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2027湘教版高中数学必修第一册
3.2.2　函数的奇偶性
基础过关练
题组一　函数的奇偶性
1.(2025浙江衢州六校联盟期中)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的函数是(　　)
A.y=-(x-1)2　　　　B.y=x
C.y=　　　　D.y=-|2x|
2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
3.(多选题)下列结论不正确的是(　　)
A.f(x)=(x-1)是偶函数
B.f(x)=是奇函数
C.f(x)=+是偶函数
D.f(x)=是非奇非偶函数
题组二　函数奇偶性的应用
4.(2025广东汕头河溪中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=x2+,若f(2)=-5,则a=(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　
C.　　　　D.-
5.(2025陕西榆林第十四中学期中)若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f =(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.2
6.(多选题)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则有关f(x)在[0,+∞)上的说法正确的是(　　)
A.f(0)=0　　　　B.f(1)=0
C.最大值为　　　　D.最小值为-
7.已知定义域为R的函数g(x)=f(2x)+x2为奇函数,且f(2)=3,则f(-2)=　　　　.
8.(2025四川南充第一中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(5)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　.
9.(2025黑龙江牡丹江第三高级中学期中)已知函数f(x)=,且其定义域为(-1,1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)利用单调性的定义证明:f(x)在(0,1)上单调递减;
(3)解不等式f(1-m)+f(1-m2)<0.
能力提升练
题组一　函数的奇偶性
1.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)不恒等于零,则F(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
2.(2025广东广州第七十五中学阶段检测)我国著名数学家华罗庚曾说:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,割裂分家万事休.在数学的学习和研究中,有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征.函数f(x)=的图象大致为(　　)
题组二　函数奇偶性的综合运用
3.(2025四川南充白塔中学月考)已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[4a,a+5]上的偶函数,g(x)=f(x+1),则(　　)
A.g(0)>g>g(3)
B.g(0)>g(3)>g
C.g>g(0)>g(3)
D.g(3)>g>g(0)
4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,且在[0,+∞)上单调递减,若对任意x∈R, f(x2-a)+f(x)<2恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.
C.　　　　D.(1,+∞)
5.(2025浙江杭州期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=ax+1,若f(-3)=8,则不等式f(x)>的解集为(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
6.函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为　　　　.
7.(2025山东泰安新泰第一中学期中)定义在R上的单调函数f(x)满足恒等式f(x)=f(y)+f(x-y),且f(1)+f(2)=6.
(1)求f(0), f(1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)若对于任意的x∈,都有f(kx2+x)+f(x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　对于A,设y=f(x)=-(x-1)2,其定义域为R,因为f(-x)=-(-x-1)2=-(x+1)2≠f(x),所以y=-(x-1)2不是偶函数,不符合题意;
对于B,易知y=x在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
对于C,设y=g(x)=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且g(-x)==-g(x),所以y=是奇函数,不符合题意;
对于D,设y=h(x)=-|2x|,其定义域为R,且h(-x)=-|-2x|=-|2x|=h(x),所以y=-|2x|为偶函数,当x>0时,h(x)=-2x,在(0,+∞)上单调递减,符合题意.
2.B　∵x∈(-a,a),∴定义域关于原点对称,又F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.
3.ACD　对于A, f(x)的定义域为[-1,1),定义域不关于原点对称,∴f(x)不是偶函数,故该判断错误;
对于B,设x>0,则-x<0,则f(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x),同理,设x<0, f(-x)=-f(x)也成立,
∴f(x)是奇函数,故该判断正确;
对于C,由f(x)=+,得x2-3=0,解得x=±,∴f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数,故该判断错误;
对于D,由得-1≤x<0或0∴f(x)==,且其定义域关于原点对称,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,故该判断错误.
4.B　因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=-5,
所以f(2)=-f(-2)=-=-5,解得a=-2.
5.D　因为f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,所以即则
所以f(x)=x2+1,则f =f(1)=12+1=2.
6.ABC　由题可知,函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0, f(-x)=-f(x),
因为f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),
所以当x>0时,-x<0,则f(-x)=-x(1-x)=-f(x),
所以当x∈(0,+∞)时, f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+,
所以f(1)=0,且当x=时, f(x)在[0,+∞)上取最大值,最大值为,无最小值.
7.答案　-5
解析　由题意得g(1)=f(2)+1=3+1=4,又g(x)是奇函数,所以g(-1)=-g(1)=-4,又g(-1)=f(-2)+1,所以f(-2)=-4-1=-5.
8.答案　(-∞,-5)∪(0,5)
解析　因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增, f(5)=0,
所以f(x)<0即f(|x|)f(x)>0即f(|x|)>f(5),即|x|>5,解得x<-5或x>5.
由xf(x)<0,得或即或解得0所以不等式xf(x)<0的解集为(-∞,-5)∪(0,5).
9.解析　(1)因为f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=-==,
因为x2-x1>0,1+x1x2>0,-1<0,-1<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(0,1)上单调递减.
(3)f(1-m)+f(1-m2)<0可转化为f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),
则-1故不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集为(0,1).
能力提升练
1.B　由题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)·f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数.
2.A　由题意可知函数的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称, f(-x)===f(x),所以函数f(x)=为偶函数,其图象关于y轴对称,故B,C不符合,当03.C　因为f(x)=ax2+2a是定义在[4a,a+5]上的偶函数,
所以4a+a+5=0,解得a=-1,则f(x)=-x2-2,x∈[-4,4],
所以g(x)=f(x+1)=-(x+1)2-2,x∈[-5,3],
所以g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,且g(x)在(-1,+∞)上单调递减,
则g=g>g(0)>g(3).
4.B　令F(x)=f(x)-1,则F(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上单调递减,F(-x)=f(-x)-1,
又f(x)+f(-x)=2,
所以F(x)+F(-x)=f(x)+f(-x)-2=0,
所以F(x)=-F(x),
故F(x)为定义在R上的奇函数,
故F(x)在R上为减函数.
由f(x2-a)+f(x)<2恒成立,得F(x2-a)+F(x)<0恒成立,即F(x2-a)<-F(x)=F(-x)恒成立,
即x2-a>-x恒成立,
即a所以实数a的取值范围为.
5.A　因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=8,所以f(3)=-8,
所以3a+1=-8,解得a=-3,
故当x>0时, f(x)=-3x+1,
设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[-3(-x)+1]=-3x-1,
当x>0时,由f(x)>,可得-3x+1>,所以0当x<0时,由f(x)>,可得-3x-1>,所以x<-,
所以不等式f(x)>的解集为∪.
6.答案　(-∞,0)∪(4,+∞)
解析　当a=0时,显然f(x)为偶函数不成立,所以a≠0,
因为函数f(x)=(x-2)(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,所以函数f(x)的图象的对称轴为y轴,
所以-=0且a≠0,
所以b=2a,则f(x)=ax2-4a.
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a>0.
令f(x)=ax2-4a=0,解得x=2或x=-2.
由f(2-x)>0,得2-x>2或2-x<-2,解得x<0或x>4,
所以f(2-x)>0的解集为(-∞,0)∪(4,+∞).
7.解析　(1)在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=y=0,得f(0)=0,令x=2,y=1,得f(2)=2f(1),
∴f(1)+f(2)=3f(1)=6,∴f(1)=2.
(2)f(x)是奇函数,证明如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称.在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=0,得f(0)=f(y)+f(-y)=0,
∴f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(3)∵f(x)是奇函数,且f(kx2+x)+f(x-1)<0在x∈上恒成立,
∴f(kx2+x)又∵f(x)是定义在R上的单调函数,且f(0)=0∴kx2+x<1-x,即k<-2·在x∈上恒成立.
令g(x)=-2·=-1,
∵x∈,∴∈(1,2),
∴-1则实数k的取值范围为(-∞,-1].
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