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2027湘教版高中数学必修第一册
3.1.2　表示函数的方法
3.1.3　简单的分段函数
基础过关练
题组一　函数的表示法及其应用
1.(2025甘肃张掖部分学校期中)已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则f(g(2))的值为(　　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
　
A.3　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
2.(2025甘肃天水甘谷第六中学质量检测)图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
题组二　函数解析式的求法
3.(2025湖南衡阳期末)若函数f(x)满足f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,则(　　)
A.f(x)=3x　　　　B.f(x)=3
C.f(x)=27x+10　　　　D.f(x)=27x+12
4.(2025甘肃嘉峪关第二中学期中)若函数f =x2+,且f(a)=8,则实数a的值为　　　　.
5.(2025湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考)(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(3)已知函数y=f(x)满足f(2-x)+2f =x,求函数y=f(x)的解析式.
题组三　分段函数问题的解法
6.(2024山东普通高中大联考)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A. f(1)=3　　　　
B.若f(x)=1,则x=1
C. f(x)的定义域为R　　　　
D. f(x)的值域为(-∞,4)
7.(2025湖南怀化天星高级中学期中)已知函数f(x)=
(1)求f(f(0));
(2)若f(a)≤5,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　由题图可知g(2)=1,由题表可知f(1)=2,
故f(g(2))=2.
2.A　水壶的底端与上端细、中间粗,所以在注水流速恒定的情况下,开始时水面的高度增加得快,然后变得越来越慢,最后水面上升的速度又变快,由选项中图可知A符合.
3.A　因为f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,所以f(3x+1)=9x+3=3(3x+1),所以f(x)=3x.
4.答案　±
解析　∵函数f =x2+=+2,∴f(x)=x2+2(x∈R),∴f(a)=a2+2=8,解得a=±.
5.解析　(1)设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4.
∴解得或
∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)令x+1=t,则x=t-1,t∈R,
∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3.
(3)在f(2-x)+2f =x①中,将x换为-,得f +2f(2-x)=-②,
则2×②-①得3f(2-x)=--x,即f(2-x)=-,x≠0,
令t=2-x,则t≠2,x=2-t,
∴f(t)=-=,t≠2,
故f(x)=,x≠2.
6.D　f(1)=12=1,因此A错误;若f(x)=1,则或解得x=-1或x=1,因此B错误;根据分段函数的定义知,函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(-1,2)=(-∞,2),因此C错误;当x≤-1时,x+2≤1,当-1由分段函数的性质得,函数f(x)的值域为(-∞,1]∪[0,4)=(-∞,4),因此D正确.
7.解析　(1)因为f(x)=所以f(0)=0+2=2,
所以f(f(0))=f(2)=2×2=4.
(2)由f(a)≤5,可得或或
解得a≤1或1故a的取值范围是.
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