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2027湘教版高中数学必修第一册
第2章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　相等关系与不等关系
2.1.1　等式与不等式
基础过关练
题组一　用不等式(组)表示不等关系
1.(2025贵州大学附属中学月考)持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线一共40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段,运送的平均速度为60 km/h,设需摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线,则x应该满足的不等式为(　　)
A.>1　　　　B.<1　　　　
C.+>1　　　　D.+<1
2.某校高一年级的213名同学去参观科技馆,租用了某公交公司的x辆公交车.如果每辆车坐30人,且一辆车坐满后才能坐下一辆,那么最后一辆车不空也不满,题目中所包含的不等关系为　　　　.
题组二　不等式的性质及其应用
3.(多选题)(2026甘肃定西期中)若aA.ac>bd　　　　B.ac2>bd2
C.<　　　　D.<
4.(多选题)(2025甘肃酒泉实验中学期中)下列说法正确的是(　　)
A.若<,则aB.若a>b,c>d,则a+c>b+d
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a>b>0,m>0,则>
5.(2026四川仁寿一中月考)设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小关系是(　　)
A.P>Q>R　　　　B.P>R>Q
C.Q>P>R　　　　D.Q>R>P
6.李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次,假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案:
方案一:不考虑两次油价的升降,每次都加油200元;
方案二:不考虑两次油价的升降,每次都加油30升.
李先生下个月采用哪种方案比较经济划算 (　　)
A.方案一　　　　B.方案二
C.一样划算　　　　D.不能确定
7.已知a+b>0,则+与+的大小关系是　　　　　.
题组三　求代数式的取值范围
8.(2025甘肃天水第一中学段考)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则3x+y的最大值为(　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.16　　　　D.18
9.已知1210.(2025甘肃天水第三中学阶段检测)已知1≤a≤2,0≤b≤3,则a-2b的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　由题意得汽车所用时间加上摩托车所用时间应小于1小时,即+<1.
2.答案　
解析　由最后一辆车不空,可得不等式30(x-1)<213,由最后一辆车不满,可得不等式30x>213,
因此,不等关系为
3.ACD　由题可得-a>-b>0,-c>-d>0,所以ac>bd,故A正确﹔
取a=c=-2,b=d=-1,则ac2=-8,bd2=-1,故B不正确﹔
因为c因为-=<0,所以<,故D正确.
4.ABD　对于A,由< c≠0 ·c2<·c2 a对于B,由不等式的性质可知B正确;
对于C,若a=0,b=-1,c=0,d=-2,则a>b,c>d,但ac>bd不成立,故C不正确;
对于D,因为a>b>0,m>0,所以-==>0 >,故D正确.
5.B　∵P-R=-(-)=2->0,∴P>R.
R-Q=--(-)=(+)-(+),
又(+)2=9+2,(+)2=9+2,18>14,
∴+>+,即R>Q.
综上,P>R>Q.
解题模板　比较两式(数)大小时,若两式(数)不好直接比较,可对两式(数)进行相同的变形,如比较含有根式的两式(数)的大小时,可先对两式(数)平方,再比较不同部分的大小.
6.A　设第一次油价为a元/升,第二次油价为b元/升,a≠b,且a,b>0,
方案一的平均油价为=(元/升);
方案二的平均油价为=(元/升).
又-==<0,故<.
7.答案　+≥+
解析　+-=+=(a-b)·=.
∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,
∴≥0,∴+≥+.
8.C　解法一:令s=x-y,t=4x-y,
则x=,y=,
∴3x+y=3×+=,
∵-4≤s≤-1,-1≤t≤5,∴≤-≤,-≤≤,∴1≤≤16,
∴3x+y的最大值为16.
解法二:设3x+y=m(x-y)+n(4x-y)=(m+4n)x+(-m-n)y,m,n∈R,则m+4n=3,且-m-n=1,解得m=-,n=,
∵-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,
∴≤-(x-y)≤,-≤(4x-y)≤,
∴1≤-(x-y)+(4x-y)≤16,
即1≤3x+y≤16,
∴3x+y的最大值为16.
9.答案　
解析　由1510.答案　[-5,2]
解析　因为0≤b≤3,所以0≤2b≤6,所以-6≤-2b≤0,又1≤a≤2,所以-5≤a-2b≤2.
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