D．
解：∵正方形ABCD的面积为3，
∴，
∵AD＝AE，
，
∵点A坐标为2，
∴点E表示的数为：，
答案：B．
17．（2025 西城区期末）A、B为数轴上两点，点A表示的数为1，点B到点A的距离是，则点B表示的数为　或　 ．
解：∵点A表示的数为1，点B到点A的距离是，
∴点B表示的数为或，
答案：或．
18．（2025 海淀区期末）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是　点N．
解：∵，
∴，
∴，
∴这个点是点N，
答案：点N．
【题型4 实数大小比较】
19．（2025 朝阳区期末）在0，，，四个数中，最小的实数是（　　）
A．0 B． C． D．
解：∵，
∴最小的数是：．
答案：D．
20．（2025 东城区期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
解：由题意得：
有理数a在数轴上的对应点的位置离原点最远，所以，这四个数中，绝对值最大的是a，
答案：A．
21．（2025 通州区期末）若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：∵0＜a＜1，
∴设，，，
∵，
．
答案：A．
22．（2025 顺义区期末）已知min{a，b，c}表示取三个数中最小的那个数．例如：当x＝﹣2时，min{|﹣2|，（﹣2）2，（﹣2）3}＝﹣8，当时，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
答案：C．
23．（2025 西城区期末）比较大小：　＜　4（填“＞”，“＜”或“＝”）．
解：∵，
，
．
答案：＜．
24．（2025 东城区期末）在，1，﹣2，0这四个实数中，最小的是　﹣2　．
解：，
∴最小的数是：﹣2．
答案：﹣2．
25．（2025 密云区期末）比较大小：　　（填“＞”，“＜”或“＝”）．
解：，
∵18＞5，
∴，
答案：＞．
26．（2025 房山区期末）写出一个比2大且比3小的无理数　　．
解：请写出一个比2大且比3小的无理数：．
答案：．
【题型5 估算无理数的大小】
27．（2025 海淀区期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　）
A． B．2 C．1 D．
解：，
∴的整数部分为x＝1，小数部分为，
∴，
答案：C．
28．（2025 朝阳区期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若﹣a＜b＜a，且b是无理数，则b的值可以是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意可得﹣2＜b＜2，且b是无理数，
∵1＜2＜4＜7，
，
∵4＜5＜9，
，
∵π＞2，
∴b的值可以是，
答案：B．
29．（2025 延庆区期末）已知322＝1024，332＝1089，342＝1156，352＝1225．若n为整数且，则n的值为（　　）
A．35 B．34 C．33 D．32
解：由条件可知，即，
，
∴n＝34．
答案：B．
30．（2025 大兴区期末）观察下面表格，结论不正确的是（　　）
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
x2 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41
A．2.1的平方是4.41
B．
C．5.76的算术平方根是2.4
D．当2.1≤x≤2.9时，随着x的增大，x2的值也增大
解：由表格数据可得2.1的平方是4.41，则A不符合题意，
由表格数据可得6.76＜7＜7.29，那么，则B符合题意，
由表格数据可得2.4的平方是5.76，那么5.76的算术平方根是2.4，则C不符合题意，
由表格数据可得当2.1≤x≤2.9时，随着x的增大，x2的值也增大，则D不符合题意，
答案：B．
31．（2025 平谷区期末）最接近的整数是　2　．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
则最接近是2，
答案：2．
32．（2025 丰台区期末）已知n为整数，且，则n的值为　9　．
解：n为整数，最接近的整数是9和10，
因为，，
，即，
答案：9．
33．（2025 密云区期末）若，且a、b是两个连续的整数，则ab的值为　12　．
解：∵27＜40＜64，
，
∴a＝3，b＝4，
∴ab＝12，
答案：12．
34．（2025 昌平区期末）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数，，则n的值为　45　．
解：∵452＝2025，462＝2116，而2025＜2025＜2116，
，
又∵n为整数，，
∴n＝45．
答案：45．
【题型6 实数的运算】
35．（2025 海淀区期末）计算：．
解：原式
．
36．（2025 朝阳区期末）计算：．
解：原式
．
37．（2025 西城区期末）计算：．
解：
＝1+2+1+4
＝8．
38．（2025 海淀区期末）计算：．
解：
．
39．（2025 顺义区期末）计算：．
解：
．
40．（2025 门头沟区期末）计算：．
解：
＝3+1﹣9﹣（﹣1）
＝3+1﹣9+1
＝﹣4．
41．（2025 东城区期末）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
＝﹣1+3.5
＝2.5．
42．（2025 房山区期末）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝﹣2；
（2）
＝4﹣3+2
＝3．
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