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2027湘教版高中数学必修第一册
2.1.2　基本不等式
2.1.3　基本不等式的应用
基础过关练
题组一　对基本不等式的理解
1.(多选题)下列条件可使+≥2成立的有(　　)
A.ab>0　　　　B.ab<0
C.a>0,b>0　　　　D.a<0,b<0
2.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是(　　)
A.a=2　　　　B.a=±2
C.a=　　　　D.a=±
3.(2024广东惠州实验中学月考)下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是(　　)
A.+≥2　　　　
B.x+3+≥2(其中x>-3)
C.≥2　　　　
D.x-1+≥2(其中x>2)
题组二　利用基本不等式比较大小
4.若0A.b>>a>　　　　
B.b>>>a
C.b>>>a　　　　
D.b>a>>
5.(多选题)(2025福建福州六校期中联考)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≥　　　　B.+≥2
C.≥2　　　　D.a2+b2≥8
6.若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　　　.
题组三　利用基本不等式求最值
7.已知实数x,y>0,则x+y++的最小值为(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.2　　　　D.3
8.(2025甘肃张掖部分学校联考)已知09.(2025甘肃兰州第二中学月考)已知x>1,则+3x的最小值是　　　　.
10.(2024山东日照实验高级中学段考)已知x<1,则x+的最大值是　　　　.
11.(2025湖北荆州中学月考)若正实数a,b满足4a+b=ab,则4a+b的最小值是　　　　.
题组四　利用基本不等式证明不等式
12.已知a,b,c是三个不全相等的正数.求证:++>3.
13.(2024湖南长沙雅礼中学月考)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.
(1)求证:≥8;
(2)求证:++≥9.
题组五　利用基本不等式解决实际问题
14.(2025甘肃天水第一中学月考)为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,该生产线生产的产品可获得的利润s(单位:万元)与生产线运转时间t(单位:年)满足二次函数关系:s=-2t2+40t-98,现在要使年平均利润最大,则该生产线运转的时间为(　　)
A.7年　　　　B.8年　　　　C.9年　　　　D.10年
15.(2025山东日照期中)用28 cm长的铁丝折成一个矩形,则该矩形面积的最大值为(　　)
A.49 cm2　　　　B.196 cm2　　　　
C.36 cm2　　　　D.81 cm2
16.(2024黑龙江哈尔滨第一中学期末)若市财政下拨专款100百万元,分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位:百万元)的函数y1(单位:百万元):y1=,处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位:百万元)的函数y2(单位:百万元):y2=0.2x.
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(单位:百万元),两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y(单位:百万元),试将y表示成关于x的函数;
(2)试求出y的最大值,并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少.
能力提升练
题组一　利用基本不等式求最值(取值范围)
1.(2025安徽阜阳期中)若实数a,b满足ab=1-a,则下列数中不可能是a+b的值的是(　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.3
2.(2026江苏锡山高级中学期中)已知实数x满足0A.9　　　　B.18　　　　C.27　　　　D.36
3.(2025甘肃兰州大学附属中学期中)已知正数x,y满足(x-1)(y-2)=2,不等式3x+2y>m恒成立.则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,4+6)　　　　B.(6+4,+∞)
C.(-∞,7+4)　　　　D.(8+4,+∞)
4.(2025江西南昌期中)已知正数m,n满足m+n=5,则+的最大值为(　　)
A.8　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.4
5.(2025甘肃天水第一中学期末)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(　　)
A.9　　　　B.1　　　　C.　　　　D.3
6.(2025河北部分学校质量检测)已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.4　　　　D.
7.(2025浙江宁波期中)已知a,b,c均为正实数,ab+ac=4,则++的最小值是　　　　　　.
题组二　利用基本不等式证明不等式
8.(2024甘肃永昌第一高级中学月考)已知集合D={(x1,x2)|x1+x2=2,x1>0,x2>0}.
(1)求+的最小值;
(2)对任意(a,b)∈D,证明:+≥.
9.(2024湖南长沙市一中段考)若正数a,b,c满足a+b+c=1.
(1)求ab+bc+ca的最大值;
(2)求证:++≥.
题组三　基本不等式在实际问题中的应用
10.(创新题·新情境)(2025辽宁沈阳期末)《九章算术》是我国古代数学著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中卷九“勾股”中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木 ”其算法为:东门南到城角的步数,乘南门东到城角的步数,乘积作被除数,以树距离东门的步数作除数,被除数除以除数得结果,即出南门x里见到树,则x=.若一小城,如图所示,出东门1 200步有树,出南门900步能见到此树,则该小城的周长的最小值为　　　　里.(注:1里=300步)
11.(2026山东青岛月考)某厂家拟举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(m≥0,单位:万元)满足x=4-(k为常数),如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍此处每件产品的年平均成本按元来计算.
(1)将该产品的年利润y(万元)表示为年促销费用m的函数;
(2)当年促销费用为多少万元时,该厂家的年利润最大 最大年利润是多少
12.(2025江苏南通海安高级中学期中)已知A、B为东西方向的海岸线上相距12 km的两地(B在A的东侧),A,B,C在一条直线上,且C是A、B之间距A地3 km处的一地,在C地正南方向3 km处有一海岛P,由海岛P开往海岸的小船以10 km/h的速度按直线方向航行.
(1)某人从海岛P乘小船出发,在C地正东方向4 km处的D地登岸,登岸后以5 km/h的速度向东步行到B地,求此人从海岛P到达B地的时间;
(2)一快递员以v km/h的速度从A地向B地骑行,同时某人乘小船从海岛P向海岸出发,两人恰好相遇于C、B之间的E地,且E地距C地x km(0答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.ACD　根据基本不等式的条件知>0,>0,因此a,b同号即可.
2.D　该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±.
3.B　对于A,当x<0时,不等式不成立,因此A错误;
对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时等号成立,因此B正确;
对于C,因为≥2,所以==+≥2,当且仅当=1时等号成立,与≥2矛盾,因此C错误;
对于D,因为x>2,所以x-1>1,则x-1+≥2,
当且仅当x-1=1,即x=2时等号成立,与x>2矛盾,因此D错误.
易错警示　利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三条同时满足才能得出结论.
4.C　∵0a+b,∴b>>.
∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a.故b>>>a.
5.AD　对于A,C,因为a>0,b>0,所以a+b=4≥2,即≤2,当且仅当a=b=2时等号成立,故0对于B,当a=b=2时,+=+1=<2,故B错误;
对于D,a2+b2≥=8,当且仅当a=b=2时等号成立,故D正确.
6.答案　≥
解析　因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时等号成立.
7.B　∵x,y>0,∴x+y++≥2+2=4+2=6,当且仅当x=且y=,即x=2,y=1时等号成立.
8.答案　2
解析　因为0由基本不等式可得≤=2,
当且仅当x=4-x,即x=2时等号成立.
故的最大值为2.
9.答案　2+3
解析　因为x>1,所以x-1>0,所以+3x=+3(x-1)+3≥2+3=2+3,当且仅当=3(x-1),即x=时取等号.
10.答案　-3
解析　因为x<1,所以x-1<0,因此1-x>0,
所以x+=(x-1)++1=-+1≤-2+1=-4+1=-3,当且仅当1-x=,即x=-1时等号成立,所以x+的最大值是-3.
易错警示　求整式+分式形式代数式的最大(小)值时,要验证各项为正数,若均不是正数可提取负号再用基本不等式,如本题中将所求式子变形为-+1求解.
11.答案　16
解析　解法一:因为a,b均为正实数,4a+b=ab,所以=+=1,
所以4a+b=(4a+b)=++8≥2+8=8+8=16,当且仅当=,即a=2,b=8时等号成立.
解法二:因为a>0,b>0,所以4ab≤,即4(4a+b)≤,解得4a+b≥16,当且仅当4a=b,即a=2,b=8时等号成立.
12.证明　∵a,b,c是三个不全相等的正数,
∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2的等号不能同时成立,
则+++++>6,
∴++>3,
即++>3.
13.证明　(1)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以
=
=
≥==8=右边,当且仅当a=b=c=时等号成立,
故≥8.
(2)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以++=++
=+++3
≥2+2+2+3=2×3+3=9,当且仅当a=b=c=时等号成立,
故++≥9.
14.A　由题意得年平均利润(单位:万元)为=-2t-+40,
∵2t+≥2=28,∴≤-28+40=12,当且仅当2t=,即t=7时取等号,
故要使年平均利润最大,该生产线运转的时间为7年.
15.A　设该矩形相邻两边的长分别为x cm,y cm,则2x+2y=28,即x+y=14.
易知x>0,y>0,则x+y=14≥2,即xy≤49,当且仅当x=y=7时等号成立.
故该矩形面积的最大值为49 cm2.
16.解析　(1)由已知可得y=+0.2×(100-x),整理得y=-+20,其中0≤x≤100.
(2)由(1)得y=-+20=72-≤72-2=52,当且仅当=,即x=40时等号成立.
所以分配给植绿护绿项目的资金为40百万元,处理污染项目的资金为60百万元时,y最大,为52百万元.
能力提升练
1.B　因为ab=1-a,所以a≠0,b=-1,a+b=a+-1.
当a>0时,a+≥2=2,则a+b≥1,当且仅当a=1,b=0时等号成立,
当a<0时,a+=-≤-2=-2,则a+b≤-3,当且仅当a=-1,b=-2时等号成立.
故a+b的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞),结合选项可知选B.
2.C　因为00,
所以+=[3x+(1-3x)]=++15≥2+15=27,当且仅当=,即x=时取等号,故+的最小值为27.
解题模板　解决分式类型代数式的最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的3x+(1-3x)是定值1,从而得到解决问题的方法.
3.C　因为(x-1)(y-2)=2,所以xy=2x+y,即+=1,
所以3x+2y=(3x+2y)=7++≥7+2=7+4,
当且仅当=,且(x-1)(y-2)=2,即x=1+,y=2+时等号成立,
因为3x+2y>m恒成立,所以实数m的取值范围是(-∞,7+4).
4.D　因为(+)2=m+n+3+2·=8+2·≤8+()2+()2=8+m+n+3=16,当且仅当=,即m=3,n=2时等号成立,
又+>0,所以0<+≤4.
故+的最大值为4.
5.B　∵x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,
又x,y,z均为正实数,
∴==≤=1(当且仅当x=2y时取“=”),
∴=1,此时x=2y.
∴z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y×y+4y2=2y2,
∴+-=+-=-+1≤1,当且仅当y=1时取“=”.
∴+-的最大值为1.
6.B　因为x+y=1,所以2x+2y+2=4,
则(2x+2y+2)=1,
所以+=(2x+2y+2)·=≥=,
当且仅当=,即x=2(-1),y=3-2时等号成立,
所以+的最小值为.
7.答案　4
解析　因为ab+ac=4,所以a(b+c)=4,
设a=x,b+c=y,则x>0,y>0,且xy=4,
则++=++=+=(x+y)+≥2=2×2=4,
当且仅当(x+y)=,且xy=4时,即x=y=2时等号成立,
所以++的最小值为4,即++的最小值为4.
8.解析　(1)因为x1>0,x2>0,且x1+x2=2,
所以x1+x2≥2,所以x1x2≤1(当且仅当x1=x2=1时等号成立),
则+=-2x1x2≥4-2=2,
故+的最小值为2.
(2)证明:因为(a,b)∈D,所以a>0,b>0,a+b=2,
所以+=+=+
=(a+2+b+2)
=≥=,
当且仅当=,即a=b=1时取等号.
9.解析　(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=(2a2+2b2+2c2)+2(ab+bc+ca)≥(2ab+2ac+2bc)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca),当且仅当a=b=c=时等号成立,
所以ab+bc+ca≤,所以ab+bc+ca的最大值为.
(2)证明:+≥2=a,当且仅当=,即2a=b+c=时等号成立,
+≥2=b,当且仅当=,即2b=c+a=时等号成立,
+≥2=c,当且仅当=,即2c=a+b=时等号成立,
故++≥a+b+c-==,当且仅当a=b=c=时等号成立.
10.答案　16
解析　设EF=x(x>0)里,GF=y(y>0)里,且BE=1 200步=4里,GA=900步=3里,
易得△AFG∽△FBE,所以=,所以=,所以xy=12,
所以小城周长为4(x+y)≥4×2=16,当且仅当x=y=2时取等号,
所以该小城的周长的最小值为16里.
11.解析　(1)由题意知,当m=0时,x=2,则2=4-k,解得k=2,∴x=4-.
∵每件产品的销售价格为1.5×(元),
∴y=1.5x×-8-16x-m=4+8x-m=36--m(m≥0).
(2)∵当m≥0时,m+1>0,
∴y=37--(m+1)≤37-2=37-8=29,当且仅当=m+1,即m=3时等号成立,
即m=3时,ymax=29.
故当年促销费用为3万元时,该厂家的年利润最大,最大年利润是29万元.
12.解析　(1)如图,由题意可得AC=3 km,PC=3 km,CD=4 km,BD=12-3-4=5(km),PC⊥CD,
则PD===5(km),
因此,此人从海岛P到达B地的时间为+=+=1.5 h.
(2)由题意得PE==(km),
由题意可得=,即=,
所以====≤=,当且仅当x=,即x=3时等号成立,所以v≤10,
故快递员的速度的最大值为10 km/h.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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