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2026年山东济宁市邹城市初中学业水平考试（模拟）数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点、表示的数分别为、下列式子中，正确的是 ．
A. B. C. D.
2.盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和．如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
3.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据达用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.中国书法是一门古老的艺术，它伴随着中华文明的发展而发展，被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书写有“马”字的四张卡片，它们除正面外完全相同把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，点在轴上，点，点分别为的中点，连接，点为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点，若的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，．
以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
作射线交于点；
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；
作直线，分别交于点，
依据以上作图，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
9.如图，点在正方形的边上，且，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图是点运动时随变化的关系图象，若图象的最低点的纵坐标为，则最高点的纵坐标的值为．
A. B. C. D.
10.定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”若二次函数为常数在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.若，互为倒数，且满足，则 ．
12.将因式分解后的结果为 ．
13.如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为 ．
14.定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割，锐角的正割记作已知在中，，点是斜边的中点，点在边上，，，那么的值是 ．
15.如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.按要求完成下列各题：
计算：．
解不等式组：；并写出它的所有整数解．
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”阴影部分，其中点，分别在，上，连结交于点．
【数学理解】
这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程．
若，，求的长．
18.本小题分
综合与实践：
【问题情境】年月日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，林老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
【信息收集】
信息一 信息二
线上平台无促销活动时，若买个玩偶和个徽章共需元；若买个玩偶和个徽章共需元． 年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买元会员卡后所有商品打折；方式二：非会员所有商品打折．
【问题探究】线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
【问题解决】林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共个，请你帮林老师算一算，购买玩偶的数量在什么范围内时，方式一更划算？
19.本小题分
人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩单位：分进行了统计分析：
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是： 请填写序号
随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩；
随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩；
随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩；
分别从该校各年级的每个班中随机抽取 学生的竞赛成绩．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 ， ， ， 四组进行整理如表：
组别
成绩 分
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图；
抽取的样本数据中位数所在组别是_____组；
扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是 度；
若竞赛成绩分以上含分为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数．
20.本小题分
如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得过点作的切线，交延长线于点，连结．
求证：四边形是平行四边形．
若半径为，，求的长．
21.本小题分
如图是某住宅单元楼的人脸识别系统整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别，其示意图如图，摄像头的仰角 、俯角 都为 ，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．
小玲站在离摄像头水平距离 的点处，恰好能被识别头的顶部恰好在仰角线 处，请问小玲的身高约为多少厘米？
身高 的小婷，头部高度为 ，当她直立站在离摄像头最远处点时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．结果精确到 参考数据： ， ，
22.本小题分
已知二次函数 ．
求该函数图象的对称轴；
若 ，当 时， 的最大值为 ，求函数的解析式；
已知 ， 为该函数图象上两点，当 时， ，求 的取值范围．
23.本小题分
综合与探究
【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”．
【示例】如图，在四边形 中， ， 平分 ，则四边形 为“旋直四边形”， 为“旋直分割线”．
【概念辨析】
用分别含有 或 的直角三角形纸板拼出上面个四边形，其中是“旋直四边形”的有 填序号；
【问题解决】
如图，在“旋直四边形 ”中， ， 为“旋直分割线”求证： ；
【拓展应用】
如图，四边形 是矩形， ， ， 与 交于点 若 ，求 的值；

如图，在 中， ， ， ，点 是平面内一点，点 是 边上一点，若四边形 是“旋直四边形”， 是“旋直分割线”， 与 交于点 ，求 的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：
解不等式：展开得
移项合并同类项得
解得
解不等式：两边同乘去分母得
展开得
合并同类项得
解得
因此不等式组的解集为，所有整数解为

17.【答案】【小题】
解：在菱形中，，
，
【小题】
解：，
，，
又在菱形中，，
，
，
由得：，
，
，
．

18.【答案】【小题】
解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是元，徽章的销售单价是元，
由题意，得
解得；
答：玩偶的销售单价是元，徽章的销售单价是元；
【小题】
解：设购买玩偶个，则购买徽章个，
由题意，按照方案一购买需：元；
按照方案二购买需：元；
当时，解得，
购买玩偶和徽章共个，
当时，方案一更划算．

19.【答案】【小题】
【小题】
总样本容量为，
因此组的人数，
补全频数分布直方图如下：
，
故答案为：；
样本容量，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，
抽取的样本数据中位数所在组别是组；
故答案为：；
【小题】
【小题】
人，
答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人．

20.【答案】【小题】
证明：连接，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题】
解：连接，
则，
由知四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．

21.【答案】【小题】
解：如图，过作 的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由题意得， ，
四边形 是矩形，
， ，
在 中， ， ，
，
，
答：小玲的身高约是 厘米；
【小题】
解：小婷能被摄像头识别，理由如下：
如图，过作 的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由可知，四边形 是矩形，
， ，
在 中， ， ，
，
同理 ，
， ，
小婷头部以下的高度为： ，
，且小婷身高 ，
小婷整个头部都在摄像头视角范围内，
小婷能被摄像头识别．

22.【答案】【小题】
解：对称轴为直线 ．
【小题】
解： ，图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，越远离对称轴函数值越大，
当 时， 的最大值为，
，
，
．
【小题】
解： 点 和 在二次函数 的图象上，且纵坐标相同，
这两点关于抛物线的对称轴对称，
由可知，对称轴为直线 ，
，
，
设点 ， 到对称轴的距离为 ，则有：
，
，
解得 的取值范围为： ，
将 代入函数解析式求 ：
当 时， 恒成立，分情况讨论：
当 时：
抛物线开口向上，在 范围内， 随 的增大而增大。
当 时， 取得最小值，
要使 恒成立，只需 ，即：
，
，
，
此时满足 的条件；
当 时：
抛物线开口向下，在 范围内， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
要使 恒成立，只需 ，即：
这与前提条件 矛盾，故此时无解舍去；
综上所述， 的取值范围是 ．

23.【答案】【小题】
【小题】
证明：方法：如图，过点 作 于点 ，
为“旋直分割线”，即 平分 ，
，
又 ， ，
，
， ，
，
在 中， ，
．
方法：如图，延长 交 延长线于点 ，
为“旋直分割线”，即 平分 ，
，
又 ， ，
，
， ，
，
在 中， ，
．
【小题】
解：方法：如图，过点 作 于点 ，则 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
又 ， ，
，
，
设 ，则 ， ， ，
，
．
方法：如图，延长 交 延长线于点 ，
， ， ，
，
， ，
，
，
矩形 ，
， ， ，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
．
．
【小题】
解：当 平分 时，“旋直四边形 ”如图所示，则 ，
作 ， ，垂足分别为 、 ，则 ．
在 中， ， ，
， ， ，
， ， ，
，
， ，
， ，
，
又 ， ，
，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
即 ， ，
，
，
；
当 平分 时，“旋直四边形 ”如图所示，记 与 相交于点 ，
则 ， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
；
如图，当 平分 ，且 时，“旋直四边形 ”如图所示，
延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，作 于点 ，
，
， ，
，
， ，
，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
， ， ，
在 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
综上， 或．

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