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2027湘教版高中数学必修第一册
4.2　指数函数
基础过关练
题组一　指数函数的概念
1.下列函数是指数函数的是(　　)
A.y=(-4)x　　　　B.y=2x+1
C.y=ax　　　　D.y=3x
2.已知指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则f(6)=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.(2025天津河西期末)若函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的值为(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.1或　　　　D.
题组二　指数(型)函数的图象
4.(2024河南郑州十所省级示范高中期中)函数y=ax(a>0且a≠1)与y=-x+a的图象大致是(　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
5.(2025吉林长春五中月考)已知y1=,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为(　　)
6.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
7.(2025江苏无锡宜兴期中)已知函数f(x)=+b,且函数图象不经过第一象限,则b的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2]　　　　D.(-∞,-2)
题组三　指数(型)函数的性质及简单应用
8.(2025福建福州期中)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.[-3,+∞)　　　　B.[-2,+∞)
C.[2,+∞)　　　　D.[4,+∞)
9.设y1=40.8,y2=80.41,y3=,则(　　)
A.y1>y3>y2　　　　B.y3>y2>y1
C.y2>y1>y3　　　　D.y1>y2>y3
10.(2024湖南长沙雅礼中学期中)函数f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是(　　)
A.1　　　　B.　　　　
C.　　　　D.3
11.函数y=ax(a>0,a≠1)在[0,2]上的最大值与最小值的差为2,则a的值为　　(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
12.(2024吉林省实验中学期中)函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.
13.已知函数f(x)=-1是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
题组四　指数函数模型的应用
14.(2024安徽皖北六校期末联考)当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约经过N年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律,某生物体内碳14的初始质量为Q,该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为(　　)
A.y=Q·　　　　B.y=Q
C.y=Q-Q　　　　D.y=Q
15.(2025黑龙江齐齐哈尔多校联考)国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放量接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物含量N(mg/L)与时间t(h)的关系为N=N0e-kt(N0为最初污染物的含量).如果前4 h消除了污染物含量的20%,那么污染物含量消除至最初的64%还需要(　　)
A.3.6 h　　　　B.3.8 h　　　　C.4 h　　　　D.4.2 h
16.光线通过1块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x(x∈N+)块这样的玻璃以后强度变为y.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少
(参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12)
能力提升练
题组一　指数(型)函数的图象及应用
1.(多选题)(2025江苏宿迁期中)若函数y=ax-2b-1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则(　　)
A.01　　　　C.b>0　　　　D.b<0
2.(2024浙江台州期中)已知函数f(x)=mx-2(m>0,且m≠1)的图象恒过定点(a,b),则函数g(x)=的大致图象为(　　)
　　　　　　　　　　　　
3.已知函数f(x)=|2x-2|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是　　　　.
题组二　指数(型)函数的性质及应用
4.(2024天津静海四校段考)若函数f(x)=且满足对任意的实数x1,x2,当x1≠x2时,都有 >0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.(1,8)　　　　C.(4,8)　　　　D.[4,8)
5.(多选题)(2025黑龙江龙东阶段检测)定义在[-1,1]上的函数f(x)=-2·9x+4·3x,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)的单调递减区间是[0,1]
B.f(x)的单调递增区间是[-1,1]
C.f(x)的最大值是f(0)=2
D.f(x)的最小值是f(1)=-6
6.(2025重庆名校联盟联考)若函数f(x)=x2-2ax+1的单调递增区间为[3,+∞),且函数g(x)=的单调递减区间为[m,+∞),则实数m=　　　　.
7.(2024江西南昌三中月考)已知函数f(x)=31+|x|-,则使得f(x)8.(2024吉林省实验中学期中)已知函数f(x)=x-,若不等式t·f(2x)≥2x-1对任意的x∈(0,1]恒成立,则t的取值范围为　　　　　　.
9.(2025甘肃武威第七中学期末)设函数f(x)=(a>0且a≠1,k为常数).
(1)若f(x)为奇函数,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若f(x)为偶函数,且f(1)=,证明:f(x)在[0,+∞)上单调递增;
(3)设函数g(x)=f(2x)+mf(x)(m∈R),在第(2)问的条件下,若 x1∈[1,2], x2∈[0,2],使f(x1)≥g(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　
解题模板　判定一个函数是指数函数的依据:①形如y=ax的函数,ax的系数必须是1;②底数a满足a>0,且a≠1;③自变量为x,而不是a,且自变量的取值范围为R.
2.B　设f(x)=ax(a>0且a≠1).
∵f(x)的图象过点(-2,4),∴f(-2)=a-2=4,∴a=,
∴f(6)==.
3.D　∵函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,∴2a2-3a+2=1,解得a=1或a=,又a>0,且a≠1,∴a=.
4.A　直线y=-x+a的斜率为-1,故排除C,D;对于A,由函数y=ax的图象知a>1,由y=-x+a的图象知a>1,故A符合;对于选项B,由函数y=ax的图象知a>1,由y=-x+a的图象知05.A　y2=3x与y4=10x是增函数,y1=与y3=10-x=是减函数,在第一象限内作直线x=1(图略),该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,易知A正确.
6.C　易知f(x)=+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,2),∴m=n=2,∴g(x)=2-2x,
∴g(x)为减函数,且过点(0,1),(1,0),其大致图象如图所示.
∴函数g(x)的图象不经过第三象限.
7.C　∵函数f(x)=+b为减函数,且其图象不经过第一象限,∴f(0)=2+b≤0,即b≤-2.
8.C　由函数f(x)=有意义,知3x-9≥0,即3x≥9=32,解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞).
9.A　y1=40.8=22×0.8=21.6,y2=80.41=23×0.41=21.23,y3==21.5,
由函数y=2x在定义域上单调递增,可得y1>y3>y2.
10.C　令=t,由x∈[-1,2]得t∈,故f(x)可转化为g(t)=t2-t+1,t∈,易知g(t)min=g=,即f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是.
11.B　解法一:当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,则在[0,2]上的最大值与最小值的差为a2-a0=2,解得a=(a=-舍去).
当0所以a=.
解法二:易知函数y=ax(a>0,a≠1)是单调函数,所以最大值和最小值在端点处取得,所以|a0-a2|=2,即|1-a2|=2,解得a2=-1(舍去)或a2=3,又a>0,所以a=.
12.答案　
解析　令-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,所以f(x)的定义域为[-1,2],
令t=-x2+x+2,易知其在上单调递增,在上单调递减,
又y=在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)=的单调递增区间为.
13.解析　(1)由题意知2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为{x|x≠0},
由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)对于定义域内的任意x恒成立,则-1=-+1,即=-+2,即m·2x=m+2(1-2x),即(m+2)(2x-1)=0对于定义域中的任意x都成立,所以m=-2.
经检验,m=-2时, f(x)是奇函数.
(2)证明:由(1)知f(x)=-1.
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-1- +1=,
∵00,-1>0,->0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
14.D　设该生物体内碳14含量的年衰减率为p,将生物体内碳14的初始质量看成1个单位,
根据经过N年衰减为原来的一半,则(1-p)N=,即1-p=,
所以该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为y=Q(1-p)x,即y=Q.
15.C　由题意可得N0e-4k=N0,可得e-4k=,
令N0e-kt=0.64N0=N0,
可得e-kt=(e-4k)2=e-8k,解得t=8.
因此污染物含量消除至最初的64%还需要4 h.
16.解析　(1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)k=0.9k;
光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)·0.9k=0.92k;
光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)·0.92k=0.93k;
……
光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk,
∴y=0.9xk(x∈N+).
(2)将x=20代入函数解析式,得y=0.920k≈0.12k,即光线强度约为0.12k.
能力提升练
1.BC　若01.
函数大致图象如图所示,
当a>1时,要使y=ax-2b-1的图象过第一、三、四象限,则2b+1>1,解得b>0.
2.D　在函数f(x)=mx-2(m>0,且m≠1)中,令x-2=0,解得x=2,因此f(2)=1,即函数f(x)的图象过定点(2,1),
由题意可知a=2,b=1,
故g(x)==,
将y=的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到左侧,替换原y轴左侧部分的图象,并保留y=的图象在y轴右侧的部分,得到y=的图象,再将所得图象向左平移1个单位长度得到函数g(x)的图象,因此D选项符合.
3.答案　(-∞,2)
解析　结合f(x)=|2x-2|的图象,不妨设a<12,
由f(a)=f(b),得|2a-2|=|2b-2|,
所以-2a+2=2b-2,即2a+2b=4,
又2a+2b≥2=2,所以2a+b≤4=22,
当且仅当a=b时,等号成立,
又因为a≠b,所以2a+b<22,则a+b<2,
所以a+b的取值范围是(-∞,2).
4.D　∵对任意的实数x1,x2,当x1≠x2时,都有>0成立,
∴函数f(x)=在R上单调递增,
∴解得4≤a<8,故a的取值范围是[4,8).
5.ACD　设t=3x,x∈[-1,1],则t∈,
又函数y=-2t2+4t=-2(t-1)2+2在上单调递增,在[1,3]上单调递减,
所以f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,故A正确,B错误;
f(x)max=f(0)=2,故C正确;
f(-1)=, f(1)=-6,因此f(x)的最小值是-6,故D正确.
6.答案　1
解析　因为f(x)=x2-2ax+1的单调递增区间为[3,+∞),所以f(x)的图象的对称轴为直线x=3,则a=3,
所以g(x)=,
根据复合函数的单调性可得函数g(x)=的单调递减区间即函数y=(x-3)(x+1)的单调递增区间,易知y=(x-3)(x+1)的单调递增区间为[1,+∞),所以m=1.
7.答案　(-∞,-1)∪
解析　易知函数f(x)=31+|x|-的定义域为R,且f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
当x≥0时, f(x)=31+x-,为单调递增函数,
∴f(x)∴|x|<|2x+1|,解得x<-1或x>-,
故x的取值范围为(-∞,-1)∪.
8.答案　
解析　易知f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增, f(2x)=2x-2-x,由0不等式t·f(2x)≥2x-1对任意x∈(0,1]恒成立,即t≥=对任意x∈(0,1]恒成立,
易知y==在(0,1]上单调递增,故当x=1时,y取得最大值,为,所以t≥.
9.解析　(1)易知f(x)的定义域为R,若f(x)为奇函数,
则f(0)==0,解得k=-1,则f(x)==ax-,
经检验, f(x)=ax-为奇函数,∴k=-1符合题意.
由f(x)>0,得ax>a-x,
当a>1时,得x>-x,即x>0,即不等式f(x)>0的解集为{x|x>0};
当00的解集为{x|x<0}.
综上,当a>1时, f(x)>0的解集为{x|x>0},当00的解集为{x|x<0}.
(2)证明:因为f(x)==ax+ka-x为偶函数,
所以f(-x)=f(x),即a-x+kax=ax+ka-x,即(k-1)(ax-a-x)=0,所以k=1,故f(x)=ax+a-x,
由f(1)=,得2a2-5a+2=0,解得a=2或a=,
所以f(x)=2x+,
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=+-=-+=(-)=,
因为0≤x120=1,
所以(-)(-1)<0,
所以f(x1)(3)由(2)可知f(x)在[1,2]上单调递增,
所以当x∈[1,2]时, f(x)的最小值为f(1)=.
若 x1∈[1,2], x2∈[0,2],使f(x1)≥g(x2)成立等价于 x∈[0,2],使g(x)≤,
即(22x+2-2x)+m(2x+2-x)≤在x∈[0,2]上有解,
令2x+2-x=t,则22x+2-2x=t2-2,
由(2)知t=2x+2-x在x∈[0,2]上单调递增,
所以t∈,
所以t2-2+mt≤在t∈上有解,
即m≤-t在t∈上有解,即m≤,
因为y=在t∈上单调递减,y=-t在t∈上单调递减,
所以当t=2时,y=-t取最大值,为,
所以m≤,即m的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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