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江苏南京市玄武区2025-2026学年度第二学期九年级学情调研卷（二）数学
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱
2.下列计算结果为的是( )
A. B. C. D.
3.面积为的正方形的边长是( )
A. 的平方根 B. 的算术平方根 C. 开平方的结果 D. 的立方根
4.已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为( )
A. B. C. D.
5.如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的点处．若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.向体积一定的水中加入质量为的糖，充分溶解后体积的变化忽略不计含糖率等于糖的质量与总质量的比值，甜度系数等于单位体积的水中所含糖的质量．下列图像中，能大致反映、关于的关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
8.计算的结果是 ．
9.分解因式的结果是 ．
10.在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向左平移个单位，得到点，则点的坐标是 ．
11.已知一次函数为常数，的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是 填一个正确的数据
12.设，是关于的方程的根，且，则的值为 ．
13.如图，边长为的正方形，边在数轴上，将对角线绕点按顺时针方向旋转，使点落在数轴上的点处，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
14.如图，一个纸杯的高度是，六个纸杯叠放在一起的高度为若干个纸杯按如图所示的方式叠放，且高度不超过，则纸杯的个数最多是 个．
15.如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径．若，则的长为 ．
16.如图，一块长为，宽为的长方形铁皮，按如图所示的方式裁剪折叠，做成一个底面为正六边形且侧面为长方形的无盖铁皮箱，则铁皮箱底面的边长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算及解方程
计算：；
解方程：．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19.本小题分
某农业基地改进蔬菜的浇水方式，将喷灌方式改为滴灌．改进后，一块菜地平均每天用水量为原来的一半，水可以使用的天数比原来多天．浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水多少吨？
20.本小题分
某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加米比赛，共进行了次测试，测试成绩的折线统计图如下单位：秒．
甲、乙次百米测试成绩的折线统计图
第 次测试，甲、乙测试成绩的差距最大；
分别求出甲、乙这次测试的平均成绩；
你认为哪名学生参加米比赛较为合适？为什么？
21.本小题分
甲袋中装有张卡片，分别写有数字，和，乙袋中装有张卡片，分别写有数字和，这些卡片除数字外，其他均相同．先从甲袋中随机抽取张卡片，记录数字后放入乙袋，充分摇匀后，再从乙袋中随机抽取张卡片．
从甲袋中抽取的卡片数字是偶数的概率是 ；
求两次抽取的卡片数字之和为奇数的概率．
22.本小题分
如图，在中，平分，平分，点，分别在，边上，连接，，分别交，于，．
求证：四边形是平行四边形；
若平分，则 ．
23.本小题分
如图，，点在的内部．用两种不同的方法求作：经过点的直线，分别交，于点，，使得是等边三角形．要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明
24.本小题分
如图，海岛位于港口的南偏西方向上，灯塔恰好位于的中点处．轮船甲从海岛出发，沿正东方向航行，轮船乙从港口出发，沿正南方向航行．当甲航行到点处时，乙航行了至点处，此时，，三点恰好在同一条直线上，灯塔位于点的北偏西方向上，求轮船甲与灯塔的距离．
参考数据：，，，结果保留根号
25.本小题分
如图，在中，，是弦，是的中点，连接，过点作，与，交于点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
如图，当是的直径时，连接，，，求菱形的周长．
26.本小题分
已知二次函数为常数，，顶点坐标为．
当时， ；
当时，
求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点；
若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ．
27.本小题分
在三角形的三条边上任取一点不包括顶点，以这三点构成的三角形与原三角形相似，且原三角形的顶点与该顶点所对边上的点是对应顶点，则称这个三角形是原三角形的内接相似三角形．例如：如图，在中，，且，，分别在边，，上，则称是的内接相似三角形．
【初步认识】如图，已知等边三角形，点在边上．求作：，使得是的内接相似三角形．要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明
【深入理解】
在中，，点，，分别在边，，上．
如图，若，，是的中点，求证：是的内接相似三角形．
若是的内接相似三角形，且，，则的中点所形成的图形的长度为 ．
【拓展延伸】
下列关于三角形的内接相似三角形的说法，所有正确结论的序号是 ．
对于任意三角形，都存在无数个内接相似三角形；
对于任意三角形边上的每一点不包括顶点，都存在唯一的内接相似三角形；
对于每一个确定的三角形，周长最短的内接相似三角形的顶点是原三角形各边的中点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】．
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一，任意大于的数均可
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：
．
【小题】
解：，
，
，
，．

18.【答案】解：
；
当、时，原式．

19.【答案】解：设浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨．
根据题意列方程得：，解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意．
答：浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水吨．

20.【答案】【小题】
【小题】
甲的平均成绩为：；
乙的平均成绩为：；
【小题】
乙，理由如下：
，
，
乙的成绩更稳定，更适合参加比赛．

21.【答案】【小题】
【小题】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知：一共有种等可能的结果．其中两次数字之和为奇数的结果有种，所以两次抽取的卡片数字之和为奇数的概率为．

22.【答案】【小题】
证明：，
，，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题】

23.【答案】如图所示即为所求；

24.【答案】解：过点作，延长交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
设，则，，
，
即，
解得：，
，，
根据题意得，
同理得：，，
，
，
，
，
灯塔恰好位于的中点处，
，
，
，
，
．

25.【答案】【小题】
证明：如图，设相交于点，
是的中点，
，
，即，
，
，，
垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形；
【小题】
解：如图，连接，设与交于点，
是的直径，是的中点，
，，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
即，
，
在中，，
菱形的周长．

26.【答案】【小题】
【小题】
证明：由可得，
令，即，，
，
，，
，
方程有两个不相等的实数解，
二次函数的图像与轴总有两个公共点．
解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数，
，即，
，
，
，即，
方程的最小解为，
，解得：，
；
由可得：，
抛物线开口方向向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
当，随的增大而减小，
当时，有最大值；当时，有最小值；
的取值范围为．

27.【答案】【小题】
如图，即为所求：
文字说明：
如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，即为所求．
【小题】
证明：如图，连接，
，，是的中点，
，，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，即，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
是的内接相似三角形；
，，，
，
在中，，
，，
点是上的动点，
点的运动轨迹由点运动到点，
又是的内接相似三角形，
，，，
点的运动轨迹由到，
的中点由运动到，
当点与点重合时，，
，
当点与点重合时，，
，
，
，
点恒为的中点，
，
在中，，
，
．
【小题】

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