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2027湘教版高中数学必修第一册
4.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
4.3.2　对数的运算法则
基础过关练
题组一　对数的概念及基本恒等式
1.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为(　　)
A.a>,且a≠1　　　　B.0C.a>0,且a≠1　　　　D.a<
2.若log32=x,则3x+9x的值为 (　　)
A.6　　　　B.3　　　　C.　　　　D.
3.(2025北京第二十二中学期中)以下四个结论中正确的是(　　)
A.lg(log51)=0　　　　B.log3(log22)=0
C.log28=4　　　　D.若lg x=10,则x=10
4.-2=　　　　.
5.已知log7[log3(log2x)]=0,则=　　　　.
题组二　对数的运算法则
6.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列各式:
①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga;④=logax;⑤=loga.
其中正确的有(　　)
A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个
7.(2025四川内江第六中学月考)已知2a=5,则lg 2=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2=　　　　.
9.(2025山东泰安第一中学期中)求下列各式的值:
(1)2××(+1)0÷;
(2)log216+log535-log514-log5.
题组三　换底公式及其应用
10.(多选题)已知a,b均为不等于1的正数,则下列选项中与logab相等的有(　　)
A.　　　　B.
C.log 　　　　D.lobn
11.(2025云南曲靖东陆高级中学月考)若lg 2=a,10b=3,则log2415=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
12.(2025上海金山中学期中)已知log95=m,log37=n,则用m,n表示log359=　　　　　.
13.已知m=2log3x,n=log5(x-1).
(1)若3m-5n=3,求x的值;
(2)当x=4时,用含m,n的式子表示log1520.
能力提升练
题组一　对数运算的综合应用
1.(多选题)历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数,常用对数曾经在化简计算上为人们做出过重大贡献,而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算,其中正确的是(　　)
A.ln e2=2
B.lg 125=3-3lg 2
C.log34×log32=log38
D.log23×log34×log42=1
2.(2025江苏徐州期中)设a=lg 6,b=lg 20,则log43=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.(多选题)(2025吉林毓文中学期中)下列命题中正确的是(　　)
A.已知2a=5,log83=b,则4a-3b=
B.2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2的值为1
C.若xlog34=1,则4x+4-x的值为
D.若2m=3n=k且+=2,则k=6
4.已知a>0,b>0,ln a==,则下列说法正确的是(　　)
A.b=2a　　　　B.3a+2b=b3
C.=log23　　　　D.=3
5.(2025江西上饶余干第二中学月考)已知3x=2y=6,则=　　　　.
6.(2025江苏连云港东海高级中学质量检测)(1)计算:+eln 2+lo-log332·log23;
(2)计算:lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2++;
(3)已知32x=43y=126,求+的值.
题组二　对数的运算与数学应用的交汇
7.(2024甘肃兰州第一中学期末)荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看成每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.783 4,而把(1-1%)365看成每天的“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.025 5,这样,一年后的“进步”率是“退步”率的≈1 481倍,那么当“进步”率是“退步”率的5倍时,大约经过(参考数据:lg 101≈2.004 3,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)(　　)
A.70天　　　　B.80天　　　　C.90天　　　　D.100天
8.(2025江苏泰州泰兴多校联考)尽管目前人们还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,里氏8.0级地震释放的能量是里氏6.0级地震释放能量的(　　)
A.6倍　　　　B.102倍　　　　C.103倍　　　　D.106倍
9.(2024江苏盐城时杨中学阶段检测)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er=Ep×10-7,其中Ep是激光器输出的单脉冲能量,Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量,S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位:km2,光斑面积与卫星高度有关).若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足:Γ=10lg(单位:dB).当卫星达到一定高度时,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,则此时Γ的大小约为(参考数据:lg 2≈0.301)(　　)
A.-76.02　　　　B.-83.98　　　　
C.-93.01　　　　D.-96.02
10.(2025广东东莞期中)人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人们能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有f(x)=alg(a为常数,x∈(0,+∞)).已知人正常说话时的声音约为60 dB,嘈杂的马路声音约为90 dB,而嘈杂的马路的声音强度是人正常说话时的声音强度的1 000倍.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)喷气式飞机起飞时的声音约为140 dB,计算喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时的声音强度的多少倍
11.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.经过研究发现,在25 ℃室温下,设茶水温度从85 ℃开始,经过x分钟后的温度为y ℃,则满足y=kax+25(k∈R,0(1)求实数k的值;
(2)经过测试知a=0.922 7,求在25 ℃室温下,刚泡好的85 ℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感(结果精确到1分钟).
(参考数据:lg 7≈0.845 1,lg 12≈1.079 2,lg 0.922 7≈-0.034 9)
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　由题意知解得02.A　由log32=x得3x=2,因此9x=(3x)2=4,所以3x+9x=2+4=6.
3.B　对于A,因为log51=0,0和负数没有对数,
所以lg(log51)无意义,故A错误;
对于B,log3(log22)=log31=0,故B正确;
对于C,log28=log223=3,故C错误;
对于D,由lg x=10,得x=1010,故D错误.
4.答案　-5
解析　-=4-=4-9=-5.
5.答案　
解析　∵log7[log3(log2x)]=0,∴log3(log2x)=1,
∴log2x=3,∴x=23,
∴====.
6.A　根据logaMn=nlogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③⑤正确,①②④不正确.
7.A　由2a=5,得lg 2a=lg 5,所以alg 2=lg=1-lg 2,解得lg 2=.
8.答案　3
解析　原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2
=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
9.解析　(1)原式=(33××1÷=32××1×=4.
(2)原式=4+log5=4+log553=4+3=7.
10.AD　=logab,=logba,log =logba,lobn=logab.
11.C　因为10b=3,所以b=lg 3,
所以log2415====.
12.答案　
解析　由题意得m=log35,n=log37,
所以log359===.
13.解析　(1)∵m=2log3x,n=log5(x-1),
∴解得x>1,
∴3m-5n=-=-=x2-x+1=3,
解得x=-1(舍去)或x=2.∴x=2.
(2)当x=4时,m=2log34=4log32,n=log53,
∴=log32,=log35,
∴log1520=====.
能力提升练
1.ABD　ln e2=2ln e=2,所以A正确;
lg 125=lg 53=3lg 5=3(lg 10-lg 2)=3-3lg 2,所以B正确;
log34+log32=log38,所以C错误;
log23×log34×log42=××=1,所以D正确.
2.C　由题意得a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=lg 10+lg 2=1+lg 2,联立解得lg 2=b-1,lg 3=a-b+1
则log43===.
3.ABC　由2a=5,得a=log25,又b=log83=log23,所以a-3b=log25-log23=log2,
则4a-3b=22(a-3b)===,故A正确;
2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2=(2lg 2+lg 5)(lg 2+lg 5)-lg 2=2lg 2+lg 5-lg 2=lg 2+lg 5=1,故B正确;
由xlog34=1,得x==log43,所以4x+4-x=+=3+=,故C正确;
因为2m=3n=k,所以m=log2k,n=log3k,
则=logk2,=logk3,
所以+=logk2+logk3=logk6=2,所以k=,故D错误.
4.C　由题意得6ln a=3ln b=2ln(3a+2b),即a6=b3=(3a+2b)2,则有a2=b,所以a6=(3a+2a2)2,
整理得(a2-2a-3)(a2+2a+3)=0,
因为a2+2a+3=(a+1)2+2>0,
所以a2-2a-3=(a-3)(a+1)=0,
因为a>0,所以a=3,b=9,所以b≠2a,故A错误;
3a+2b=27≠b3,故B错误;
===log23,故C正确;
==(eln 9=≠3,故D错误.
5.答案　1
解析　因为3x=2y=6,所以x=log36,y=log26,
故+=+=log63+log62=log66=1,
则===1.
6.解析　(1)原式=+2+-·log23=+2--5=-1.
(2)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2++
=lg 52+lg 2·(lg 10+lg 5)+(lg 2)2++eln 3
=2lg 5+lg 2(1+lg 5)+(lg 2)2+4+3
=2lg 5+lg 2(lg 5+lg 2+1)+7=2lg 5+2lg 2+7=9.
(3)∵32x=43y=126,∴2x=,3y=,
∴+=====1.
7.B　设x天后的“进步”率是“退步”率的5倍,则=5,即=5,所以x=5==≈≈80.
故当“进步”率是“退步”率的5倍时,大约经过80天.
8.C　设里氏8.0级地震释放的能量为E1焦耳,里氏6.0级地震释放的能量为E2焦耳,则lg E1=4.8+1.5×8=16.8,lg E2=4.8+1.5×6=13.8,所以E1=1016.8,E2=1013.8,故==103.
9.B　因为Er=Ep×10-7,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,
所以=×10-7=×10-7=4×10-9,
则Γ=10lg=10lg(4×10-9)=10lg 4-90=20lg 2-90≈20×0.301-90=-83.98.
10.解析　(1)设嘈杂的马路的声音强度是x1,人正常说话时的声音强度是x2,则=1 000,
所以所以30=alg,
所以30=3a,所以a=10,
所以f(x)=10lg(x∈(0,+∞)).
(2)设喷气式飞机起飞时的声音强度为x3,
所以所以8=lg,所以=108,
故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时的声音强度的108倍.
11.解析　(1)依题意,当x=0时,y=85,所以85=k·a0+25,解得k=60,所以实数k的值是60.
(2)由(1)知,当a=0.922 7时,y=60×0.922 7x+25,
当y=60时,60×0.922 7x+25=60,即0.922 7x=,两边取对数,得xlg 0.922 7=lg 7-lg 12,
所以x=≈≈7.
所以刚泡好的85 ℃的茶水大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感.
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