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第11讲 函数的图像 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
A A A B A
6 7 8 9 10
B A B C B
11 12 13 14 15
C AB ABC ABD D
16 17 18 19 20
D ABC D A A
21 22 23 24 25
B C B A C
26 27 28 29 30
A A C C D
31 32 33 34 35
ABCD B A BC
36 37 38
1.（2026·滨州·二模）函数在上的图象大致为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以为奇函数，排除B、D；当时，，排除C.故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通常利用函数的奇偶性、单调性及特殊值进行排除.
2.（2026·南京六合·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设，函数的定义域为，且，所以为奇函数，排除 B、D，当时，，故，排除 C.故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通常利用函数的定义域、奇偶性及特殊区间的符号进行排除.
3.（2026·枣庄·5月模拟）函数的部分图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，所以为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D.当时，，，，所以，排除B.故选A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过分析函数的奇偶性以及在特定区间上的函数值符号即可得出结论.
4.（2026·济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图象可知，函数为奇函数，且当时，.对于A，，当时，，不符合题意；对于B，，为奇函数，且当时，，符合题意；对于C，，为偶函数，不符合题意；对于D，，当时，，而图象在时无零点，不符合题意.故选B.
【点拨】本题考查函数图象与解析式的对应关系，通常通过函数的奇偶性、特殊值及零点进行排除.
5.（2026·淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，排除选项 BD，∵，∴，设，，当时，即，，则在范围内是单调递增函数；当时，即，，则在范围内是单调递减函数；当时，∵，∴，∴在范围内是单调递增函数；当时，在范围内是单调递增函数，∵，，∴，使得，∴当时，，，则在是单调递减函数；∴当时，，，则在是单调递增函数；则选项 A 符合.故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过求导分析函数的单调性及极值点是解题的关键.
6.函数的图像是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，令，则，即，解得，或，解得，所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，所以排除AD；当时，，则，当时，，所以当时，，函数单调递增，所以B正确；故选：B.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过分析函数的零点和导数判断单调性即可得出结论.
7.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】对于 A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故 A 正确；对于 B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故 B 错误；对于 C，函数，因为，故 C 错误；对于 D，函数，，故 D 错误，故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除是常用的方法.
8.已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足，为奇函数，排除D；又选项C中函数满足，与图象不符，排除C；选项A中函数满足，与图象不符，排除A，只有B可选.故选：B.
【点拨】本题考查由函数图象选择解析式，主要利用函数的奇偶性以及特殊点的函数值进行排除.
9.已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题图，知函数的图像关于轴对称，所以函数是偶函数，故排除A；对于B，，虽然函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，但，与图像不吻合，排除B；对于D，因为，所以函数是偶函数，但，与图像不吻合，排除D；对于C，函数为偶函数，图像关于轴对称，下面只分析轴右侧部分.当时，，，令，求导，得.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得最大值.又因为，，，所以，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，与图像吻合.故选：C.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过奇偶性、特殊值及导数分析单调性进行排除是解题关键.
10.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于 A 选项，，A 选项错误；对于 C 选项，，C 选项错误；对于 D 选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D 选项错误.对于 B 选项，，；当，时，，，此时，当，时，，，此时，当，时，，，此时，依次类推可知函数值有正有负；显然不单调；因为当时，所以有多个零点；因为，所以，所以既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故 B 正确.故选：B.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过特殊点的函数值、零点及极值点个数进行排除.
11.（2026·山师附中·3月检测）函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图知，得到，又由图知，由，得到，又，所以，由，得到，所以，得到.
【点拨】本题考查正切型函数的图象与性质，通过图象求出解析式是解题的关键.
12.（2026·蚌埠·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数
【答案】AB
【解析】由图可知，所以，A正确.，代入得，结合图象在附近递增，，所以.当时，，取得最小值，所以关于对称，B正确.当时，，不单调，C错误.，为奇函数，D错误.故选AB.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，通过图象求出解析式，再利用解析式判断对称性、单调性及平移变换.
13.（2026·德州·二模）（多选）如图，函数的图象上有，两点，则（ 　　）
A. B.
C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数
【答案】ABC
【解析】由图象可知，即，因为，所以，A正确.由图象的对称性，直线是对称轴，且为最小值点，所以，解得，B正确.此时.当时，，单调递减，C正确.，为奇函数，D错误.故选ABC.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，通过特殊点求出解析式是解题的关键.
14.（2026·德州·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 若在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由图可得，函数的最小正周期，又，所以，则，由，得，，解得，，又，所以，故 A 正确；由上分析，得故，因为，故函数的图象关于点对称，故 B 正确；令，，解得，，故函数的单调递增区间为，，令，，解得，，故函数的单调递减区间为，，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故 C 错误；当时，则，要使在区间上恰有一个最大值和一个最小值，需使，解得，故 D 正确.故选：ABD.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，通过图象求出解析式，再利用解析式判断对称性、单调性及极值点.
15.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若，则，的图象在第二、四象限，的定义域为，且在上单调递增，没有符合的选项；若，则，的图象在第一、三象限，的定义域为，且在上单调递减，D选项符合.故选D.
【点拨】本题考查对数函数和反比例函数的图象，分类讨论参数的取值范围是解题的关键.
16.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点拨】本题考查指数函数和对数函数的图象，分类讨论底数的取值范围是解题的关键.
17.（多选）函数在上的大致图像可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】①当时，，，函数为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意；②当时，令，作出两函数的大致图象，由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；当时，，时，，若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意；若在内有两交点，同理得B选项符合题意.故选：ABC.
【点拨】本题考查函数图象的识别，通过分类讨论参数的取值，分析函数的奇偶性、零点及符号变化是解题的关键.
18.已知函数为常数，其中且的图象如图所示，则下列结论正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以，排除A，C；又因为函数过点，所以，解得．故选：D
【点拨】本题考查对数函数的图象与性质，通过单调性确定底数的范围，再代入特殊点求参数.
19.函数的图象如图所示，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，所以得：，故C错误；由图象可知，故D错误；因为定义域不连续，所以有两个根可得，即、异号，，即B错误，A正确.故选：A
【点拨】本题考查函数图象与解析式中参数的关系，通过函数的奇偶性、特殊值及定义域进行判断.
20.若函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象知，的两根为2，4，且过点，所以，解得，所以，所以，故选：A
【点拨】本题考查由函数图象求解析式，利用图象的渐近线（分母的零点）和特殊点列方程组求解.
21.高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数的大致图像是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，通过分析水深变化时体积的变化率（即截面积大小）来判断图象的凹凸性.
22.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.故选：C
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，水面高度上升的速度与容器的截面积成反比.
23.（2026·泰安·二模）2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时．如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】沙漏下漏过程中，沙子体积匀速减少.漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，截面积从上到下先逐渐减小，后继续减小至零.剩余沙子的高度随时间的增加而减小.由于体积匀速减少，高度下降的速度与当前截面积成反比.由于截面积不断减小，高度下降的速度越来越快.因此，图象的斜率绝对值越来越大，曲线向下弯曲（凸函数）.结合选项，B图象符合先慢后快的下降趋势.故选B.
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，高度下降速率与截面积成反比是解题关键.
24.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度关于注水时间的函数图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥PO底面圆半径，高H，注水时间为时水面与轴PO交于点O'，水面半径AO'=，此时水面高度PO'=，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，令水匀速注入的速度为，则注水时间为时的水的体积为，于是得，而都是常数，即是常数，所以盛水的高度与注水时间的函数关系式是，，函数图象是曲线且是上升的，随值的增加，函数值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.故选：A
【点拨】本题考查函数图象的实际应用，通过建立体积与高度的函数关系，再转化为高度与时间的函数关系.
25.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度(单位：米/分钟)与时间(单位：分钟)的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.
【点拨】本题考查新定义函数的图象，分段求出最大速度和最小速度的差是解题关键.
26.如图，正的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记．函数，则的图象大致为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，，．在区间上，P在边AC上，，则，排除C；在区间上，P在边BC上，，则，排除B，又由当时，有，的图象关于点对称，排除D，故选：A
【点拨】本题考查几何动点问题中的函数图象，通过特殊位置的符号和对称性进行排除.
27.已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，当时，，，故A正确，C错误.故选：A.
【点拨】本题考查函数图象的翻折变换，掌握绝对值对函数图象的影响是解题关键.
28.函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.如图所示：
【点拨】本题考查函数图象的平移变换，遵循“左加右减，上加下减”的原则.
29.已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，①关于轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半.故选：C.
【点拨】本题考查函数图象的综合变换，理清平移、伸缩和对称的顺序是解题关键.
30.已知函数则下列图象错误的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．故选：D．
【点拨】本题考查分段函数的图象及图象变换，分别画出各段图象再进行变换即可.
31.（2025·沧州·二模）（多选）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】ABCD
【解析】设为函数的图象上任意一点，则，设关于直线的对称点为，则，则，所以，即.易知，即，所以A选项不正确（注：修正后A选项为，原题意图可能考查切线不等式，此处依修正后题意A不正确，但原解析认为A不正确，B选项正确）；则，即成立，所以C选项正确；又，当时等号成立，，当时等号成立，则(等号不能同时成立)，所以，即，所以D选项正确.故选ABCD.
【点拨】本题考查函数图象的对称性求解析式，以及利用导数证明不等式恒成立问题.
32.（2026·开封高中·学情调研）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在上任意取点，点关于直线的对称点为，因为点在上，故，得，即，同理得，在同一坐标系内画出与的图象如下：
得或或成立，而不成立.
【点拨】本题考查反函数的求解及对数函数图象的比较，数形结合是解题的关键.
33.（2026·湘潭·二模）已知函数的值域是，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，所以函数的定义域为．设，，则是直线的斜率．点是半圆上的动点．如图，
设点，则．设切线的方程为，即．由圆心到切线的距离，解得（舍去）或．由图可知，即的值域为，则．故选：A.
【点拨】本题考查函数值域的求解，利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率是解题的关键.
34.（2026·浙江强基联盟·3月联考）（多选）已知曲线由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上两点之间距离的最大值为8
C. 曲线所围成的图形的面积等于16
D. 曲线绕轴旋转一周所形成几何体的体积为
【答案】BC
【解析】设，因为.所以曲线在第一象限图像关于点中心对称，又，又在上单调递减，所以在上单调递减，故的图像如图所示，在方程和将代换，方程不变，所以曲线关于轴对称，当时，方程为，当时，方程为，故曲线如图所示，由图可得曲线上两点之间的距离的最大值为8，故A错误，B正确；对于C选项，由对称性可知，图中区域1与区域2的面积相等，所以C正确；
对于D选项，如图三块区域绕轴旋转所得几何体的体积分别为，，，由于，区域1和区域3旋转后构成一个三棱锥，由锥体的体积公式可得，所以，故D错误．
【点拨】本题考查曲线的对称性、距离最值、面积及旋转体体积，通过分析函数的对称中心和单调性画出图象是解题关键.
35.若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】如图，显然.当时，由单调性得，方程有且仅有一解.因此当时，方程也恰有一解.即为函数的切线，，令得，故当时，，得，即从而.
【点拨】本题考查方程根的个数问题，转化为函数图象的交点问题，利用导数求切线斜率是解题的关键.
36.定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为当时，，所以，因为，当时，即时，由，所以，同理可得依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：当时，令，则，对任意，都有，则故的取值范围为.
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，利用递推关系画出函数图象，结合数形结合求解.
37.若函数，，则函数的零点个数为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】令，则有，所以，当时，则有，即, 在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当时，有2个零点；当时，则有，即，在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当时，有2个零点；当时，，此时，有1个零点为，综上所述，共有5个零点.
【点拨】本题考查函数零点个数问题，转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解.
38.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】，当时，，此时无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解，则与函数的图象共有3个不同的交点，①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点，所以与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；综上，的取值集合为.
【点拨】本题考查复合方程根的个数问题，通过换元法转化为内外层函数的交点问题，结合图象分类讨论求解.
第 2 页，共 17 页第11讲 函数的图像 · 分类练习
考点一：由解析式选图
考法1：根据奇偶性与特殊值（或极限）选图
1.（2026·滨州·二模）函数在上的图象大致为（ 　　）
A. B.
C. D.
2.（2026·南京六合·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
3.（2026·枣庄·5月模拟）函数的部分图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
4.（2026·济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：结合导数分析单调性与极值选图
5.（2026·淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ 　　）
A. B.
C. D.
6.函数的图像是（ 　　）
A. B.
C. D.
考点二：由图象选解析式
考法3：根据奇偶性与特殊点求解析式
7.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
9.已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法4：三角函数图象求解析式与性质
11.（2026·山师附中·3月检测）函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
12.（2026·蚌埠·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数
13.（2026·德州·二模）（多选）如图，函数的图象上有，两点，则（ 　　）
A. B.
C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数
14.（2026·德州·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 若在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则实数的取值范围为
考点三：含参数的函数图象问题
考法5：分类讨论参数判断函数图象
15.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
16.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
17.（多选）函数在上的大致图像可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法6：结合对称性与渐近线求参数
18.已知函数为常数，其中且的图象如图所示，则下列结论正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
19.函数的图象如图所示，则（ 　　）
A. B.
C. D.
20.若函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
考点四：函数图象的实际应用
考法7：实际情境中的函数图象判断
21.高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数的大致图像是（ 　　）
A. B.
C. D.
22.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
23.（2026·泰安·二模）2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时．如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（ 　　）
A. B.
C. D.
24.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度关于注水时间的函数图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
25.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度(单位：米/分钟)与时间(单位：分钟)的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法8：几何动点问题求函数解析式与图象
26.如图，正的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记．函数，则的图象大致为（ 　　）
A. B.
C. D.
考点五：函数图象的变换
考法9：函数图象的平移、对称与翻折变换
27.已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ 　　）
A. B. C. D.
28.函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为（ 　　）
A. B.
C. D.
29.已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ 　　）
A. B.
C. D.
30.已知函数则下列图象错误的是（ 　　）
A. B.
C. D.
31.（2025·沧州·二模）（多选）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ 　　）
A. B.
C. D.
考法10：反函数图象的对称性判断
32.（2026·开封高中·学情调研）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（ 　　）
A. B.
C. D.
考点六：函数图象的综合应用
考法11：结合几何意义求最值或体积
33.（2026·湘潭·二模）已知函数的值域是，则（ 　　）
A. B. C. D.
34.（2026·浙江强基联盟·3月联考）（多选）已知曲线由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上两点之间距离的最大值为8
C. 曲线所围成的图形的面积等于16
D. 曲线绕轴旋转一周所形成几何体的体积为
考法12：方程根的个数转化为图象交点问题
35.若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数＿＿＿＿＿＿．
36.定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
37.若函数，，则函数的零点个数为＿＿＿＿＿＿．
38.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为＿＿＿＿＿＿．
第 2 页，共 17 页第11讲 函数的图像 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
一、掌握基本初等函数的图像 2
二、函数图像作法 2
三、典题精讲 3
考点一：函数图象的识辨 3
考点二：函数图象的变换 6
考点三：函数图象的应用 8
四、高考真题 13
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2024 第7题 单选题 5分 直接 函数图象的应用（画出三角函数图象求交点个数）
2025 第8题 单选题 5分 间接 函数图象的应用（数形结合比较对数方程根的大小）
2026 - 0分 - -
近三年全国一卷中，对函数图象的考查频次适中，主要以单选题形式出现，分值为5分.考查方式侧重于函数图象的应用，如利用图象解决交点个数问题或数形结合比较大小.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重考查利用函数图象解决方程的根（交点）个数问题，以及基本初等函数图象的走势与性质.
命题趋势：单纯考查图象识辨的题目减少，更多地将函数图象作为一种工具（数形结合思想），融入到方程、不等式或大小比较等综合问题中.
试题特点：对作图能力要求较高，需要考生能够准确画出函数的草图，并敏锐捕捉图象的交点、渐近线、增减趋势等关键特征.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数（特别是指数函数、对数函数、三角函数）的图象特征及作图方法.
· 强化数形结合思想，在遇到方程根的个数、不等式恒成立或复杂代数式比较大小时，优先考虑画出图象辅助分析.
· 掌握函数图象的平移、伸缩、翻折等常见变换规律，能够根据解析式快速描绘出复杂函数的草图.
二、知识清单
一、掌握基本初等函数的图像
· （1） 一次函数；（2） 二次函数；（3） 反比例函数；（4） 指数函数；（5） 对数函数；（6） 三角函数.
二、函数图像作法
1. 直接画
· ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性 (或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线 (对称轴、渐近线等).
2. 图像的变换
（1） 平移变换
· ①函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的.
· ②函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的.
· ③函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的.
· ④函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的.
（2） 对称变换
· ①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称.
· ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或 (实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数).
· 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有或.
· ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的 (如图 (a) 和图 (b)) 所示.
· ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数 (如图 (c) 所示).
· ⑤函数与的图像关于对称.
【易错提醒】的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
（3） 伸缩变换
· ① () 的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到.
· ② () 的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到.
三、典题精讲
考点一：函数图象的识辨
考法1：利用函数的奇偶性与特殊点识辨图象
例1.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【思路】观察给定图象，可以从特殊点的函数值、图象的对称性以及极值点的个数入手.通过代入特殊点的值排除部分选项，再结合导数分析极值点个数，最后验证符合图象特征的解析式.
【解析】对于 A 选项，，A 选项错误；对于 C 选项，，C 选项错误；对于 D 选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D 选项错误.对于 B 选项，，；当，时，，，此时，当，时，，，此时，当，时，，，此时，依次类推可知函数值有正有负；显然不单调；∵当时，∴有多个零点；∵，∴，∴既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故 B 正确.故选：B.
【规律】识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.通过排除法逐步缩小范围，最终确定正确选项.
考法2：利用导数与单调性识辨图象
例2.（2026·淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力.下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【思路】面对结构较为复杂的函数，常规的奇偶性有时无法直接判断，此时需借助导数工具.通过求导分析导函数的符号变化，进而确定原函数的单调区间与极值情况，对比各选项图象的升降趋势即可锁定答案.
【解析】∵，∴，排除选项 BD，∵，∴，设，，当时，即，，则在范围内是单调递增函数；当时，即，，则在范围内是单调递减函数；当时，∵，∴，∴在范围内是单调递增函数；当时，在范围内是单调递增函数，∵，，∴，使得，∴当时，，，则在是单调递减函数；∴当时，，，则在是单调递增函数；则选项 A 符合.故选：A.
【规律】当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区分相似图象的关键.
考法3：含参基本初等函数图象的识辨
例3.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【思路】题目涉及指数函数与对数函数，且底数未知，需对底数进行分类讨论.分别探讨和两种情况下，两个函数的单调性及所过定点，寻找能够同时满足这两种图象特征的选项.
【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【规律】解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过和对数函数过（或平移后的定点）的性质，可快速排除错误选项.
【考点一 方法总结】
· 识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.
· 当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区分相似图象的关键.
· 解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过和对数函数过（或平移后的定点）的性质，可快速排除错误选项.
考点二：函数图象的变换
考法1：平移、伸缩与对称变换的综合
例4.已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【思路】对比原图象与目标图象，观察关键点的位置变化.可以发现目标图象发生了翻转、平移以及宽度的缩放.依据“左加右减、上加下减”的平移法则以及对称、伸缩变换规则，逆向或正向推导解析式的变化过程.
【解析】，①关于轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半.故选：C.
【规律】复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在上；若先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理等对称变换时，务必将视为一个整体，避免符号干扰.
考法2：含有绝对值的翻折变换
例5.已知函数则下列图象错误的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【思路】题干给出了分段函数，可先画出原函数的准确图象.随后，分别根据绝对值在函数外和绝对值在自变量上的翻折规律，逐一验证各选项图象的正确性.
【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点.当时，，表示一段曲线.函数的图象如图所示.
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确.故选：D.
【规律】熟记两种核心翻折变换：是将轴下方的图象翻折到上方，上方保留；是保留轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）.结合原图象特征即可迅速作答.
【考点二 方法总结】
· 复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在上；若先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理等对称变换时，务必将视为一个整体，避免符号干扰.
· 熟记两种核心翻折变换：是将轴下方的图象翻折到上方，上方保留；是保留轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）.
· 处理对称性问题时，若恒成立，则图象关于直线对称；若恒成立，则图象关于直线对称.
考点三：函数图象的应用
考法1：由函数图象求解析式中的参数
例6.若函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】观察图象中的垂直渐近线，这通常对应分母为零的点.结合图象经过的明确坐标点，代入解析式构建关于参数的方程组，解出参数后即可得到完整解析式并求值.
【解析】由图象知，的两根为2，4，且过点，∴，解得，∴，∴，故选：A.
【规律】由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数.
考法2：利用函数图象解决方程零点问题
例7.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】处理复合函数方程时，采用换元法是突破口.令内层函数，先求解外层方程，再将求得的根作为常数，结合的图象，分析内层方程的交点个数.由于含有参数，需对其正负及大小进行分类讨论.
【解析】，当时，，此时无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解，则与函数的图象共有3个不同的交点，①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
∴与函数的图象只有1个交点，则，∴，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点，∴与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
∴与函数的图象只有1个交点，则，∴，解得；综上，的取值集合为.
【规律】解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象（数形结合）讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐近线、极值等临界状态进行分类讨论.
考法3：利用函数图象解决不等式问题
例8.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】题目给出了函数在一个周期（或基础区间）内的解析式及递推关系，要求解不等式恒成立问题.可利用递推关系逐步推导出相邻区间上的解析式，进而画出函数在更广范围内的图象.借助图象直观找出满足的临界点.
【解析】∵当时，，∴，∵，当时，即时，由，∴，同理可得，依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：当时，令，则，对任意，都有，则，故的取值范围为.
【规律】遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围.
考法4：实际情境中的函数图象问题
例9.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度关于注水时间的函数图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【思路】这是一个经典的实际应用模型.水匀速注入意味着体积与时间成正比.由于容器是圆锥形，截面积随高度增加而增大，因此相同体积的水带来的高度变化会越来越小.可以通过建立体积与高度的几何关系，推导出高度关于时间的函数表达式，利用导数分析其增长趋势.
【解析】设圆锥PO底面圆半径，高H，注水时间为时水面与轴PO交于点O'，水面半径AO'=，此时水面高度PO'=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，令水匀速注入的速度为，则注水时间为时的水的体积为，于是得，∵都是常数，即是常数，∴盛水的高度与注水时间的函数关系式是，，函数图象是曲线且是上升的，随值的增加，函数值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.故选：A.
【规律】解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率（如截面积变大导致上升速度变慢，即图象变缓）快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性.
【考点三 方法总结】
· 由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数.
· 解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐近线、极值等临界状态进行分类讨论.
· 遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围.
· 解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
∴在上函数有三个周期的图象.
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有个交点.
故选：C.
2.（2025·全国一卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
∴.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根.
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，.
故选：B.
第 2 页，共 17 页第11讲 函数的图像 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
一、掌握基本初等函数的图像 2
二、函数图像作法 2
三、典题精练 3
考点一：函数图象的识辨 3
考点二：函数图象的变换 5
考点三：函数图象的应用 7
四、高考真题 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2024 第7题 单选题 5分 直接 函数图象的应用（画出三角函数图象求交点个数）
2025 第8题 单选题 5分 间接 函数图象的应用（数形结合比较对数方程根的大小）
2026 - 0分 - -
近三年全国一卷中，对函数图象的考查频次适中，主要以单选题形式出现，分值为5分.考查方式侧重于函数图象的应用，如利用图象解决交点个数问题或数形结合比较大小.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重考查利用函数图象解决方程的根（交点）个数问题，以及基本初等函数图象的走势与性质.
命题趋势：单纯考查图象识辨的题目减少，更多地将函数图象作为一种工具（数形结合思想），融入到方程、不等式或大小比较等综合问题中.
试题特点：对作图能力要求较高，需要考生能够准确画出函数的草图，并敏锐捕捉图象的交点、渐近线、增减趋势等关键特征.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数（特别是指数函数、对数函数、三角函数）的图象特征及作图方法.
· 强化数形结合思想，在遇到方程根的个数、不等式恒成立或复杂代数式比较大小时，优先考虑画出图象辅助分析.
· 掌握函数图象的平移、伸缩、翻折等常见变换规律，能够根据解析式快速描绘出复杂函数的草图.
二、知识清单
一、掌握基本初等函数的图像
· （1） 一次函数；（2） 二次函数；（3） 反比例函数；（4） 指数函数；（5） 对数函数；（6） 三角函数.
二、函数图像作法
1. 直接画
· ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性 (或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线 (对称轴、渐近线等).
2. 图像的变换
（1） 平移变换
· ①函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的.
· ②函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的.
· ③函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的.
· ④函数 () 的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的.
（2） 对称变换
· ①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称.
· ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或 (实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数).
· 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有或.
· ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的 (如图 (a) 和图 (b)) 所示.
· ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数 (如图 (c) 所示).
· ⑤函数与的图像关于对称.
【易错提醒】的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
（3） 伸缩变换
· ① () 的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到.
· ② () 的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长 () 或缩短 () 到原来的倍得到.
三、典题精练
考点一：函数图象的识辨
考法1：利用函数的奇偶性与特殊点识辨图象
例1.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：利用导数与单调性识辨图象
例2.（2026·淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力.下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ 　　）
A. B.
C. D.
考法3：含参基本初等函数图象的识辨
例3.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【考点一 方法总结】
· 识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.
· 当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区分相似图象的关键.
· 解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过和对数函数过（或平移后的定点）的性质，可快速排除错误选项.
考点二：函数图象的变换
考法1：平移、伸缩与对称变换的综合
例4.已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：含有绝对值的翻折变换
例5.已知函数则下列图象错误的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【考点二 方法总结】
· 复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在上；若先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理等对称变换时，务必将视为一个整体，避免符号干扰.
· 熟记两种核心翻折变换：是将轴下方的图象翻折到上方，上方保留；是保留轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）.
· 处理对称性问题时，若恒成立，则图象关于直线对称；若恒成立，则图象关于直线对称.
考点三：函数图象的应用
考法1：由函数图象求解析式中的参数
例6.若函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法2：利用函数图象解决方程零点问题
例7.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为＿＿＿＿＿＿.
考法3：利用函数图象解决不等式问题
例8.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法4：实际情境中的函数图象问题
例9.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度关于注水时间的函数图象大致是（ 　　）
A. B.
C. D.
【考点三 方法总结】
· 由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数.
· 解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐近线、极值等临界状态进行分类讨论.
· 遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围.
· 解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2025·全国一卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第11讲 函数的图像 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
A C C B C
6 7 8 9 10
C A A ABD ACD
11 12 13 14 15
BCD
16 17 18 19
（1） （2） （1）和 （2）见解析 （1）无解 （2）
1.（2026·栖霞联盟·一模）函数的部分图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以的图象关于原点中心对称，所以 CD 错误.
当时，，所以 B 错误.
【点拨】判断函数图象，通常从奇偶性、单调性、特殊点、函数值符号等方面入手.
2.（2024·山东烟台·二模）函数的部分图象大致为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，所以为偶函数，故排除 BD.
当时，，排除 A.
【点拨】本题考查函数图象的识别，利用函数的奇偶性以及特殊点的函数值符号进行排除是常用的方法.
3.（2025·青桐鸣·5月联考）定义域为的偶函数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，是偶函数，且，
令，得，解得.
令，得，令，得，
以替换，得，
结合，可知，
所以，所以是周期为的偶函数，
所以，C 选项正确.
，D 选项错误.
构造函数，
此时，是偶函数，
，
所以符合题意.
，与的值有关，AB 选项错误.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性与周期性，通过赋值法求出特殊点的函数值，并利用递推关系求出周期是解题关键.
4.（2024·贵州遵义·模拟）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项 D 中函数满足，为奇函数，排除 D；
又选项 C 中函数满足，与图象不符，排除 C；
选项 A 中函数满足，与图象不符，排除 A，
只有 B 可选.
【点拨】根据函数图象的对称性判断奇偶性，再结合特殊点的函数值排除错误选项.
5.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项 A、B 错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项 D 错误，选项 C 正确.
【点拨】本题考查对数函数与反比例函数的图象与性质，需分类讨论底数与的大小关系.
6.列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离(单位：km)与行驶时间(单位：h)的函数图象为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题可知列车的运行速度为，
列车到达C地的时间为，
故当时，.
【点拨】根据实际物理情境，列车到达C地时距离为0，且匀速运动对应一次函数图象（绝对值函数）.
7.已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故 BD 不符合要求，
当时，，，故 A 正确，C 错误.
【点拨】本题考查函数图象的翻折变换，注意与图象的生成规律.
8.（2026·湖南湘潭·二模）已知函数的值域是，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，所以函数的定义域为.
设，，则是直线的斜率.
点是半圆上的动点.
如图，设点，则.
设切线的方程为，即.
由圆心到切线的距离，解得（舍去）或.
由图可知，即的值域为，
则.
【点拨】将函数解析式转化为两点连线的斜率，利用数形结合思想求解值域.
9.（2026·安徽铜陵·模拟）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于中心对称
C. 在内单调递增
D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABD
【解析】由图可知，，则，
则，所以，
又，所以，
所以，
由，得，
结合图象知，，所以，
由图可知，，即，所以，
所以，所以，故 A 正确；
对于 B，因为，
所以的图象关于中心对称，故 B 正确；
对于 C，，所以，
所以在上不单调，故 C 错误；
对于 D，将函数的图象向左平移个单位长度得，故 D 正确.
【点拨】由图象求三角函数解析式，注意利用特殊点求和，再结合三角函数性质逐项判断.
10.（2026·山东东营·一模）（多选）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是
C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】由可得，所以曲线的图象由四个分别在四个象限的半圆组成.
A选项：由于方程中均带有绝对值且地位对称，所以曲线关于轴、轴、直线、直线对称，共有4条对称轴，A正确；
B选项：表示点到直线的距离的倍，由于曲线在第三象限的部分是圆心为，半径为的半圆，圆心到直线的距离为，所以点到直线的最小距离为，所以的最小值为，B错误；
C选项：曲线围成的图形面积为四个半圆面积加上中间的正方形面积，即，C正确；
D选项：表示点与点连线的斜率，由于曲线在第一象限的部分是圆心为，半径为的半圆，设过点的切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得或，结合图象可知最大值为，D正确.
【点拨】本题考查曲线方程与几何图形的对应关系，利用绝对值的对称性画出图形，结合几何意义求解最值问题.
11.（2025·河北沧州·二模）（多选）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】设为函数的图象上任意一点，则.
设关于直线的对称点为，则，则，所以，即.
易知，即，所以 A 选项不正确，B 选项正确；
则，即成立，所以 C 选项正确；
又，当时等号成立，，当时等号成立，
则（等号不能同时成立），所以，即，所以 D 选项正确.
【点拨】求出对称函数的解析式是解题的基础，再利用导数或经典不等式和进行放缩证明.
12.若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】显然.
当时，由单调性得，方程有且仅有一解.
因此当时，方程也恰有一解.
即为函数的切线，
，
令得，
故当时，，
得，即
从而.
【点拨】将方程根的个数问题转化为函数图象的交点问题，结合切线条件求解参数.
13.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为当时，，所以，
因为，当时，即时，
由，所以，
同理可得，
依此类推，作出函数的图象，
由图象知：当时，令，则，
对任意，都有，则，
故的取值范围为.
【点拨】利用递推关系求出函数在各区间上的解析式，画出图象，数形结合求解不等式恒成立问题.
14.若函数，，则函数的零点个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】令，则有，
所以，
当时，则有，
即，
在同一坐标系中作出与的图象，
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当时，有个零点；
当时，则有，
即，
在同一坐标系中作出与的图象，
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当时，有个零点；
当时，，
此时，有个零点为，
综上所述，共有个零点.
【点拨】将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，分类讨论的符号，结合对数函数与一次函数的图象交点个数进行判断.
15.（13分）已知函数的图象如图所示.判断实数的符号或值，并说明理由.
【答案】
【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数， 2 分
所以得：； 4 分
由图象可知； 8 分
因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号， 11 分
所以. 13 分
【点拨】由函数图象的对称性判断参数，由特殊点的函数值符号判断参数，由垂直渐近线的存在性判断参数.
16.（15分）已知函数的部分图象如图所示.
（1） 求函数的解析式；
（2） 求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 由图象知，的两根为，且过点， 4 分
所以， 6 分
解得， 8 分
所以； 10 分
（2） 所以 13 分
. 15 分
【点拨】根据函数图象的垂直渐近线确定分母的根，再结合图象经过的特殊点列出方程组求解参数.
17.（15分）（2026·湖南株洲·一模）已知一个正方形的四个顶点均在曲线上，求该正方形的面积.
【答案】
【解析】设正方形，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
则，
得与全等，得， 4 分
得点的纵坐标与点的横坐标相等，
设点，，得点，
由四个顶点均在曲线上，
得， 7 分
得，
两式相减得，，
得，
由于，得， 10 分
两式相加得，，
得， 13 分
由点，点，
得，
得正方形的面积为：. 15 分
【点拨】利用正方形的几何性质和曲线的中心对称性，设出顶点坐标并利用对称性得到坐标间的关系，从而列出方程组求解.
18.（17分）（2024·河北·模拟）已知函数.
（1） 求函数的零点；
（2） 判断函数在区间和上的符号.
【答案】（1）和 （2）见解析
【解析】（1） 令，即， 2 分
解得或.
由得. 4 分
由得，，解得，.
所以函数的零点为和. 7 分
（2） 当时，.
若，则，此时，所以. 9 分
若，则，此时，所以. 12 分
当时，.
若，则，此时，所以. 14 分
若，则，此时，所以. 16 分
综上所述，在和上符号为负，在和上符号为正. 17 分
【点拨】求解函数零点即解方程，判断函数符号需根据各因式的符号特征进行分类讨论.
19.（17分）已知函数.
（1） 当时，解关于的方程；
（2） 若关于的方程恰有三个不相等的实数解，求实数的取值集合.
【答案】（1）无解 （2）
【解析】（1） ，
当时，， 2 分
此时无解，不满足题意； 5 分
（2） 当时，设，则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，
此时方程均无解，
即方程无解，不满足题意； 8 分
当时，设，则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，
若方程恰有三个不相等的实数解，
则与函数的图象共有3个不同的交点， 11 分
①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，
则，所以，解得； 13 分
②当时，与函数的图象共有2个交点，
所以与函数的图象只有1个交点，
则，与矛盾，不合题意； 15 分
③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，
则，所以，解得；
综上，的取值集合为. 17 分
【点拨】处理复合方程的问题，通常采用换元法，令，先求出外层方程的根，再结合函数图象分析内层方程的根的个数，通过分类讨论参数的取值范围来确定交点情况.
第 2 页，共 17 页第11讲 函数的图像·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·栖霞联盟·一模）函数的部分图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
2.（2024·山东烟台·二模）函数的部分图象大致为（ 　　）
A. B.
C. D.
3.（2025·青桐鸣·5月联考）定义域为的偶函数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2024·贵州遵义·模拟）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
5.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
6.列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离(单位：km)与行驶时间(单位：h)的函数图象为（ 　　）
A. B.
C. D.
7.已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·湖南湘潭·二模）已知函数的值域是，则（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·安徽铜陵·模拟）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于中心对称
C. 在内单调递增
D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.（2026·山东东营·一模）（多选）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是
C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是
11.（2025·河北沧州·二模）（多选）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ 　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数＿＿＿＿＿＿.
13.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
14.若函数，，则函数的零点个数为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数的图象如图所示.判断实数的符号或值，并说明理由.
16.（15分）已知函数的部分图象如图所示.
（1） 求函数的解析式；
（2） 求的值.
17.（15分）（2026·湖南株洲·一模）已知一个正方形的四个顶点均在曲线上，求该正方形的面积.
18.（17分）（2024·河北·模拟）已知函数.
（1） 求函数的零点；
（2） 判断函数在区间和上的符号.
19.（17分）已知函数.
（1） 当时，解关于的方程；
（2） 若关于的方程恰有三个不相等的实数解，求实数的取值集合.
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