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2027湘教版高中数学必修第一册
4.1.3　幂函数
基础过关练
题组一　幂函数的概念
1.(2024安徽滁州名校期中联考)现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.若f(x)=xα的图象经过点,则f =(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.9　　　　D.81
3.(2024江西南昌一中期中)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,则n-m=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.8　　　　D.9
题组二　幂函数的图象及其应用
4.(2024甘肃庆阳第二中学期末)已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是　　(　　)
5.(2024江苏太仓沙溪高级中学期中)如图,C1,C2,C3,C4是四个幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　)
A.-1,,1,2　　　　B.2,1,,-1
C.,1,2,-1　　　　D.2,,-1,1
题组三　幂函数的性质及其应用
6.(2025广东清远期中)下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上单调递减的是(　　)
A.y=x2　　　　B.y=x3
C.y=x-2　　　　D.y=-x3
7.(2025四川资阳天立学校期末)已知幂函数f(x)的图象经过点,则f(x-2x2)的定义域为(　　)
A.(0,2)　　　　B.　　　　C.(0,2]　　　　D.
8.(2025甘肃兰州第一中学月考)幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　　)
A.2　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.2或-1
9.(2025辽宁名校联盟月考)函数y=,-1≤x≤0的值域为　　　　.
10.(2025江西多校阶段测试)已知幂函数f(x)=,其中m∈{m|-2能力提升练
题组一　幂函数的概念及其图象
1.幂函数y=xm与y=xn的部分图象如图所示,则(　　)
A.-1C.-11　　　　D.n<-1,m>1
2.(多选题)(2024湖北咸宁期中)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为(注:=)(　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.9
题组二　幂函数的性质及其应用
3.(多选题)(2024重庆一中期中)已知幂函数f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若n=m-1,则f(x)在(0,+∞)上单调递减
B.若n=m+1,则f(x)是奇函数
C.函数y=2f(x-1)+1的图象过定点(2,1)
D.若n=-3,则f(5)+f(-4)<0
4.(2023浙江浙北G2联盟期中)若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=+的值域是(　　)
A.[0,]　　　　B.[1,]　　　　
C.[,2]　　　　D.[2,3]
5.(多选题)(2024河南洛阳一中期中)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有(　　)
A. f(x)为偶函数
B. f(x)在定义域内为增函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若x2>x1>0,则f>
6.(2024浙江杭州六县九校联盟期中)已知幂函数f(x)=xm-3(m∈N+)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,则满足f(a+1-m)7.(2024广东江门期中)已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求k的值,并写出函数f(x)的解析式;
(2)对于(1)中的函数f(x),是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　根据幂函数的概念,可得①⑤为幂函数,②③④不符合幂函数的基本形式.
2.B　由题意知f(9)=,所以9α=,所以α=-,所以f ==3.
3.A　由幂函数的概念可知,m-1=1,∴m=2,
∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn的图象上,
∴2n=8,∴n=3,
∴n-m=3-2=.
4.D　设幂函数的解析式为f(x)=xα,由幂函数的图象经过点P,可得=2α,解得α=-4,所以f(x)=x-4,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
因为f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A、B错误;又因为f(x)=x-4,-4<0,所以当x>0时, f(x)单调递减,故C错误,D正确.
5.B　根据幂函数的图象与性质可知,>=1>>,所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为2,1,,-1.
方法技巧　幂函数y=xα(α为常数)在第一象限内的图象特征:
(1)当α>1时,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增,如y=x2;
(2)当0<α<1时,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增,如y=;
(3)当α<0时,图象过点(1,1),下凸递减,且向坐标轴无限逼近,如y=x-1.
6.C　y=x2是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故A不正确;y=x3是奇函数,故B不正确;y=x-2的定义域关于原点对称,满足f(-x)=f(x),是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故C正确;y=-x3是奇函数,故D不正确.
7.B　由题意可设f(x)=xm,将代入解析式,得8m=,解得m=-,故f(x)==,则f(x-2x2)=,故x-2x2>0,解得x∈.
8.B　因为f(x)=(m2-m-1)是幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2>0,解得m>1+或m<1-.
所以m=-1.
9.答案　[0,1]
解析　由幂函数的性质可知y=在[0,+∞)上单调递增,易知y=,x∈R为偶函数,
所以y=在[-1,0]上单调递减,则当-1≤x≤0时,0≤y≤1.
10.解析　因为幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,
所以-2m2-m+3>0,即2m2+m-3<0,解得-又m∈Z,所以m=-1或m=0,
当m=-1时, f(x)=x2为偶函数,不满足f(-x)+f(x)=0;
当m=0时, f(x)=x3为奇函数,满足f(-x)+f(x)=0,
故f(x)=x3.
易知f(x)=x3在R上单调递增,故当x∈[0,3]时,f(x)∈[0,27].
能力提升练
1.B　由题图可知,y=xm在[0,+∞)上单调递增,y=xn在(0,+∞)上单调递减,则m>0,n<0.当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,则m<1,n<-1.
综上可知,n<-1,02.BC　设f(x)=xα,α为常数,由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B.
若f(x)的图象经过A,B,C三点,则α>0,由f(-1)=(-1)α=-1,得α为正奇数或分子、分母均为奇数的正分数,又f(3)=3α,=3-1,=,3=31,9=32,
所以α=1, f(x)=x,则f(3)=3;
若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4α=2,得α=,则f(x)=,此时f(3)=;
由D(4,2)知α=,则C(-1,-1)必不在函数图象上,故f(x)的图象不可能同时经过B,C,D三点.
综上,f(3)的值可能为3或.
3.BD　因为f(x)=(m2-3)xn为幂函数,
所以m2-3=1,解得m=2或m=-2.
对于A,当m=2时,n=1,此时f(x)=x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,A错误;
对于B,由题意得f(x)=x3或f(x)=x-1,均为奇函数,B正确;
对于C,因为幂函数f(x)的图象恒过点(1,1),所以y=2f(x-1)+1=2(x-1)n+1的图象恒过点(2,3),C错误;
对于D,若n=-3,则f(x)=x-3,
所以f(5)+f(-4)=5-3+(-4)-3=5-3-4-3<0,D正确.
4.B　∵点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,
∴解得
∴函数g(x)=+=+,
∴∴3≤x≤4,
[g(x)]2=1+2=1+2,
因为x∈[3,4],所以-x2+7x-12∈,
所以[g(x)]2∈[1,2],
所以函数g(x)的值域为[1,].
5.BCD　设f(x)=xα,将(9,3)代入,得3=9α,则α=,
∴f(x)=.
对于A,易知f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴f(x)不具有奇偶性,因此A错误;
对于B,∵>0,∴函数f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,因此B正确;
对于C,当x>1时,>1,即f(x)>1,因此C正确;
对于D,因为f(x)=,所以f(x)≥0,若x2>x1>0,
则-
=-
=-=
=-<0,即 因此D正确.
小题巧解　对于D,可画出f(x)=的图象,并连接点(x1, f(x1))与点(x2, f(x2)),由所得线段的中点位于曲线y=f(x)下方,可得6.答案　∪(1,2)
解析　由f(x)在(0,+∞)上单调递减,得m-3<0,解得m<3,又m∈N+,所以m=1或m=2,
当m=2时, f(x)=x-1,为奇函数,且图象关于原点对称,不符合题意,
当m=1时, f(x)=x-2,为偶函数,且图象关于y轴对称,符合题意.
故f(a+1-m)因为f(x)为偶函数,所以f(|a|)又f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以|a|>|2-2a|>0,解得因此实数a的取值范围是∪(1,2).
7.解析　(1)由题意可得
所以k=1或k=0,所以f(x)=x2.
(2)假设存在正数m满足题意.
由(1)可得,f(x)=x2,则g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,
由m>0可知,g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=,则=1-<1.
当0<1-<1,即m>时,g(x)在上单调递增,在上单调递减,则g(x)在区间[0,1]上的最大值为g==5,解得m=或m=(舍去);
当1-≤0,即0故存在正数m=,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间[0,1]上的最大值为5.
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