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2027湘教版高中数学必修第一册
1.2.2　充分条件和必要条件
基础过关练
题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.(2024江苏扬州五校联考)已知p:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2026重庆清华中学校月考)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”此名言中的“积跬步”是“至千里”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025四川成都期中)下列选项中,p是q的充要条件的是(　　)
A.p:xy>0,q:x>0,y>0
B.p:x=1,q:x2=1
C.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分
D.p:两个三角形全等,q:两个三角形三边对应相等
4.(2025河南信阳期中)甲:“实数a,b,c满足2b=a+c”,乙:“实数a,b,c满足+=2”,则甲是乙的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列陈述句:①a<0或b<0;②a<0且b<1;③a<-1且b<0;④a<0或b<-1中,能成为“a<0且b<0”的必要不充分条件的是　　　　.(填序号)
题组二　充分条件、必要条件与充要条件的应用
6.(2025天津北辰期末)已知条件p:-1≤x≤3,条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)
A.{a|a>3}　　　　B.{a|a≥3}
C.{a|a<-1}　　　　D.{a|a≤-1}
7.(2023辽宁省实验中学月考)若“x>2a-3”是“-1A.a<1　　　　B.a≤1　　　　C.a>1　　　　D.a≥1
8.(2025江苏常州期中)已知条件p:2≤x≤3,q:2k-1≤x≤k+3,p是q的充分条件,则实数k的取值范围是　　　　.
9.(2025山东济南第一中学月考)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的　　　　 若实数m存在,求出m的取值范围;若m不存在,请说明理由.
请在①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件这三个条件中任选一个补充在上面的横线处.
能力提升练
题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.(2025广东江门期中)设m,n∈R,当mn≥0时,m n=m+n;当mn<0时,m n=|m+n|.例如-6 4=2,则“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a b=-1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2025江苏南通期末)设x1A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(多选题)(2024河南信阳高级中学月考)下列结论中正确的是(　　)
A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件
B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件
C.“00恒成立”的充要条件
D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明
4.(2026福建泉州联考)关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是(　　)
A.a∈(-2,1)　　　　B.a∈(-2,0)
C.a∈(-1,0)　　　　D.a∈(-1,1)
5.若a,b都是实数,试从①ab=0,②a+b=0,③a(a2+b2)=0,④ab>0中选出所有适合的条件,并用序号填空:
(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;
(3)“a,b中至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
6.(2026山西太原月考)设a,b,c∈R,求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用
7.(2024重庆部分学校月考)已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,则3a+4b=　　　　.
8.(2025辽宁大连期末)已知集合A={x|-2≤x-1≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1,m∈R}.
(1)若A∩B= ,求实数m的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　因为{x|02.B　“积跬步”不一定“至千里”,但“至千里”必有“积跬步”,故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
3.D　对于A,xy>0 x>0,y>0或x<0,y<0,所以p是q的必要不充分条件,不符合题意;
对于B,x=1 x2=1,x2=1 x=±1,所以p是q的充分不必要条件,不符合题意;
对于C,四边形是正方形 四边形的对角线互相垂直且平分,四边形的对角线互相垂直且平分 /四边形是正方形,所以p是q的充分不必要条件,不符合题意;
对于D,两个三角形全等 两个三角形三边对应相等,两个三角形三边对应相等 两个三角形全等,所以p是q的充要条件.
4.A　当a=b=c=0时,实数a,b,c满足2b=a+c,但+=2不成立;
反过来,由+=2可得a+c=2b.
综上所述,“实数a,b,c满足2b=a+c”是“实数a,b,c满足+=2”的必要不充分条件.
5.答案　①②④
解析　由“a<0且b<0”可推出“a<0或b<0”,反之则不行,故①正确;
由“a<0且b<0”可推出“a<0且b<1”,反之则不行,故②正确;
由“a<0且b<0”不可推出“a<-1且b<0”,反之则可行,故③是“a<0且b<0”的充分而不必要条件,故③错误;
由“a<0且b<0”可推出“a<0或b<-1”,反之则不行,故④正确.
6.C　设集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|x>a},因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以a<-1,所以a的取值范围是{a|a<-1}.
7.B　因为“x>2a-3”是“-1所以集合{x|-12a-3}的真子集,故有2a-3≤-1 a≤1.
8.答案　
解析　设集合A={x|2≤x≤3},集合B={x|2k-1≤x≤k+3},因为p是q的充分条件,所以A B,所以解得0≤k≤.
9.解析　因为m>1,
所以3m-2>1>1-m,故B≠ .
选①:充分不必要条件.
由题意得A B,故且等号不同时成立,所以m≥4,即m的取值范围为{m|m≥4}.
选②:必要不充分条件.
由题意得B A,故且等号不同时成立,所以m≤2,又m>1,
所以m的取值范围为{m|1选③:充要条件.
由题意得A=B,故无解,
故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件.
解题模板　在研究条件的充分性和必要性时,可以转化为集合间的关系.若条件p,q对应的集合分别为P,Q,则p是q的充分不必要条件 P Q;p是q的必要不充分条件 P Q;p是q的充要条件 P=Q.
能力提升练
1.A　当a=0,b=-1或a=-1,b=0时,ab=0,
则a b=-1+0=-1;
当a b=-1时,根据题意可知ab≥0,所以a+b=-1,故只要满足ab≥0且a+b=-1即可,显然不止a=0,b=-1和a=-1,b=0这两种情况,所以“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a b=-1”的充分不必要条件.
2.D　由x1例如x=0,x1=,x2=,x3=满足|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2,但(x-x1)(x-x2)(x-x3)=-≠0,故充分性不成立;
由x1例如x=x1=1,x2=2,x3=3,满足(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,但|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=3≠2,故必要性不成立.
所以“|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2”是“(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0”的既不充分也不必要条件.
3.AB　对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之不成立,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确;对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,在△ABC中,当AB2+AC2=BC2时,△ABC为直角三角形,故充分性成立,当△ABC为直角三角形时,还可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D错误.
4.C　易得关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0的两根为x1=a,x2=a+2,x1要使得方程有一个正实根和一个负实根,需a<0,a+2>0,∴-2结合选项知,关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是a∈(-1,0).
5.答案　(1)①②③　(2)④　(3)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同号且都不为0.
6.证明　充分性:由a-b+c=0,得b=a+c,
代入方程得ax2+(a+c)x+c=0,即(ax+c)(x+1)=0,
所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根.
必要性:将x=-1代入方程ax2+bx+c=0,得a-b+c=0.
综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
7.答案　-或30或2
解析　依题意得B A,B≠ ,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}.
当B={-1}时,有
所以3a+4b=3×(-2)+4×=-;
当B={3}时,有
所以3a+4b=3×6+4×3=30;
当B={-1,3}时,有
所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2.
综上,3a+4b的值为-或30或2.
8.解析　(1)A={x|-2≤x-1≤5}={x|-1≤x≤6},
若A∩B= ,则当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,或解得m>5.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(5,+∞).
(2)∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,∴集合B是集合A的真子集,
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2,
当B≠ 时,或解得2≤m≤.
综上所述,实数m的取值范围为.
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