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2027湘教版高中数学必修第一册
1.2.3　全称量词和存在量词
基础过关练
题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假判断
1.(2025河北邯郸魏县一中月考)将x2+y2≥2xy改写成全称量词命题,下列说法正确的是(　　)
A. x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
B. x,y≤R,都有x2+y2≥2xy
C. x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
D. x>0,y>0,都有x2+y2≤2xy
2.(2025辽宁鞍山期末)下列命题为真命题的是(　　)
A.p1: x∈R,x2+1<0
B.p2: x∈R,x+|x|>0
C.p3: x∈Z,|x|∈N
D.p4: x∈R,x2-7x+15=0
3.(2025湖北武汉期末)下列说法中不正确的是(　　)
A.对于任意的实数a,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
B.每一个末位是0的整数都能被5整除
C.存在整数x,y,使得2x+4y=5
D.每个正方形都是平行四边形
4.(多选题)(2024安徽皖北地区部分学校月考)下列命题中,是真命题的有(　　)
A.设A,B为两个集合,若A B,则对任意x∈A,都有x∈B
B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则存在x∈A,使得x B
C. x∈{y|y是无理数},x2是有理数
D. x∈{y|y是无理数},x3是无理数
5.下列命题中,是全称量词命题的有　　　　,是存在量词命题的有　　　　,是真命题的有　　　　.(填序号)
①正方形是菱形;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③有的实数是无限不循环小数;
④有些正整数是偶数;
⑤能被6整除的数也能被3整除;
⑥存在x∈R,>1.
6.定义语句q(x):|x-1|=1-x.
(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;
(2)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题;
(3)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题.
题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断
7.(2025浙江宁波期末)已知命题p: x0≥1,-x0<0,则命题p的否定为(　　)
A. x0≥1,-x0≥0　　　　B. x0<1,-x0≥0
C. x<1,x2-x≥0　　　　D. x≥1,x2-x≥0
8.已知命题p: x∈R,x+|x|≥0,则命题p的否定是(　　)
A. x∈R,x+|x|>0　　　　B. x∈R,x+|x|<0
C. x∈R,x+|x|≤0　　　　D. x∈R,x+|x|≥0
9.(多选题)(2025湖南娄底期末)已知命题p: x∈R,x2-x+1=0,命题q:任意两个等边三角形都相似,下列判断正确的有(　　)
A.p是真命题
B. p: x∈R,x2-x+1≠0
C.q是真命题
D. q:存在两个等边三角形,它们不相似
10.已知:① x∈R,x2+x+1>0;②不存在实数x,使x3+1=0;③ n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.以上命题的否定为真命题的是(　　)
A.①③　　　　B.②③　　　　
C.②④　　　　D.①④
题组三　全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用
11.已知命题p: x0>0,x0+t-1=0,若p为真命题,则实数t的取值范围是(　　)
A.{t|t>1}　　　　B.{t|t<1}
C.{t|t≥1}　　　　D.{t|t≤1}
12.(2025重庆江津中学月考)命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4　　　　B.a≤2　　　　
C.a≥3　　　　D.a≤0
13.(2026天津第五十七中学月考)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|2a14.(创新题·新考法)(2025四川遂宁期中)某学校开展小组合作学习模式,高二某班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.乙略加思索,也给了甲一道题:若“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.这两位同学出的题中m的取值范围是否一致 请说明理由.
15.(2025河南许昌高级中学月考)已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命题q: x∈R,x2+3x+2-a=0.
(1)当p为假命题时,求实数a的取值范围;
(2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　
2.C　 x∈R,x2+1≥1>0,故p1是假命题;
当x=0时,x+|x|=0,故p2是假命题;
x∈Z,|x|∈N,故p3是真命题;
方程x2-7x+15=0的判别式Δ=(-7)2-4×15<0,此方程无解,故p4是假命题.
3.C　对于A,对于任意的实数a,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称,A中说法正确;
易知B中说法正确;
对于C,若x,y为整数,则2x,4y均为偶数,则2x+4y也为偶数,故2x+4y=5不成立,C中说法错误;
易知D中说法正确.
4.ABD　对于A,因为A B,所以对任意x∈A,都有x∈B,故是真命题;对于B,由于A不包含于B,所以存在x∈A,使得x B,故是真命题;对于C,当x=+1时,x2=3+2,是无理数,故是假命题;对于D,当x=时,x3=2,是无理数,故是真命题.
5.答案　①②⑤;③④⑥;①②③④⑤
6.解析　(1)q(1):|1-1|=1-1,是真命题.
q(2):|2-1|=1-2.因为|2-1|=1,1-2=-1,
所以|2-1|≠1-2,所以q(2)是假命题.
(2) a∈R,|a-1|=1-a.由(1)知,q(2)为假命题,所以“ a∈R,|a-1|=1-a”为假命题.
(3) a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(1)为真命题,所以“ a∈R,|a-1|=1-a”为真命题.
7.D　
8.B　
9.BCD　对于方程x2-x+1=0,Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0,
所以x2-x+1=0无解,故p是假命题,故A错误;
p: x∈R,x2-x+1≠0,故B正确;
任意两个等边三角形都相似,故q是真命题,故C正确;
q:存在两个等边三角形,它们不相似,故D正确.
10.B　x2+x+1=+>0,故①为真命题;当x=-1时,x3+1=0,故②为假命题,④为真命题;当n=时,n2方法技巧　命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择.
11.B　命题p: x0>0,x0+t-1=0,即 x0>0,x0=1-t,∵p为真命题,∴1-t>0,解得t<1,∴实数t的取值范围是{t|t<1}.
12.A　由题意可知,3x2≥a,x∈{x|1≤x≤3}恒成立,故只需a≤(3x2)min=3,
结合选项可知,{a|a≤3} {a|a≤4},
因此a≤4是命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件.
13.答案　(-∞,-4]∪[1,3)
解析　由B≠ ,可得2a由命题p: x∈A,x B是真命题,可得A∩B= ,
故2a≥2或a+3≤-1,解得a≥1或a≤-4.
综上,a的取值范围是(-∞,-4]∪[1,3).
14.解析　两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
理由如下:“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,而“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,∴两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
15.解析　(1)由p为假命题,得 p为真命题,即 x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0,即a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}时有解,所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知当x=1时,(x2+x)min=2,所以a>2.
(2)由(1)可知,当p为真命题时,a≤2;当p为假命题时,a>2.
当q为真命题时,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,故Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;当q为假命题时,a<-.所以当p为真命题,q为假命题时,a<-;当p为假命题,q为真命题时,a>2.
所以当p和q中有且只有一个是真命题时,a的取值范围是.
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