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2027湘教版高中数学必修第一册
4.3.3　对数函数的图象与性质
基础过关练
题组一　对数函数的概念及其应用
1.(2024江苏淮安马坝高级中学阶段测试)下列函数中为对数函数的是(　　)
A.y=lo(-x)　　　　B.y=2log4(1-x)
C.y=ln x　　　　D.y=lox
2.(2025云南昆明第一中学质量检测)已知函数f(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1),若其图象过点(6,3),则f(2)的值为(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　
C.　　　　D.-
3.若函数y=(a2-3a+3)log(2a-1)x是对数函数,则a的值为　　　　.
题组二　与对数函数有关的定义域问题
4.(2024河南洛阳月考)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.　　　　
B.(1,+∞)　　　　
C.∪(1,+∞)　　　　
D.∪(1,+∞)
5.若函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为(　　)
A.0　　　　B.10　　　　C.1　　　　D.
6.(2025吉林通化梅河口第五中学月考)已知函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,则实数a的取值范围为　　　　.
题组三　对数(型)函数的图象
7.(2025宁夏银川期末)已知a>0且a≠1,函数y=,y=logax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是(　　)
　　
　　
8.(2024四川成都期末)当a取4个不同的值时,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图中曲线所示,已知a的值分别为,,,,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的a的值依次是(　　)
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
9.(2025江西南昌期末)若b>a>1,则函数y=loga(x+b)的图象不经过第　　　　象限.
题组四　对数函数的单调性及其应用
10.已知a=log23-1,=5,c=log32,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c11.(易错题)(2024广东中山期末)函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间是　　　　.
12.(2025甘肃天水甘谷第六中学质量检测)已知函数f(x)=loga(x2-2ax)(a>0且a≠1).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[3,4]上单调递增,求a的取值范围.
题组五　对数函数的最大(小)值与值域问题
13.(2025广东广雅中学质量检测)函数f(x)=log2(2x)·log2(4x)的值域为(　　)
A.R　　　　B.
C.　　　　D.
14.(2024江西宜春期末)已知x满足≤x≤8.
(1)求log2x的取值范围;
(2)求函数f(x)=log2(2x)·log2的最小值.
15.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的最小值是0,求实数a的值;
(3)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
题组六　反函数
16.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(,a),则a的值为(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.2或　　　　D.3
17.在同一平面直角坐标系中,函数y1=a-x,y2=-logax(其中a>0且a≠1)的图象只可能是(　　)
18.设函数f(x)=的反函数为f -1(x),则f -1(x)的值域为　　　　.
能力提升练
题组一　对数(型)函数的图象及其应用
1.(2025江苏南京金陵中学期末)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数与图象对应正确的为(　　)
2.(2025甘肃兰州第一高级中学期末)已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3,x4满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
题组二　对数函数单调性的应用
3.(2024湖北襄阳五中月考)已知a=log32,b=,c=,则a,b,c的大小关系是　(　　)
A.a4.(2025江苏南通通州高级中学阶段测试)若函数f(x)=loga(2-ax)(a>0,a≠1)在区间(1,3)上单调递增,则a的取值范围是　　　　　.
5.已知函数f(x)=(a>0,a≠1)在定义域内单调递减,若|f(2m)|>f(a),则实数m的取值范围是　　　　.
题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题
6.(2024广东广州期末)函数f(x)=loga(x+1)+loga(1-x)a>0,且a≠1,x∈,若f(x)max-f(x)min=1,则a的值为　　　　.
7.(2025山东日照第一中学月考)已知函数f(x)=log2x·log2(16a·x3).
(1)若a=1,求方程f(x)=-1的解;
(2)若函数f(x)(x∈[2,4])的最小值为-12,求实数a的值.
题组四　对数函数的综合运用
8.(多选题)(2024江苏南京联考)若函数f(x)=lg(x2+2ax-a),则下列说法正确的是(　　)
A.若a=0,则f(x)为偶函数
B.若f(x)的定义域为R,则-1C.若a=1,则f(x)的单调递增区间为(-1,+∞)
D.若f(x)在(-1,0)上单调递减,则a≤0
9.(2024江苏淮安金湖中学期末)若不等式x2-loga(x+1)<2x-1在x∈上恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.
10.(2024江苏苏州期末)已知t为实数,函数f(x)=2loga(2x-t-2),g(x)=logax,其中0(1)若函数φ(x)=g(ax+1)-kx是偶函数,求实数k的值;
(2)当x∈[1,4]时, f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,求t的取值范围;
(3)设t=4,当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],若n-m的最小值为,求实数a的值.
11.(2024四川宜宾第四中学期末)已知函数f(x)=ln为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为ln,ln,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　函数y=lo(-x),y=2log4(1-x)的真数不是自变量x,它们不是对数函数,函数y=ln x是对数函数,函数y=lox的底数含有参数a,而a的值不能保证a2+a是不等于1的正数.
2.B　将(6,3)代入f(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1),得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,∴a=2,
∴f(x)=log2(x+2),∴f(2)=log2(2+2)=2.
3.答案　2
解析　由对数函数的定义可得解得a=2.
4.D　由题意得所以x>且x≠1,
因此f(x)的定义域为∪(1,+∞).
5.C　由a-lg x≥0,得lg x≤a,∴0∵函数f(x)=的定义域为(0,10],
∴10a=10,∴a=1.
6.答案　(1,+∞)
解析　因为y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,
所以x2+2x+a>0恒成立,
所以Δ=4-4a<0,所以a>1.
故实数a的取值范围是(1,+∞).
7.B　当a>1时,y=单调递减,y=logax单调递增,直线y=x+a与y轴交点的纵坐标大于1,A,B,C,D均不满足;
当08.B　解法一:C1,C2对应的底数一定大于1,C3,C4对应的底数一定小于1,故排除C,D;对数函数的底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴;底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴,可得与曲线C1,C2,C3,C4相对应的a的值依次为,,,.
解法二:过点(0,1)作平行于x轴的直线(图略),记其与曲线C1,C2,C3,C4的交点坐标依次为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),易知a1,a2,a3,a4分别为各对数函数的底数,显然a1>a2>a3>a4,所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的a的值依次为,,,.
9.答案　四
解析　函数y=loga(x+b)的定义域为(-b,+∞),
因为a>1,所以函数y=loga(x+b)在区间(-b,+∞)上单调递增,
易知函数y=logax的图象过点(1,0),且在(0,+∞)上单调递增,函数y=logax的图象向左平移b(b>1)个单位长度得到函数y=loga(x+b)的图象,
所以函数y=loga(x+b)的图象不经过第四象限.
10.B　由=5,得b=lo5=-log25,
又a=log23-1=-log23,
所以-log25<-log23<011.答案　(3,+∞)
解析　对于f(x)=log2(x2-4x+3),令x2-4x+3>0,得x<1或x>3.设t=x2-4x+3,则t=(x-2)2-1,易知其在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又y=log2t在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间是(3,+∞).
易错警示　求解由对数函数复合而成的函数的单调区间时,首先要考虑函数的定义域,由单调性与定义域结合求解单调区间.
12.解析　(1)由x2-x>0,解得x<0或x>1,故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
令t=x2-x=-,该函数在上单调递减,在上单调递增,函数y=lot在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,
则该函数在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
①当a>1时,要使f(x)在[3,4]上单调递增,则g(x)在[3,4]上单调递增,
所以所以1②当0综上,a的取值范围为.
13.C　f(x)=log2(2x)·log2(4x)=(1+log2x)(2+log2x),
设log2x=t,则y=(1+t)(2+t)=t2+3t+2=-≥-,故函数f(x)的值域为.
14.解析　(1)由≤x≤8,得-1≤log2x≤3,因此log2x的取值范围是[-1,3].
(2)f(x)=log2(2x)·log2=(log2x+1)(log2x-2)=-,由(1)知log2x∈[-1,3],
∴当log2x=时, f(x)取得最小值,为-.
15.解析　(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,解得a=-1,
∴f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,解得-1∴f(x)的定义域为(-1,3).
令t=-x2+2x+3,易知函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,而y=log4t是定义域上的增函数,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(2)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0,
∴函数y=ax2+2x+3有最小值1,
∴解得a=.
(3)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的值域为R,
∴函数y=ax2+2x+3能够取到(0,+∞)上的所有实数,
则a=0或∴0≤a≤.
16.B　解法一:函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=logax(a>0,且a≠1),
故y=logax的图象过点(,a),则a=loga=.
解法二:∵函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(,a),∴函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(a,),∴aa==,故a=.
17.B　y1=a-x=,y2=-logax=lox,据此可得两函数互为反函数,函数的图象关于直线y=x对称.观察可得,B选项符合题意.
18.答案　(0,2]
解析　因为f(x)=,所以所以x∈(0,2],
根据反函数与原函数的关系可知, f(x)的定义域即为f -1(x)的值域,故f -1(x)的值域为(0,2].
能力提升练
1.D　由题图知,函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(4,-2),所以-2=loga4,即a-2=4,解得a=.
对于A,y=ax=,在定义域上单调递减,故A错误;
对于B,y=|x|a==,当x>0时,y=,
由幂函数的图象可知y=在(0,+∞)上单调递增且图象上凸,故B错误;
对于C,y=loga(-x)=lo(-x),其图象与y=lox的图象关于y轴对称,所以y=lo(-x)的图象在(-∞,0)上单调递增,故C错误;
对于D,由B中分析知D正确.
2.B　不妨设x1y=x2+3x+1的图象的对称轴为直线x=-,则x1+x2=-3,
当x>0时,|ln x3|=ln x4,即-ln x3=ln x4,即ln x3+ln x4=ln(x3x4)=0,得x3x4=1,所以x4=,当|ln x|=1时,x=或x=e,则x3∈,
所以x1+x2+x3+x4=-3+x3+在上单调递减,
当x3=时,x1+x2+x3+x4=-3+e+,当x3=1时,x1+x2+x3+x4=-1,
所以x1+x2+x3+x4的取值范围是.
3.B　∵c==log3=log3>log3=log32=a,∴c>a,
又c==log4=log44.答案　
解析　令t=2-ax,因为a>0,所以t=2-ax在定义域上单调递减,要想f(x)=loga(2-ax)(a>0,a≠1)在x∈(1,3)上单调递增,则y=logat在t∈(1,3)上单调递减,故00,所以2-3a≥0,解得a≤,所以05.答案　(3,+∞)
解析　因为函数f(x)在定义域内单调递减,
所以即
由m≥1得2m≥2,故f(2m)=-2m+2,
由0所以|f(2m)|>f(a) |-2m+2|>m+1,
又m≥1,所以2m-2>m+1,解得m>3,
故m的取值范围是(3,+∞).
6.答案　2或
解析　由题意可得f(x)=loga(1-x2),x∈.
当0由f(x)max-f(x)min=1,可得f-f(0)=1,
即loga-loga(1-0)=1,解得a=.
当a>1时,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(1-x2)在区间上单调递减,
由f(x)max-f(x)min=1,可得f(0)-f=1,
即loga(1-0)-loga=1,解得a=2.
综上所述,a=2或a=.
7.解析　(1)f(x)=log2x·log2(16a·x3)=log2x·(4a+3log2x),
当a=1时, f(x)=log2x·(4+3log2x),
令f(x)=-1,则log2x·(4+3log2x)=-1,整理得3(log2x)2+4log2x+1=0,
解得log2x=-1或log2x=-,则x=或x=.
所以方程f(x)=-1的解为或.
(2)∵x∈[2,4],∴log2x∈[1,2],令t=log2x,t∈[1,2],
则g(t)=t(4a+3t)=3t2+4at,t∈[1,2],易知y=3t2+4at的图象的对称轴为直线t=-,
当-≤1,即a≥-时,g(t)min=g(1)=3+4a=-12,解得a=-,舍去;
当1<-<2,即-3当-≥2,即a≤-3时,g(t)min=g(2)=12+8a=-12,解得a=-3.
综上,实数a的值为-3.
8.ABD　当a=0时, f(x)=lg x2,其定义域是{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,A正确;
当f(x)的定义域为R时,方程x2+2ax-a=0的判别式Δ=4a2+4a<0,解得-1当a=1时, f(x)=lg(x2+2x-1),由x2+2x-1>0得x<-1-或x>-1+,则y=x2+2x-1的图象开口向上,且在(-1+,+∞)上单调递增,又y=lg x在其定义域上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1+,+∞),C错误;
y=lg x在定义域上单调递增,要想f(x)在(-1,0)上单调递减,则y=x2+2ax-a在(-1,0)上单调递减,且当x=0时,y≥0,所以解得a≤0,D正确.
9.答案　
解析　因为x2-loga(x+1)<2x-1在x∈上恒成立,
所以(x-1)2令g(x)=(x-1)2, f(x)=loga(x+1),
若00,显然不合题意;
当a>1时,画出函数f(x)与g(x)的图象,如图所示,
结合图象知,要想满足(x-1)2综上,实数a的取值范围是.
10.解析　(1)φ(x)=g(ax+1)-kx=loga(ax+1)-kx,
因为φ(x)=g(ax+1)-kx是偶函数,所以φ(-x)=φ(x)对任意x∈R恒成立,即loga(a-x+1)+kx=loga(ax+1)-kx对任意x∈R恒成立,
所以2kx=loga(ax+1)-loga(a-x+1)=loga=x,所以k=.
(2)设h(x)=f(x)-g(x)=2loga(2x-t-2)-logax,
因为当x∈[1,4]时, f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,所以h(x)=2loga(2x-t-2)-logax<0在x∈[1,4]上恒成立,
即2loga(2x-t-2)因为0,
即t<2x--2在x∈[1,4]上恒成立,
设F(x)=2x--2=2-,x∈[1,4],
因为函数F(x)在x∈[1,4]上单调递增,
所以当x=1时,F(x)min=-1,所以t<-1,即实数t的取值范围为(-∞,-1).
(3)因为t=4,所以y=|f(x)|=|2loga(2x-6)|,令2x-6>0,得x>3,
又0因为当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],
所以3令|2loga(2x-6)|=2,可得loga(2x-6)=±1,解得x=或x=,
又因为-=>0,
所以->-,
所以n-m的最小值为-=,解得a=.
11.解析　(1)因为函数f(x)=ln为奇函数,
所以f(x)+f(-x)=0, 即ln+ln=ln=ln=0对定义域内任意x恒成立,所以k2=1,即k=±1,
当k=-1时, f(x)=ln(-1)无意义,所以k≠-1,
经验证,k=1符合题意.所以k=1.
(2)f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增.
证明:由(1)知f(x)=ln,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,且(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,
所以0<<1,
所以f(x1)-f(x2)=ln<0,
即f(x1)同理, f(x)在(-∞,-1)上单调递增.
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上单调递增,
又因为α,β∈(1,+∞),函数f(x)在[α,β]上的值域为,
所以m>0,且
所以
即α,β是方程=mx-的两个不等实根,
问题等价于方程mx2-x+1-=0在(1,+∞)上有两个不等实根,
令h(x)=mx2-x+1-,x∈(1,+∞),
易知函数y=mx2-x+1-的图象的对称轴为直线x=-,
则解得021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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