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2027湘教版高中数学必修第一册
1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命题
基础过关练
题组一　命题及命题的真假
1.下列语句为命题的是(　　)
A.2x+5≥0　　　　B.求证对顶角相等
C.0不是偶数　　　　D.今天心情真好啊
2.(多选题)下列命题中为真命题的是(　　)
A.梯形ABCD的内角和是360°
B.若x,y互为倒数,则xy=1
C.若a是有理数,则a2+1≥1
D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形
3.(2025江苏镇江期末)下列语句为真命题的是(　　)
A.a>b
B.四条边都相等的四边形为矩形
C.1+2=3
D.今天是星期天
4.(2024湖南株洲期末)已知下列命题:①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程x2-3x-4=0的判别式大于0;④周长或面积相等的两个三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集,且是A∪B的子集.其中真命题的个数是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
5.已知①5x-1>a,②x>1,请确定实数a的范围,使得利用①②构造的命题“若p,则q”为真命题.
题组二　命题的否定及逆命题
6.命题“若x2=1,则x=1”的否定为(　　)
A.若x2≠1,则x=1　　　　
B.若x2=1,则x≠1
C.若x2≠1,则x≠1　　　　
D.若x≠1,则x2≠1
7.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是(　　)
A.若一个数是负数,则它的相反数不是正数
B.若一个数的相反数是正数,则它是负数
C.若一个数不是负数,则它的相反数不是正数
D.若一个数的相反数不是正数,则它不是负数
8.(2025湖北荆州期末)已知命题p:若a2+b2=0,则a=0且b=0,下列说法正确的是(　　)
A. p:若a2+b2=0,则a≠0且b≠0为真命题
B. p:若a2+b2≠0,则a=0且b=0为真命题
C. p:若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0为假命题
D. p:若a2+b2=0,则a≠0或b≠0为假命题
9.写出下列命题的否定,并判断原命题和命题的否定的真假.
(1)p:等圆的面积不相等;
(2)p:平行于同一条直线的两直线平行;
(3)p:一元二次方程至多有两个不同的解.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　对于A,“2x+5≥0”不能判断真假,故不是命题;对于B,“求证对顶角相等”不是陈述句,故不是命题;对于D,“今天心情真好啊”为感叹句,不是陈述句,故不是命题.
2.ABC　易知A为真命题;对于B,由互为倒数的两个数的乘积为1,可知B为真命题;对于C,因为a2≥0,所以a2+1≥1,故C为真命题;对于D,菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,所以D为假命题.
3.C　对于A,此语句不能判断真假,所以不是命题,故A错误;
对于B,此语句是命题,但在平面内四条边都相等的四边形是菱形,故B错误;
对于C,1+2=3是命题,且是真命题,故C正确;
对于D,此语句不能判断真假,所以不是命题,故D错误.
4.C　对于①,矩形是平行四边形,且矩形有外接圆,故该命题为真命题;
对于②,菱形不一定有外接圆,故该命题为假命题;
对于③,方程x2-3x-4=0的判别式Δ=9-4×(-4)=25>0,故该命题为真命题;
对于④,周长或者面积相等的两个三角形不一定全等,故该命题为假命题;
对于⑤,A∩B A,A A∪B,故该命题为真命题.
5.解析　若视①为p,②为q,则命题“若p,则q”为“若5x-1>a,则x>1”,即“若x>,则x>1”.由命题为真命题,可知≥1,解得a≥4,故当a≥4时,“若5x-1>a,则x>1”为真命题.
若视②为p,①为q,则命题“若p,则q”为“若x>1,则5x-1>a”,即“若x>1,则x>”,由命题为真命题,可知≤1,解得a≤4,故当a≤4时,“若x>1,则5x-1>a”为真命题.
6.B　“若p,则q”的否定为“若p,则 q”.
7.B　若将原命题记作“若p,则q”,则A为“若p,则 q”;B为“若q,则p”;C为“若 p,则 q”;D为“若 q,则 p”.“若p,则q”的逆命题为“若q,则p”.
8.D　由题意得 p:若a2+b2=0,则a≠0或b≠0,
因为命题p为真命题,所以 p为假命题.
9.解析　(1) p:等圆的面积相等.命题p是假命题, p是真命题.
(2) p:平行于同一条直线的两直线不平行.命题p是真命题, p是假命题.
(3) p:一元二次方程至少有三个不同的解.命题p是真命题, p是假命题.
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