资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2027湘教版高中数学必修第一册
2.2　从函数观点看一元二次方程
2.3　一元二次不等式
基础过关练
题组一　二次函数的零点
1.(多选题)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,以下说法正确的是(　　)
A.当m=0时,该函数只有一个零点
B.当m=1时,该函数只有一个零点
C.当m=-1时,该函数没有零点
D.当m=2时,该函数有两个零点
2.函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为　　　　.
3.已知关于x的方程x2-2x+a=0.
(1)当a为何值时,方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)当a为何值时,方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)当a为何值时,方程的两个根都大于0
题组二　一元二次不等式的解法及其应用
4.不等式-x2+x+6<0的解集是(　　)
A.{x|-2C.{x|x>3或x<-2}　　　　D.
5.(2025安徽宣城期末)设x∈R,使得不等式x2-6x+5<0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.{x|10}
C.{x|x<4}　　　　D.{x|2≤x≤3}
6.(2025陕西宝鸡期末)不等式≤0的解集为　　　　.
7.(2025甘肃兰州西北师范大学附属中学月考)解下列一元二次不等式.
(1)3x2+5x-2<0;(2)(5-x)(x+4)≥18;
(3)-2x2-x≤-6.
题组三　含参数的一元二次不等式的解法及其应用
8.(2025安徽省示范高中期中)若集合{x|ax2+ax+4≤0}= ,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,16)　　　　
B.(0,16)
C.(-∞,0)∪(16,+∞)　　　　
D.[0,16]
9.(2025河南省实验中学期中)设a为实数,则关于x的不等式(ax-1)(x+2)>0的解集不可能是(　　)
A.(-∞,-2)　　　　B.∪(-2,+∞)
C.　　　　D.
10.(2025甘肃庆阳宁县第二中学月考)已知集合A={x|x2+(a+2)x+2a<0},B={x|x2+2x-3<0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|-1≤a≤3}　　　　B.{a|-1≤a≤2}
C.{a|211.(2025甘肃天水第一中学段考)已知函数y=ax2-(a+2)x+2(a∈R).
(1)若y<3-2x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a≥0时,求不等式y≥0的解集.
题组四　三个“二次”之间的关系
12.(2025山东临沂期中)已知不等式ax2+(b+1)x-a3<0的解集是{x|x>2或x<-2},则a+b=　　　　.
13.(2025甘肃金昌永昌第一高级中学期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-214.(2025河南洛阳期中)已知关于x的不等式ax2-2a+1<(1-a)x.
(1)若不等式的解集为{x|x<-4或x>1},求实数a的值;
(2)若a>0,且不等式的解集中恰有7个质数元素,求实数a的取值范围.
题组五　一元二次不等式的实际应用
15.(2025福建福州八县(市)协作校期中)某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元,若按最低售价销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　)
A.10C.1516.(2025安徽合肥一六八中学月考)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/千瓦时.(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y(元)与实际电价x(元/千瓦时)的关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
能力提升练
题组一　三个“二次”的综合应用
1.(2025甘肃武威第六中学段考)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　　B.
C.　　　　D.{a|a≠2}
2.(多选题)(2025湖北荆州沙市中学月考)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪
3.(2025黑龙江齐齐哈尔第八中学月考)已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为,其中m<0,则+的最小值为　　　　.
4.(2025辽宁名校联盟月考)已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为　　　　.
题组二　一元二次不等式恒成立问题
5.(2025湖南长沙期末)已知x2+mx+≥0对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.m>2　　　　B.m≤0或m≥2
C.m<0或m>2　　　　D.0≤m≤2
6.(多选题)(2025广西南宁第三十六中学月考)若对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.　　　　D.2
7.(2025江苏徐州侯集高级中学月考)关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.a≥　　　　B.a≤
C.-≤a≤　　　　D.a≤-或a≥
8.若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　.
9.(2025北京朝阳期中)已知不等式ax+≥4对任意正实数x恒成立,则a的最小值为　　　.
10.(2025陕西咸阳期末)(1)若对于一切实数x,不等式mx2-3mx-2<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.AB　当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,故函数只有一个零点,A正确;
当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,故函数只有一个零点,B正确;
当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,故函数有两个零点,C错误;
当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3<0,所以方程无实数根,故函数无零点,D错误.
2.答案　-3
解析　解法一:∵函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,
∴a+2a+3=0,∴a=-1.
∴y=-x2-2x+3.
令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,
∴函数的另一个零点为-3.
解法二:设x1,x2是方程ax2+2ax+3=0(a≠0)的两个根,由函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,可得方程ax2+2ax+3=0(a≠0)的一个根为1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-=-2,∴另一个根为-3.故函数的另一个零点为-3.
3.解析　(1)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1),由图知,12-2+a<0,解得a<1.
所以a的取值范围是{a|a<1}.
(2)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2),由图知,解得-3所以a的取值范围是{a|-3(3)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3),由图知,解得0所以a的取值范围是{a|04.C　原不等式可化为x2-x-6>0,即(x-3)(x+2)>0,解得x>3或x<-2,所以不等式的解集为{x|x>3或x<-2}.
5.D　x2-6x+5<0 (x-1)(x-5)<0 16.答案　(-∞,-2)∪
解析　由不等式≤0,可得或
由得即x<-2;
由得即-≤x<2.
综上可知,不等式≤0的解集为(-∞,-2)∪.
7.解析　(1)不等式3x2+5x-2<0等价于(3x-1)(x+2)<0,解得-2(2)因为(5-x)(x+4)≥18,所以-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,即(x-2)(x+1)≤0,解得-1≤x≤2,
所以不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
(3)不等式-2x2-x≤-6即2x2+x-6≥0,即(2x-3)(x+2)≥0,解得x≤-2或x≥,
所以不等式的解集为.
8.A　集合{x|ax2+ax+4≤0}= ,等价于不等式ax2+ax+4≤0无解,等价于ax2+ax+4>0恒成立.
当a=0时,4>0,满足题意;
当a≠0时,要想ax2+ax+4>0,需满足
解得0综上,0≤a<16.
9.B　当a=0时,不等式(ax-1)(x+2)>0为-(x+2)>0,解得x<-2,故不等式的解集为(-∞,-2);
当a>0时,不等式(ax-1)(x+2)>0可化为(x+2)>0,
又>-2,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪;
当a<0时,不等式(ax-1)(x+2)>0可化为(x+2)<0,
若a=-,则不等式即为(x+2)2<0,不等式的解集为空集,
若a<-,则>-2,不等式的解集为,
若-综上所述,不等式的解集不可能为∪(-2,+∞).
10.A　A={x|x2+(a+2)x+2a<0}={x|(x+a)(x+2)<0},B={x|x2+2x-3<0}={x|-3因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A是B的真子集,
当a<2时,A={x|-2当a=2时,A= ,此时A是B的真子集,符合题意;
当a>2时,A={x|-a综上,实数a的取值范围是{a|-1≤a≤3}.
11.解析　(1)由题意得ax2-(a+2)x+2<3-2x恒成立,即ax2-ax-1<0恒成立,
若a=0,不等式为-1<0,恒成立,满足题意;
若a≠0,则解得-4综上,实数a的取值范围为(-4,0].
(2)当a=0时,不等式y≥0可化为-2x+2≥0,解得x≤1,
当a>0时,不等式y≥0可化为ax2-(a+2)x+2≥0,即(x-1)(ax-2)≥0,即(x-1)≥0,
①当>1,即0②当=1,即a=2时,不等式为(x-1)2≥0,恒成立,
③当<1,即a>2时,解得x≥1或x≤.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为(-∞,1],
当0当a=2时,不等式的解集为R,
当a>2时,不等式的解集为∪[1,+∞).
12.答案　-3
解析　由题意可得-2,2为方程ax2+(b+1)x-a3=0的两根,且a<0,
则由根与系数的关系可得-=-2+2=0,-=-2×2=-4,所以所以a+b=-3.
13.答案　
解析　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2所以a<0,且-2,7是方程ax2+bx+c=0的两根,
所以解得
故不等式cx2+bx+a≤0即为-14ax2-5ax+a≤0,即14x2+5x-1≤0,解得-≤x≤,
所以不等式cx2+bx+a≤0的解集是.
14.解析　(1)由题意得a<0,-4,1是方程ax2-2a+1=(1-a)x的两根,即-4,1是方程ax2+(a-1)x-2a+1=0的两根,则=-4+1=-3,且=-4×1=-4,解得a=-.
(2)不等式ax2-2a+1<(1-a)x可化为(x-1)(ax+2a-1)<0,因为a>0,所以方程(x-1)(ax+2a-1)=0的两根为1,-2,
因为不等式(x-1)(ax+2a-1)<0的解集中恰有7个质数元素,所以17<-2≤19,解得≤a<,
故实数a的取值范围为.
15.B　由题意,得x[30-2(x-15)]>400(x≥15),整理得x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,解得10又∵x≥15,∴15≤x<20.
16.解析　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知该地区年用电量增至千瓦时,
则y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)由(1)及题意得(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)]·(1+20%),且0.55≤x≤0.75,
整理得解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
能力提升练
1.C　若a2-4=0,则a=±2.
当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意;
当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去.
若a2-4≠0,则a≠±2.
∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,∴解得-综上,a的取值范围是.
2.ABD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),所以-2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,故A正确;
由根与系数的关系得则b=-a,c=-6a,
所以不等式bx+c>0即-ax-6a>0,解得x<-6,故B正确;
a+b+c=-6a<0,故C错误;
不等式cx2-bx+a<0即-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,故D正确.
3.答案　2
解析　∵ax2+2bx+4<0的解集为,
∴方程ax2+2bx+4=0的两根为m,,
∴m·=,∴a=1,∴m+=-2b,∵m<0,∴2b=-m+≥4,即b≥2,当且仅当m=-2时取“=”.
∴+=+≥2,当且仅当b=4时取“=”,
∴+的最小值为2.
4.答案　[-5,3)∪(4,5]
解析　解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.
解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x=-或x=-k.
①当-k<-,即k>时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,此时不等式组的解集为,∵不等式组的解集中仅有一个整数,∴-5≤-k<-4,解得4②当-k>-,即k<时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,要使不等式组的解集中仅有一个整数解,则-3<-k≤5,即-5≤k<3;
③当-k=-,即k=时,不等式组的解集为 ,不满足题意.
综上所述,k的取值范围为[-5,3)∪(4,5],
5.D　因为x2+mx+≥0对任意x∈R恒成立,所以Δ=m2-4×=m2-2m≤0,解得0≤m≤2.
6.BC　易得不等式x2-2x-3≤0的解集是[-1,3].
因为对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,
所以[a,a+2] [-1,3],所以解得-1≤a≤1.
结合选项知实数a的值可能为-1,.
7.A　令t=|x|,t≥0,
则对于任意t∈{t|t≥0},at2-t+2a≥0恒成立,因此a≥对任意t∈{t|t≥0}恒成立,
当t=0时,a≥0;当t>0时,易知=≤=,当且仅当t=时取“=”,即=,所以a≥.
综上,a≥.
8.答案　{λ|-8≤λ≤4}
解析　因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意的a,b∈R恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.
9.答案　4
解析　不等式ax+≥4对任意正实数x恒成立即ax2-4x+1≥0对任意正实数x恒成立,
当a=0时,不等式为-4x+1≥0,即x≤,不符合对任意正实数x恒成立,当a≠0时,若对任意正实数x,不等式ax2-4x+1≥0恒成立,
则或解得a≥4,
所以a的最小值是4.
10.解析　(1)若m=0,则不等式为-2<0,恒成立,满足题意;
若m≠0,则解得-综上,实数m的取值范围是.
(2)令y=x2+mx+4,则当1≤x≤2时,y<0恒成立,
画出函数图象,如图,
则解得m<-5,
∴m的取值范围是(-∞,-5).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑