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第10讲 对数与对数函数 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D C B A B
6 7 8 9 10
C C
11 12 13 14 15
A B
16 17 18 19 20
B ACD BCD
21 22 23 24 25
C C C B B
26 27 28 29 30
D B A A B
31 32 33 34 35
A B ABD C
36 37 38 39 40
BC B
41 42 43 44 45
ABC
46 47 48 49 50
（1） （2） （1） （2）当时，当时，当时， C D D
51 52 53 54 55
ABD A C B
56 57 58
BCD
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式
考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值
1.（2026·山东淄博·一模）已知，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故选D.
【点拨】本题考查对数的运算性质及指数与对数的互化.
2.（2026·广东中山·二模）已知函数且，若，则
A. 3 B. 2 C. 4 D.
【答案】C
【解析】由题意知，所以，即得.
【点拨】利用换底公式将对数化为同底数，再结合对数的运算法则求解.
3.（2026·湖南师大附中·5月模拟）已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，，.
【点拨】利用对数换底公式的推论进行转化，再利用对数的加法法则求解.
4.（2026·湖南·3月联考）化简
A. B. C. 5 D. 3
【答案】A
【解析】.
【点拨】利用对数的加法法则和指数的运算法则进行化简，注意的应用.
5.（2026·河南百师联盟·5月联考）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到 32 ，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：）
A. 9 级 B. 11 级 C. 13 级 D. 15 级
【答案】B
【解析】将代入方程，得，所以，即风力等级约为11级.故选B.
【点拨】将已知数据代入关系式，结合对数运算性质及已知近似值计算即可.
6.（2026·湖南衡阳八中·适应性测试）若，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得：.则.
【点拨】先将指数式化为对数式，再利用换底公式将不同底的对数化为同底数计算.
7.（2026·河南湘豫联盟·4月检测）已知正数均不等于 1，且，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由，得，则；由，得，则.
【点拨】利用对数与指数的互化，将未知对数转化为已知对数的运算.
8.＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】.
【点拨】利用对数恒等式、指数幂的运算以及对数的性质进行化简求值.
9.（2026·湖北十堰·一模）已知函数，则＿＿＿＿＿＿ .
【答案】
【解析】因为函数，且，所以，故.
【点拨】根据分段函数的解析式，由内向外逐层代入计算即可.
考法2：解对数方程及求参数
10.（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】，故，，故，，，故，所以，因为，所以，所以.
【点拨】利用对数的定义将对数式化为指数式，求出的值，再代入目标式计算.
11.（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数.
方程即，所以，解得，即或.
设四个实根从小到大依次为，则.
因为成等差数列，所以，即.
两边同乘，得，即，所以.
【点拨】利用换元法和绝对值的性质求出方程的根，再根据等差数列的性质列式求解.
12.已知，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】由题设，则且，所以，即，故.
【点拨】将指数式化为对数式，利用换底公式统一底数，构造关于的方程求解.
13.方程的解集为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为，则，解得，所以方程的解集为.
【点拨】解对数方程时，必须保证真数大于0，转化为代数方程组求解.
14.设，满足，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】令，则，所以，整理得，解得（负值舍去），所以.
【点拨】利用设法将对数方程转化为指数方程，再通过齐次式的处理方法求比值.
考法3：利用单调性解对数不等式
15.（2026·湖南·5月联考）已知函数是定义在上的增函数.若，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的增函数，由，得，即，所以，解得，即的取值范围是.
【点拨】利用函数的单调性脱去函数符号“”，转化为对数不等式求解，注意对数的真数大于0.
16.（2026·稳派智慧上进教育联考·3月检测）若，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，若，则，即，无解；若，则，即，恒成立；所以；由，且，得，解得；由，且，得，解得；综上所述，的取值范围是.
【点拨】分类讨论对数函数的底数，结合指数函数与对数函数的单调性解不等式组.
17.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知，且，则下列不等式可能成立的是
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由，即，当时，，又，所以或；当时，，又，所以或.综上可知，或或或.
【点拨】根据对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，得出的大小关系.
18.（2026·湖南长郡二十校联盟·第二次联考）（多选）若，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，则，当时，，则，故A错误；对于B，因为，所以，且，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误.
【点拨】利用对数函数的单调性判断对数值的符号及范围，结合基本不等式和绝对值的性质进行判断.
19.（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由可得，则，解得，所以定义域为，当时，，由可得，即，无解；当时，，由可得，即，即，解得，又，所以，即不等式的解集为.
【点拨】先求出函数的定义域，再分段去绝对值，将绝对值不等式转化为对数不等式求解.
20.解关于的不等式解集为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】不等式，解，即，有，解得，解，即，化为，有，解得，因此，所以不等式解集为.
【点拨】将不等式转化为同底数对数不等式，利用对数函数的单调性脱去对数符号，转化为指数不等式求解.
考法4：对数模型在实际情境中的应用
21.（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是
A. 已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B. 已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的
C. 溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D. 溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大
【答案】C
【解析】对于A，令，则摩尔/升，故A错误；对于B，胃酸的，故B错误；对于C，当摩尔/升时，根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确；对于D，当摩尔/升时，根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小，故D错误.
【点拨】根据对数函数的单调性及值的定义，分析氢离子浓度与酸碱性的关系.
22.（2026·河北石家庄一中·一模）在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：，，联立方程组，消去可得：.
【点拨】利用对数的运算法则将音分差表达式展开，通过消元法找到与的线性关系.
23.（2026·蚌埠·二模）二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即 625 个点）大小的二维码，若“黑点”表示 1，“白点”表示 0，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们 1 秒用掉 1 万个二维码，1 万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）
A. 172 万年 B. 260 万年 C. 万年 D. 万年
【答案】C
【解析】依题意，该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年，，因此，所以该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年.
【点拨】利用常用对数估算大数的值，将指数运算转化为对数运算.
24.（2025·江西鹰潭·二模）在 2019 年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为 128 比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为 128 比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
【答案】B
【解析】设所需时间为秒，则，则，即，秒.
【点拨】根据题意列出指数方程，两边取常用对数，利用对数运算法则进行估算.
25.（2026·福建厦门·适应性测试）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，当劳动投入不变时，产量提升，资本投入增加，则，即，所以，即，两边取常用对数，得，即，所以，代入数据得，解得.
【点拨】根据题意列出变化前后的函数关系式，作商后两边取对数，利用对数运算法则求解参数.
考点二：对数函数的图像与性质
考法5：对数函数图像的识别与变换
26.已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以，排除A，C；又因为函数过点，所以，解得．
【点拨】根据对数函数的单调性确定底数的范围，再代入特殊点求出平移量.
27.将函数的图象向上平移 1 个单位长度，得到函数的图象，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将函数的图象向上平移 1 个单位长度，得到函数.
【点拨】利用函数图象平移规律“上加下减，左加右减”直接写出解析式.
考法6：求对数型函数过定点
28.函数的图象恒过定点
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，即函数图象恒过.
【点拨】利用对数函数恒过定点的性质，令真数等于1求解.
考法7：对数型函数的单调性及比较大小
29.（2026·广东东莞·一模）设且，下列各项中，能推出的一项是
A. 且 B. 或 C. 且 D. 或
【答案】A
【解析】或，观察选项，只有A能推出.
【点拨】利用对数函数的性质，同大同小则对数值为正.
30.（2025·江西上进联考·3月联考）函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，即或.由二次函数的单调性，可得的单调递增区间为.
【点拨】先求出复合函数的定义域，再根据“同增异减”法则确定单调区间.
31.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，.
【点拨】利用对数函数的单调性及基本不等式放缩，判断对数式的大小.
32.已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设函数，因为在上为减函数，所以在上为减函数，则解得，又因为在恒成立，所以解得，所以的取值范围为.
【点拨】根据复合函数的单调性“同增异减”法则，结合内层函数在区间上恒大于0求解.
33.（多选）若，则
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以，则，选项A，，故A正确；选项B，因为，且，所以，故B正确；选项C，因为，故C错误；选项D，因为，故D正确.
【点拨】将指数式化为对数式，利用对数的运算性质和基本不等式进行比较.
34.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】函数的图象与的图象关于直线对称，则函数，所以，令，解得，由于，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，所以函数的递增区间是.
【点拨】先求出反函数的解析式，再利用复合函数的单调性法则求单调区间.
考法8：对数型函数的最值与值域
35.已知函数，则
A. 在单调递减，在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 有最小值，但无最大值
【答案】C
【解析】由题意可得函数的定义域为，则，因为在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；由于，故的图像关于直线对称，C正确；因为在时取得最大值，且在上单调递增，故有最大值，但无最小值，D错误.
【点拨】先求出函数的定义域，化简解析式后，利用复合函数的性质分析单调性、对称性和最值.
36.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则
A. 为减函数 B. C. 的值域为 D.
【答案】BC
【解析】因为，，所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确；，故选项B正确；，故选项D错误.
【点拨】利用对数运算法则化简解析式，注意保持定义域不变，再分析函数的性质.
37.已知函数在上的最大值是 2，则等于＿＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】当时，函数在上单调递增，则，解得，当时，函数在上单调递减，则，无解，综上，等于2.
【点拨】对底数进行分类讨论，根据对数函数的单调性求出最值点并解方程.
38.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】令，由于在上单调递增，所以在上的最小值为 2.其对称轴为，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得（舍去）.综上，.
【点拨】利用复合函数的单调性，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，分类讨论对称轴的位置求解.
39.若函数且在上的最大值为 2，最小值为，函数在上是增函数，则的值是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为2，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为2，因此有，，所以，此时在上是减函数，不符合题意.综上所述，.
【点拨】分类讨论对数函数的底数，求出最值后，再代入另一个函数检验单调性.
考点三：对数函数的综合应用
考法9：利用图像解对数不等式
40.已知函数，则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，不等式，即，等价于在上的解，令，，则不等式为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集为.
【点拨】将不等式转化为两个基本初等函数的大小比较，利用数形结合思想求解.
41.（多选）当时，，则的值可以为
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】分别记函数，由图1知，当时，不满足题意；
当时，如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得.
故选ABC.
【点拨】利用数形结合思想，结合指数函数与对数函数的图象，将恒成立问题转化为临界点的不等式求解.
42.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】由，在同一直角坐标系内画出函数的图象，
因为，所以由函数的图象可知：当时，有，故答案为：.
【点拨】分离变量，构造两个函数，画出函数图象，利用数形结合法求不等式的解集.
考法10：对数不等式恒成立求参数范围
43.已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得.
【点拨】将存在性与任意性问题转化为两个函数最值之间的不等关系，分别求出极值后再求解.
44.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为，不等式恒成立，所以对恒成立.记，，只需.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，所以，所以.
【点拨】分离参数，将恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用函数的单调性求解.
45.已知函数，，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】函数在上单调递增，在上单调递增，，，对任意的有恒成立，，即，解得，实数的取值范围是.
【点拨】将任意性问题转化为两个函数的最值比较，分别求出各自区间上的最值即可.
46.已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，所以，所以，所以，解得.
（2）由，得，即，即或.
当时，，则或，因为，则不成立，由可得，得；
当时，，则或，因为，则不成立，所以，解得.
综上，的取值范围是.
【点拨】利用换元法解一元二次不等式，再结合对数函数的单调性分类讨论求解参数范围.
47.已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意 ，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）当时，当时，当时，
【解析】（1）因为，，
令，
，，所以当，即时取最大值，当或2，即或时取最小值，
函数的值域为.
（2）由得，
令，，，
对一切的恒成立，
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值，此时，
于是；
②当时，此时时，恒成立，即，
，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，；
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是.
综上可得：当时，当时，当时，.
【点拨】通过换元法将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，再利用参变分离法处理恒成立问题.
考法11：指对函数交点与反函数对称性
48.（2025·河南H20高中联盟·4月联考）已知函数是的反函数，则
A. 10 B. 8 C. 5 D. 2
【答案】C
【解析】因为，所以，所以.故选C.
【点拨】根据对数函数与指数函数互为反函数的关系，求出反函数的解析式再代入计算.
49.若满足，满足，则等于
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】由题意，故有，故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.即点和点构成的线段的中点在直线上，即，求得，故选D.
【点拨】利用互为反函数的两个函数图象关于直线对称，结合直线方程求交点坐标的和.
50.已知，分别是方程和的根，若，实数，则的最小值为
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】；.函数与函数的图象关于直线对称，由解得，设，则，即，，令，则，则，当且仅当时等号成立.故选D.
【点拨】利用反函数的对称性求出两根之和，再通过代数代换和基本不等式求出目标式的最小值.
51.（多选）已知，，，则以下结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意知，是函数分别与函数图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，所以的图象也关于对称，又两个函数的图象关于直线对称，故两交点关于直线对称，所以，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，所以在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得，即不等式取不到等号)，故D正确．
【点拨】构造函数，利用反函数图象的对称性找到交点坐标的关系，再结合导数和基本不等式进行判断.
考法12：利用指对同构解方程或比较大小
52.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）若，则
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】令，则，即，因为，当时，，单调递增，所以，即，故选A.
【点拨】构造函数，利用函数的单调性将方程转化为自变量相等，再比较大小.
53.（2026·山东泰安·二模）实数满足，则
A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028
【答案】C
【解析】设，则，设，则，因为，所以，因为在上单调递增，所以，即，所以.故选C.
【点拨】通过构造函数，发现两个函数之间的复合关系，利用单调性得出变量间的等式，再代入求值.
54.（2026·河北金科大联考·2月联考）若，则
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】易知，且，由，得，即，所以，即，因为函数单调递增，所以，所以，即.故选B.
【点拨】将对数方程转化为指数方程，构造单调递增的函数，利用单调性得出变量关系.
55.（2026·山东日照·二模）已知正实数满足，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】已知正实数满足，即，则，即，则，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，所以，即，解得，所以.
【点拨】通过代数变形构造同构函数，利用导数分析函数的单调性与最值，结合等式成立的条件求出参数值.
56.正数满足，则与大小关系为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为，所以，设，则，所以，又因为与在上单调递增，所以在上单调递增，所以.
【点拨】将等式变形为两边结构相同的形式，构造函数利用单调性比较大小.
57.已知正实数满足：，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由可得：, 所以，设，所以在R上单调递增，所以，则，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故的最小值为.
【点拨】通过对数与指数的互化构造同构函数，利用单调性得出变量关系，再利用导数求最值.
考法13：对数型复合函数的综合应用
58.（2026·湖南长沙南雅中学·适应性保温训练）（多选）设，，且，则有
A. 定义域是
B. 是偶函数
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，恒成立
【答案】BCD
【解析】由题设，则，定义域为，A错，由，所以为偶函数，B对，由题设，定义域为，由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，C对，当时，令，则在定义域上单调递增，原不等式等价于.根据单调性，此不等式成立的条件为，即.因为题设条件为，且对于任意实数都有，所以恒成立.因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确.
【点拨】利用对数函数的定义域、奇偶性定义判断A、B；结合复合函数的单调性判断C；将不等式转化为函数值大小比较，利用单调性脱去函数符号判断D.
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考点一：对数运算及对数方程、对数不等式
考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值
1.（2026·山东淄博·一模）已知，则
A. B. C. D.
2.（2026·广东中山·二模）已知函数且，若，则
A. 3 B. 2 C. 4 D.
3.（2026·湖南师大附中·5月模拟）已知，则
A. B. C. D.
4.（2026·湖南·3月联考）化简
A. B. C. 5 D. 3
5.（2026·河南百师联盟·5月联考）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到 32 ，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：）
A. 9 级 B. 11 级 C. 13 级 D. 15 级
6.（2026·湖南衡阳八中·适应性测试）若，，则
A. B. C. D.
7.（2026·河南湘豫联盟·4月检测）已知正数均不等于 1，且，则＿＿＿＿＿＿.
8.＿＿＿＿＿＿．
9.（2026·湖北十堰·一模）已知函数，则＿＿＿＿＿＿ .
考法2：解对数方程及求参数
10.（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则
A. B. C. D. 1
11.（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数
A. B. C. D.
12.已知，则＿＿＿＿＿＿．
13.方程的解集为＿＿＿＿＿＿．
14.设，满足，则＿＿＿＿＿＿．
考法3：利用单调性解对数不等式
15.（2026·湖南·5月联考）已知函数是定义在上的增函数.若，则的取值范围是
A. B. C. D.
16.（2026·稳派智慧上进教育联考·3月检测）若，则的取值范围是
A. B. C. D.
17.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知，且，则下列不等式可能成立的是
A. B. C. D.
18.（2026·湖南长郡二十校联盟·第二次联考）（多选）若，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
19.（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
20.解关于的不等式解集为＿＿＿＿＿＿．
考法4：对数模型在实际情境中的应用
21.（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是
A. 已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升
B. 已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的
C. 溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强
D. 溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大
22.（2026·河北石家庄一中·一模）在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则
A. B.
C. D.
23.（2026·蚌埠·二模）二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即 625 个点）大小的二维码，若“黑点”表示 1，“白点”表示 0，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们 1 秒用掉 1 万个二维码，1 万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）
A. 172 万年 B. 260 万年 C. 万年 D. 万年
24.（2025·江西鹰潭·二模）在 2019 年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为 128 比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为 128 比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：）
A. 秒 B. 秒
C. 秒 D. 秒
25.（2026·福建厦门·适应性测试）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: )
A. B. C. D.
考点二：对数函数的图像与性质
考法5：对数函数图像的识别与变换
26.已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
27.将函数的图象向上平移 1 个单位长度，得到函数的图象，则
A. B. C. D.
考法6：求对数型函数过定点
28.函数的图象恒过定点
A. B. C. D.
考法7：对数型函数的单调性及比较大小
29.（2026·广东东莞·一模）设且，下列各项中，能推出的一项是
A. 且 B. 或
C. 且 D. 或
30.（2025·江西上进联考·3月联考）函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
31.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知，则
A. B. C. D.
32.已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为
A. B. C. D.
33.（多选）若，则
A. B. C. D.
34.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿.
考法8：对数型函数的最值与值域
35.已知函数，则
A. 在单调递减，在单调递增
B. 在单调递减
C. 的图像关于直线对称
D. 有最小值，但无最大值
36.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则
A. 为减函数 B.
C. 的值域为 D.
37.已知函数在上的最大值是 2，则等于＿＿＿＿＿＿
38.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿
39.若函数且在上的最大值为 2，最小值为，函数在上是增函数，则的值是＿＿＿＿＿＿．
考点三：对数函数的综合应用
考法9：利用图像解对数不等式
40.已知函数，则不等式的解集为
A. B. C. D.
41.（多选）当时，，则的值可以为
A. B. C. D.
42.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿．
考法10：对数不等式恒成立求参数范围
43.已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
44.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
45.已知函数，，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
46.已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
47.已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意 ，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
考法11：指对函数交点与反函数对称性
48.（2025·河南H20高中联盟·4月联考）已知函数是的反函数，则
A. 10 B. 8 C. 5 D. 2
49.若满足，满足，则等于
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
50.已知，分别是方程和的根，若，实数，则的最小值为
A. 1 B. C. D. 2
51.（多选）已知，，，则以下结论正确的是
A. B. C. D.
考法12：利用指对同构解方程或比较大小
52.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）若，则
A. B. C. D. 无法确定
53.（2026·山东泰安·二模）实数满足，则
A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028
54.（2026·河北金科大联考·2月联考）若，则
A. B. 1 C. 2 D.
55.（2026·山东日照·二模）已知正实数满足，则＿＿＿＿＿＿.
56.正数满足，则与大小关系为＿＿＿＿＿＿．
57.已知正实数满足：，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：对数型复合函数的综合应用
58.（2026·湖南长沙南雅中学·适应性保温训练）（多选）设，，且，则有
A. 定义域是
B. 是偶函数
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，恒成立
第 2 页，共 17 页第10讲 对数与对数函数 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 对数式的运算 2
2. 对数函数的定义及图像 2
三、典题精讲 3
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 3
考点二：对数函数的图像与性质 5
考点三：对数函数的综合应用 7
四、高考真题 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2025 8题 单选题 5分 直接 考察对数方程与大小比较，通过引入中间变量将指对数互化，结合函数图象比较大小
2024 6题 单选题 5分 间接 考察分段函数的单调性，其中一段为含自然对数的复合函数，需利用对数函数单调性列不等式
2024 13题 填空题 5分 间接 考察两曲线的公切线问题，解题过程中需对含自然对数的函数求导并代入切点计算
2024 18题 解答题 17分 间接 考察导数的综合应用，函数解析式中含有对数结构，涉及对数型函数的求导、单调性分析及最值求解
2026 4题 单选题 5分 间接 考察曲线在某点处的切线方程，需要对含自然对数的函数进行求导运算
近三年全国一卷中，对数与对数函数是高频基础考点.直接考察主要体现在对数方程与大小比较；间接考察极为频繁，常作为基本初等函数之一，与导数、切线方程、函数单调性等知识交汇考察，贯穿于选择、填空及解答题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：对数的运算性质、指对互化、对数函数的图象与单调性.
命题趋势：单纯考查对数运算的题目减少，更多地将对数函数作为载体，结合导数工具考查切线、最值、单调性等综合问题.同时，指对同构、引入参数比较大小也是近年热门命题方向.
试题特点：注重基础知识的灵活运用，常在分段函数、复合函数中设置对数函数，对定义域（真数大于0）的考查暗含其中，计算量适中但思维要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握对数的运算法则及换底公式，能够灵活进行指对互化.
· 深刻理解对数函数的图象特征与性质（单调性、过定点等），解题时务必优先注意定义域的限制（真数大于0）.
· 强化对数函数求导公式的记忆，提升在导数背景下处理对数型函数切线、极值、最值问题的综合能力.
· 掌握构造函数、引入中间变量（如设法）比较指对数大小的常用技巧，善于利用数形结合思想直观解题.
二、知识清单
1. 对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）常见对数：
· ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
· ②常用对数：以10为底，记为；
· ③自然对数：以为底，记为；
（3）对数的性质和运算法则：
· ①；；其中且；
· ②(其中且，)；
· ③对数换底公式：；
· ④；
· ⑤；
· ⑥；
· ⑦和；
· ⑧；
2. 对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数且叫做对数函数.
（2）对数函数的图象与性质：
【易错提醒】在进行对数运算和解对数方程、不等式时，必须优先保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.
【防坑警示】在使用对数的乘除法则时，要注意从左到右变形时，必须保证且；若原式中仅保证，拆分时应加绝对值，即.
三、典题精讲
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式
考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值
例1.（文档327-275）计算的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【思路】观察待求式子中的对数底数与真数，发现它们均可化为2或3的幂次.利用对数的换底公式及运算性质，将不同底的对数转化为同底或直接约分，再结合对数的加减法法则进行合并计算.
【解析】原式.
【规律】处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项.
考法2：解对数方程及求参数
例2.（文档327-274）设，满足，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】面对连等式且底数和真数均不同的对数方程，常引入辅助变量，将对数式转化为指数式.由此可得到关于和的指数方程组，将其代入真数的关系式中，构造出关于的齐次方程，进而求解.
【解析】令，则，∴，整理得，解得（负值舍去），∴.
【规律】解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解.
考法3：利用单调性解对数不等式
例3.（文档327-280）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是
A. B.
C. D.
【答案】A
【思路】题目已知时的解析式及奇函数性质，要求解不等式，需先求出时的解析式.利用奇函数的性质，将转化为代入已知解析式.最后结合定义域分段解不等式即可.
【解析】当时，，∴，
∵函数是定义在上的奇函数，∴，
∴当时，，
∴，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
【规律】利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集.
考法4：对数模型在实际情境中的应用
例4.（文档306-6）（2026·福建厦门·适应）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: )
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】根据题意，写出产量提升和资本投入增加后的新函数关系式.将新旧关系式作商，消去常数项，得到关于参数的指数方程.两边同时取常用对数，利用对数运算法则将指数转化为系数，代入已知近似值求解.
【解析】由题意知，，当劳动投入不变时，产量提升，资本投入增加，则，即，∴，即，两边取常用对数，得，即，∴，代入数据得，解得.
【规律】处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法.
【考点一 方法总结】
· 处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项.
· 解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解.
· 利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集.
· 处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法.
· 解对数方程或对数不等式时，必须优先将其化为同底数，利用对数函数的单调性脱去对数符号，转化为不含对数的问题，同时务必注意真数大于0的限制条件.
考点二：对数函数的图像与性质
考法5：对数函数图像的识别与变换
例5.（文档327-282）已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】观察函数图象的走势，判断函数的单调性，从而确定底数的取值范围.再从图象中寻找特殊点（如与坐标轴的交点），将其坐标代入函数解析式，即可解出平移参数.
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，∴，排除A，C；又∵函数过点，∴，解得.
【规律】识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界.
考法6：求对数型函数过定点
例6.（文档327-283）函数的图象恒过定点
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】对数函数恒过定点，即当真数为1时，对数值为0，与底数无关.据此，令函数解析式中的真数部分等于1，求出的值，再代入求出对应的值，即可得到定点坐标.
【解析】当时，即函数图象恒过.
【规律】求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为.
考法7：对数型函数的单调性及比较大小
例7.（文档186-13）（2025·衡水中学·阶段评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】根据互为反函数的图象关于直线对称，可求出的解析式.将其代入复合函数中，利用换元法设内层函数为，结合对数函数的定义域，根据“同增异减”法则判断复合函数的单调区间.
【解析】函数的图象与的图象关于直线对称，则函数，∴，令，解得，由于，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，∴函数的递增区间是.
【规律】求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论.
考法8：对数型函数的最值与值域
例8.（文档128-13）（2025·江西三新·三月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】将对数函数看作外层函数，二次函数看作内层函数.由于底数为2，外层函数单调递增，所以复合函数的最小值对应内层函数在给定区间上的最小值.通过配方找出内层函数的对称轴，结合区间位置进行分类讨论.
【解析】令，由于在上单调递增，∴在上的最小值为 2.其对称轴为，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得（舍去）.综上，.
【规律】处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制.
【考点二 方法总结】
· 识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界.在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离x轴.
· 求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为.
· 求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论.
· 处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制.
考点三：对数函数的综合应用
考法9：利用图像解对数不等式
例9.（文档327-287）（多选）当时，，则的值可以为
A. B. C. D.
【答案】ABC
【思路】不等式在某区间恒成立，可转化为两个函数图象的高低关系.分别作出指数函数和对数函数的图象，根据底数的范围分类讨论.通过数形结合，找到满足条件的临界点，列出不等式求解.
【解析】分别记函数，
由图1知，当时，不满足题意；当时，
如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得.故选ABC.
【规律】对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口.
考法10：对数不等式恒成立求参数范围
例10.（文档327-302）已知.
（1） 当时，求函数的值域；
（2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）当时，当时，当时
【思路】第一问利用换元法，将对数函数转化为二次函数，结合定义域求出新变量的范围，再利用二次函数的性质求值域.第二问将不等式展开并换元，转化为二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值.
【解析】（1） ∵，
令，
∵，∴，
所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，
∴函数的值域为.
（2） 由得，
令，∵，∴，
∴对一切的恒成立，
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值，此时，
于是；
②当时，此时时，恒成立，即，
∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，；
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是.
综上可得：当时，当时，当时，.
【规律】处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解.
考法11：指对函数交点与反函数对称性
例11.（文档327-303）（多选）已知，，，则以下结论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【思路】观察等式结构，发现它们可以看作是反比例型函数与指数、对数函数的交点.利用指数函数和对数函数互为反函数、图象关于直线对称的性质，结合反比例型函数的对称性，推导出交点坐标之间的关系，再利用导数和基本不等式判断各选项.
【解析】对于A，由题意知，是函数分别与函数图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，∴的图象也关于对称，又两个函数的图象关于直线对称，故两交点关于直线对称，∴，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，∴在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得，即不等式取不到等号)，故D正确.
【规律】遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化.
考法12：利用指对同构解方程或比较大小
例12.（文档327-304）已知正实数满足：.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【思路】第一问通过代数变形，将等式两边化为结构相同的形式，构造出同构函数.利用该函数的单调性，脱去函数符号，得到变量间的关系.第二问将目标式转化为单变量函数，利用导数求出最小值.
【解析】（1） 证明：由可得：，
∴，
即，
设，，
∴在上单调递增，
∴，
则.
（2） 由（1）知，∴，
∴，
令，，
令，解得：；令，解得：；
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴.
故的最小值为.
【规律】指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出.
考法13：对数型复合函数的综合应用
例13.（文档327-293）已知函数同时具有下列性质：
① ；
② 当时，单调递减；
③ 为偶函数.
（1） 请写出一个符合条件的函数的解析式；
（2） 证明你所写的函数满足上述三个性质.
【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见解析
【思路】根据性质①可知函数具有对数运算特征；结合性质②确定对数的底数应在之间；再由性质③偶函数的特点，对自变量加上绝对值.构造出具体函数后，逐一验证三个性质即可.
【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为（答案不唯一）.
（2） 证明：
对于性质①：，故满足性质①.
对于性质②：当时，，∵底数，∴在上单调递减，故满足性质②.
对于性质③：函数的定义域为，关于原点对称.且，∴为偶函数，故满足性质③.
【规律】应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体.
【考点三 方法总结】
· 对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口.
· 处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解.
· 遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化.
· 指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出.
· 应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体.
· 分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：设，
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选B.
法二：设，∴.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选B.
2.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴.
当时，切线的斜率.
又切点为，
∴切线方程为，即.
3.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即的范围是.
故选B.
4.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合，∴，解得.
5.（2024·全国一卷）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）时，，其中，
则，
∵，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
∴的最小值为.
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
∵在图象上，故，
而，
∴也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）∵当且仅当，故为的一个解，
∴即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
第 2 页，共 17 页第10讲 对数与对数函数 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 对数式的运算 2
2. 对数函数的定义及图像 3
三、典题精练 3
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 3
考点二：对数函数的图像与性质 6
考点三：对数函数的综合应用 7
四、高考真题 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2025 8题 单选题 5分 直接 考察对数方程与大小比较，通过引入中间变量将指对数互化，结合函数图象比较大小
2024 6题 单选题 5分 间接 考察分段函数的单调性，其中一段为含自然对数的复合函数，需利用对数函数单调性列不等式
2024 13题 填空题 5分 间接 考察两曲线的公切线问题，解题过程中需对含自然对数的函数求导并代入切点计算
2024 18题 解答题 17分 间接 考察导数的综合应用，函数解析式中含有对数结构，涉及对数型函数的求导、单调性分析及最值求解
2026 4题 单选题 5分 间接 考察曲线在某点处的切线方程，需要对含自然对数的函数进行求导运算
近三年全国一卷中，对数与对数函数是高频基础考点.直接考察主要体现在对数方程与大小比较；间接考察极为频繁，常作为基本初等函数之一，与导数、切线方程、函数单调性等知识交汇考察，贯穿于选择、填空及解答题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：对数的运算性质、指对互化、对数函数的图象与单调性.
命题趋势：单纯考查对数运算的题目减少，更多地将对数函数作为载体，结合导数工具考查切线、最值、单调性等综合问题.同时，指对同构、引入参数比较大小也是近年热门命题方向.
试题特点：注重基础知识的灵活运用，常在分段函数、复合函数中设置对数函数，对定义域（真数大于0）的考查暗含其中，计算量适中但思维要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握对数的运算法则及换底公式，能够灵活进行指对互化.
· 深刻理解对数函数的图象特征与性质（单调性、过定点等），解题时务必优先注意定义域的限制（真数大于0）.
· 强化对数函数求导公式的记忆，提升在导数背景下处理对数型函数切线、极值、最值问题的综合能力.
· 掌握构造函数、引入中间变量（如设法）比较指对数大小的常用技巧，善于利用数形结合思想直观解题.
二、知识清单
1. 对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）常见对数：
· ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
· ②常用对数：以10为底，记为；
· ③自然对数：以为底，记为；
（3）对数的性质和运算法则：
· ①；；其中且；
· ②(其中且，)；
· ③对数换底公式：；
· ④；
· ⑤；
· ⑥；
· ⑦和；
· ⑧；
2. 对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数且叫做对数函数.
（2）对数函数的图象与性质：
【易错提醒】在进行对数运算和解对数方程、不等式时，必须优先保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.
【防坑警示】在使用对数的乘除法则时，要注意从左到右变形时，必须保证且；若原式中仅保证，拆分时应加绝对值，即.
三、典题精练
考点一：对数运算及对数方程、对数不等式
考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值
例1.（文档327-275）计算的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【思路】观察待求式子中的对数底数与真数，发现它们均可化为2或3的幂次.利用对数的换底公式及运算性质，将不同底的对数转化为同底或直接约分，再结合对数的加减法法则进行合并计算.
【解析】原式.
【规律】处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项.
考法2：解对数方程及求参数
例2.（文档327-274）设，满足，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】面对连等式且底数和真数均不同的对数方程，常引入辅助变量，将对数式转化为指数式.由此可得到关于和的指数方程组，将其代入真数的关系式中，构造出关于的齐次方程，进而求解.
【解析】令，则，∴，整理得，解得（负值舍去），∴.
【规律】解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解.
考法3：利用单调性解对数不等式
例3.（文档327-280）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是
A. B.
C. D.
【答案】A
【思路】题目已知时的解析式及奇函数性质，要求解不等式，需先求出时的解析式.利用奇函数的性质，将转化为代入已知解析式.最后结合定义域分段解不等式即可.
【解析】当时，，∴，
∵函数是定义在上的奇函数，∴，
∴当时，，
∴，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
【规律】利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集.
考法4：对数模型在实际情境中的应用
例4.（文档306-6）（2026·福建厦门·适应）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: )
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】根据题意，写出产量提升和资本投入增加后的新函数关系式.将新旧关系式作商，消去常数项，得到关于参数的指数方程.两边同时取常用对数，利用对数运算法则将指数转化为系数，代入已知近似值求解.
【解析】由题意知，，当劳动投入不变时，产量提升，资本投入增加，则，即，∴，即，两边取常用对数，得，即，∴，代入数据得，解得.
【规律】处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法.
【考点一 方法总结】
· 处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项.
· 解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解.
· 利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集.
· 处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法.
· 解对数方程或对数不等式时，必须优先将其化为同底数，利用对数函数的单调性脱去对数符号，转化为不含对数的问题，同时务必注意真数大于0的限制条件.
考点二：对数函数的图像与性质
考法5：对数函数图像的识别与变换
例5.（文档327-282）已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】观察函数图象的走势，判断函数的单调性，从而确定底数的取值范围.再从图象中寻找特殊点（如与坐标轴的交点），将其坐标代入函数解析式，即可解出平移参数.
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，∴，排除A，C；又∵函数过点，∴，解得.
【规律】识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界.
考法6：求对数型函数过定点
例6.（文档327-283）函数的图象恒过定点
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】对数函数恒过定点，即当真数为1时，对数值为0，与底数无关.据此，令函数解析式中的真数部分等于1，求出的值，再代入求出对应的值，即可得到定点坐标.
【解析】当时，即函数图象恒过.
【规律】求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为.
考法7：对数型函数的单调性及比较大小
例7.（文档186-13）（2025·衡水中学·阶段评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】根据互为反函数的图象关于直线对称，可求出的解析式.将其代入复合函数中，利用换元法设内层函数为，结合对数函数的定义域，根据“同增异减”法则判断复合函数的单调区间.
【解析】函数的图象与的图象关于直线对称，则函数，∴，令，解得，由于，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，∴函数的递增区间是.
【规律】求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论.
考法8：对数型函数的最值与值域
例8.（文档128-13）（2025·江西三新·三月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】将对数函数看作外层函数，二次函数看作内层函数.由于底数为2，外层函数单调递增，所以复合函数的最小值对应内层函数在给定区间上的最小值.通过配方找出内层函数的对称轴，结合区间位置进行分类讨论.
【解析】令，由于在上单调递增，∴在上的最小值为 2.其对称轴为，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得（舍去）.综上，.
【规律】处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制.
【考点二 方法总结】
· 识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界.在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离x轴.
· 求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为.
· 求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论.
· 处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制.
考点三：对数函数的综合应用
考法9：利用图像解对数不等式
例9.（文档327-287）（多选）当时，，则的值可以为
A. B. C. D.
【答案】ABC
【思路】不等式在某区间恒成立，可转化为两个函数图象的高低关系.分别作出指数函数和对数函数的图象，根据底数的范围分类讨论.通过数形结合，找到满足条件的临界点，列出不等式求解.
【解析】分别记函数，
由图1知，当时，不满足题意；当时，
如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得.故选ABC.
【规律】对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口.
考法10：对数不等式恒成立求参数范围
例10.（文档327-302）已知.
（1） 当时，求函数的值域；
（2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）当时，当时，当时
【思路】第一问利用换元法，将对数函数转化为二次函数，结合定义域求出新变量的范围，再利用二次函数的性质求值域.第二问将不等式展开并换元，转化为二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值.
【解析】（1） ∵，
令，
∵，∴，
所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，
∴函数的值域为.
（2） 由得，
令，∵，∴，
∴对一切的恒成立，
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值，此时，
于是；
②当时，此时时，恒成立，即，
∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，；
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是.
综上可得：当时，当时，当时，.
【规律】处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解.
考法11：指对函数交点与反函数对称性
例11.（文档327-303）（多选）已知，，，则以下结论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【思路】观察等式结构，发现它们可以看作是反比例型函数与指数、对数函数的交点.利用指数函数和对数函数互为反函数、图象关于直线对称的性质，结合反比例型函数的对称性，推导出交点坐标之间的关系，再利用导数和基本不等式判断各选项.
【解析】对于A，由题意知，是函数分别与函数图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，∴的图象也关于对称，又两个函数的图象关于直线对称，故两交点关于直线对称，∴，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，∴在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得，即不等式取不到等号)，故D正确.
【规律】遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化.
考法12：利用指对同构解方程或比较大小
例12.（文档327-304）已知正实数满足：.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【思路】第一问通过代数变形，将等式两边化为结构相同的形式，构造出同构函数.利用该函数的单调性，脱去函数符号，得到变量间的关系.第二问将目标式转化为单变量函数，利用导数求出最小值.
【解析】（1） 证明：由可得：，
∴，
即，
设，，
∴在上单调递增，
∴，
则.
（2） 由（1）知，∴，
∴，
令，，
令，解得：；令，解得：；
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴.
故的最小值为.
【规律】指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出.
考法13：对数型复合函数的综合应用
例13.（文档327-293）已知函数同时具有下列性质：
① ；
② 当时，单调递减；
③ 为偶函数.
（1） 请写出一个符合条件的函数的解析式；
（2） 证明你所写的函数满足上述三个性质.
【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见解析
【思路】根据性质①可知函数具有对数运算特征；结合性质②确定对数的底数应在之间；再由性质③偶函数的特点，对自变量加上绝对值.构造出具体函数后，逐一验证三个性质即可.
【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为（答案不唯一）.
（2） 证明：
对于性质①：，故满足性质①.
对于性质②：当时，，∵底数，∴在上单调递减，故满足性质②.
对于性质③：函数的定义域为，关于原点对称.且，∴为偶函数，故满足性质③.
【规律】应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体.
【考点三 方法总结】
· 对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口.
· 处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解.
· 遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化.
· 指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出.
· 应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体.
· 分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：设，
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选B.
法二：设，∴.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选B.
2.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴.
当时，切线的斜率.
又切点为，
∴切线方程为，即.
3.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即的范围是.
故选B.
4.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合，∴，解得.
5.（2024·全国一卷）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）时，，其中，
则，
∵，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
∴的最小值为.
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
∵在图象上，故，
而，
∴也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）∵当且仅当，故为的一个解，
∴即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
第 2 页，共 17 页第10讲 对数与对数函数 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
A C B B D
6 7 8 9 10
A B A BC BC
11 12 13 14 15
BCD （1） （2）
16 17 18 19
（1） （2）当时，当时，当时 （1）（答案不唯一） （2）证明见解析 （1） （2） （1）证明见解析 （2）
1.（2026·雅礼中学·5月模拟）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
【点拨】本题考查对数的运算性质以及二倍角的正弦公式.
2.（2026·宁波十校·3月联考）设是与的等差中项，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵是与的等差中项，∴，即，∴.
【点拨】本题考查等差中项的性质及对数的运算.
3.（2026·龙岩市·3月检测）某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加
A. 3min B. 6min C. 9min D. 24min
【答案】B
【解析】由题意可得，解得，
∴当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加.
【点拨】本题考查对数函数模型在实际问题中的应用，先求出参数是解题关键.
4.函数的单调递区间为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
令，又在定义域内为减函数，
故只需求函数在定义域上的单调递减区间，
又∵函数在上单调递减，
∴的单调递增区间为.
【点拨】本题考查复合函数的单调性，注意复合函数“同增异减”的原则，求解时必须在定义域内进行.注：原卷题目“单调递区间”实为“单调递增区间”之误.
5.若函数在上单调，则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若在上单调递增，则，解得，
若在上单调递减，则，解得.
综上得.
【点拨】本题考查分段函数的单调性，需分单调递增和单调递减两种情况讨论，并注意分界点处的函数值大小关系.
6.已知是方程的根，是方程的根，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程可变形为方程，方程可变形为方程，
∵是方程的根，是方程的根，
∴是函数与函数的交点横坐标，是函数与函数的交点横坐标，
∵函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的交点横坐标等于函数与函数的交点纵坐标，
即在函数图象上，
又∵图象上点的横纵坐标之积为，∴.
【点拨】本题考查反函数的性质及函数交点问题，将方程的根转化为函数交点是解题关键.
7.（2026·百师联盟·5月模拟）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：）
A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级
【答案】B
【解析】将代入方程，得，
∴，即风力等级约为11级.
【点拨】本题考查对数在实际问题中的应用，将已知数据代入模型进行对数运算即可.
8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，，∴，
∵函数是定义在上的奇函数，∴，
∴当时，，
∴，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
【点拨】本题考查奇函数的性质及对数不等式的解法，利用奇偶性求出时的解析式是关键.
9.（2026·南京市·二模）已知，且，则下列不等式可能成立的是
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】若，由，得，此时或（即）；
若，由，得，此时或（即）.
综上所述，可能成立的是B、C.
【点拨】本题考查对数函数的单调性，需分和两种情况讨论.
10.（2025·保定市·二模）若函数，则
A. 为减函数 B.
C. 的值域为 D.
【答案】BC
【解析】∵，，
∴为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确；
，故选项B正确；
，故选项D错误.
【点拨】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，化简解析式时需注意定义域.
11.（2026·南雅中学·检测）设，，，则有
A. 定义域是
B. 是偶函数
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，恒成立
【答案】BCD
【解析】由题设，则，定义域为，A错；
由，∴为偶函数，B对；
由题设，定义域为，
由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，
∴在上单调递减，C对；
当时，令，则在定义域上单调递增，
原不等式等价于.
根据单调性，此不等式成立的条件为，即.
∵题设条件为，且对于任意实数都有，∴恒成立.
因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确.
【点拨】本题考查对数函数的定义域、奇偶性及单调性的综合应用，构造函数是判断D选项的关键.
12.（2026·泰安市·二模）已知实数，且，若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由，两边取以为底的对数，得，即，因为，所以，即，解得.
【点拨】本题考查对数的运算性质，两边取同底的对数是解题的关键.
13.计算的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】原式.
【点拨】本题考查对数的换底公式及运算性质，熟练掌握公式是解题关键.
14.若函数有最小值，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；
当时，外层函数为增函数，对于内层函数，函数有最小值，若使得函数有最小值，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点拨】本题考查复合函数的单调性与最值，需分和讨论，并注意真数大于0的条件.
15.（13分）已知函数.
（1） 若，求的值；
（2） 若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ∵，∴， 2 分
∴，∴， 4 分
解得. 6 分
（2） 由，得，即，
即或. 8 分
当时，，则或，
∵，则不成立，
由可得，得； 10 分
当时，，则或，
∵，则不成立，∴，解得. 12 分
综上，的取值范围是. 13 分
【点拨】本题考查对数函数的性质及恒成立问题，换元法解一元二次不等式以及分类讨论底数是解题的关键.
16.（15分）已知.
（1） 当时，求函数的值域；
（2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）当时，当时，当时
【解析】（1） ∵，
令， 2 分
∵，∴， 4 分
所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，
∴函数的值域为. 6 分
（2） 由得，
令，∵，∴，
∴对一切的恒成立， 8 分
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值，此时，
于是； 10 分
②当时，此时时，恒成立，即，
∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，； 12 分
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是. 14 分
综上可得：当时，当时，当时，. 15 分
【点拨】本题考查对数函数的复合函数值域及恒成立问题，分离参数法和基本不等式的结合是解题关键.
17.（15分）已知函数同时具有下列性质：
① ；
② 当时，单调递减；
③ 为偶函数.
（1） 请写出一个符合条件的函数的解析式；
（2） 证明你所写的函数满足上述三个性质.
【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见解析
【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为（答案不唯一）. 6 分
（2） 证明：
对于性质①：，故满足性质①. 9 分
对于性质②：当时，，因为底数，所以在上单调递减，故满足性质②. 12 分
对于性质③：函数的定义域为，关于原点对称.且，所以为偶函数，故满足性质③. 15 分
【点拨】本题考查对数函数的抽象性质，根据性质特征构造具体的对数函数是解题关键.
18.（17分）已知函数.
（1） 求函数在区间上的最小值；
（2） 若对，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ∵，其对称轴为， 4 分
∴在上单调递增，
∴. 7 分
（2） ∵对，使得，
∴， 11 分
由（1）知，
又∵在上单调递增，
∴， 14 分
∴，解得，
即. 17 分
【点拨】本题考查二次函数与对数函数的最值问题，理解“任意”与“存在”量词转化为最值关系是解题关键.
19.（17分）已知正实数满足：.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1） 证明：由可得：，
∴，
即， 3 分
设，，
∴在上单调递增， 6 分
∴，
则. 8 分
（2） 由（1）知，∴，
∴， 10 分
令，， 13 分
令，解得：；令，解得：；
∴在上单调递减，在上单调递增， 16 分
∴.
故的最小值为. 17 分
【点拨】本题考查利用同构思想解决等式问题，以及利用导数求函数最值，构造合适的函数是解题关键.
第 2 页，共 17 页第10讲 对数与对数函数·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·长沙雅礼·5月模拟）（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·宁波十校·3月联考）设是与的等差中项，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·福建龙岩·3月检测）某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（ 　　）
A. 3min B. 6min C. 9min D. 24min
4.函数的单调递区间为（ 　　）
A. B. C. D.
5.若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
6.已知是方程的根，是方程的根，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·百师联盟·5月模拟）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：）（ 　　）
A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级
8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（ 　　）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知，且，则下列不等式可能成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
10.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则（ 　　）
A. 为减函数 B.
C. 的值域为 D.
11.（2026·南雅中学·检测）（多选）设，，，则有（ 　　）
A. 定义域是
B. 是偶函数
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则＿＿＿＿＿＿.
13.计算的值为＿＿＿＿＿＿.
14.若函数有最小值，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1） 若，求的值；
（2） 若对任意的，恒成立，求的取值范围.
16.（15分）已知.
（1） 当时，求函数的值域；
（2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17.（15分）已知函数同时具有下列性质：
① ；
② 当时，单调递减；
③ 为偶函数.
（1） 请写出一个符合条件的函数的解析式；
（2） 证明你所写的函数满足上述三个性质.
18.（17分）已知函数.
（1） 求函数在区间上的最小值；
（2） 若对，使得，求实数的取值范围.
19.（17分）已知正实数满足：.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值.
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