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2027湘教版高中数学必修第一册
4.4　函数与方程
4.4.1　方程的根与函数的零点
基础过关练
题组一　函数的零点
1.(2025甘肃白银会宁四中月考)若函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)
A.,0　　　　B.-2,0　　　　C.　　　　D.0
2.已知函数f(x)的图象是连续的,且f(x)=x2+bx+c,b,c∈R,则“c<0”是“函数f(x)有零点”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为　　　　.
题组二　判断函数的零点所在的区间
4.(2025甘肃天水第一中学月考)函数f(x)=lg x-+1的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(2,3)　　　　D.(3,4)
5.(2025辽宁大连滨城高中联盟期中)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是(　　)
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0)　　　　B.(0,1)　　　　C.(1,2)　　　　D.(2,3)
6.(2025江苏海安高级中学月考)已知函数f(x)=(2m-1)·xm为幂函数,g(x)=ln x+2f(x)-6,则g(x)的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(2,3)　　　　D.(3,4)
题组三　判断函数的零点个数
7.函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数为　　　　.
8.(2025甘肃兰州第七中学月考)函数f(x)=-|log2x|的零点个数为　　　　　.
题组四　根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
9.(2025江西部分学校质量检测)若函数f(x)=|ex-1|+m有两个零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,2)　　　　B.(-1,1)　　　　C.(0,1)　　　　D.(-1,0)
10.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是　　　　.
11.(2025四川大学附属中学月考)已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-(a+1)·f(x)+a=0有五个不同的实数根,则实数a的取值范围为　　　　.
12.(2024山东济南期末)已知函数f(x)=(a-1)x2+2ax-(a∈R).
(1)当a>1时,函数f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点,求实数a的取值范围;
(2)当a≤1时,关于x的方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=(舍去).
综上所述,函数f(x)的零点为0.
2.A　若c<0,则Δ=b2-4c>0,此时函数f(x)有零点,则“c<0” “函数f(x)有零点”;
若c>0,不妨令b=2,c=1,则f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,此时函数f(x)有零点,则“函数f(x)有零点” /“c<0”.故“c<0”是“函数f(x)有零点”的充分不必要条件.
3.答案　1,10
解析　令(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0,∴lg x=0或lg x=1,∴x=1或x=10.
4.C　易知函数f(x)=lg x-+1在(0,+∞)上单调递增,且图象连续不断,
又f(1)=lg 1-3+1=-2<0, f(2)=lg 2-+1=lg 2-<0, f(3)=lg 3-1+1=lg 3>0,
所以函数f(x)的零点所在的区间为(2,3).
5.C　设f(x)=ex-x-2,由题表中的数据得, f(-1)=-0.63<0, f(0)=-1<0, f(1)=-0.28<0, f(2)=3.39>0, f(3)=15.09>0,所以f(1)f(2)<0,
又f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在(1,2)内有零点.
6.C　因为函数f(x)=(2m-1)xm为幂函数,所以2m-1=1,解得m=1,所以f(x)=x,所以g(x)=ln x+2x-6,
易得g(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上单调递增,
因为g(1)=-4<0,g(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,g(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,g(4)=ln 4+2>0,
所以g(x)在(2,3)上有唯一零点.
7.答案　1
解析　解法一:令f(x)=0,可得方程ln x+x2-3=0,即ln x=3-x2,故原函数的零点个数即为函数y=ln x与y=3-x2图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图).
由图可知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,故函数f(x)=ln x+x2-3只有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)f(2)<0,
又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,
∴f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)的零点有且只有一个.
8.答案　2
解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f(x)=0,得=|log2x|,故函数f(x)的零点个数即函数y=与y=|log2x|的图象在(0,+∞)上的交点个数,
作函数y=和y=|log2x|的图象,如图,
由图可知,两函数图象在(0,+∞)上有2个交点,故函数f(x)在(0,+∞)上有2个零点.
9.D　函数f(x)=|ex-1|+m有两个零点,即函数y=|ex-1|与y=-m的图象有两个交点,
作出y=|ex-1|与y=-m的大致图象如图所示,
由图可知0<-m<1,即-1故实数m的取值范围是(-1,0).
10.答案　(0,1)
解析　作出函数f(x)的图象和直线y=k,如图所示.
由图可知,当k∈(0,1)时,函数f(x)的图象和直线y=k有三个交点,所以k∈(0,1).
11.答案　(0,1)
解析　由[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0可得f(x)=a或f(x)=1,
当x≤0时, f(x)=|2x-1|=1-2x∈[0,1);
当0作出函数f(x)的图象与直线y=1,如图所示:
由图可知,直线y=1与曲线y=f(x)有2个交点,即方程f(x)=1只有2个解,
所以方程f(x)=a有3个不同的解,即直线y=a与曲线y=f(x)有3个交点,则012.解析　(1)当a>1时, f(x)=(a-1)x2+2ax-为二次函数,其图象开口向上,且f(0)=-<0,
要想f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点,只需f(2)>0,即4(a-1)+4a->0,解得a>,
又因为a>1,所以实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)当a=1时, f(x)=2x-,为一次函数,
令2x-=0,解得x=∈(0,2),满足题意.
当a<1时, f(x)=(a-1)x2+2ax-为二次函数,其图象开口向下,且f(0)=-<0,
令Δ=4a2-4(a-1)×=0,解得a=-1或a=.
当a=-1时, f(x)=-2x2-2x-,令-2x2-2x-=0,解得x1=x2=- (0,2),舍去.
当a=时, f(x)=-x2+x-,令-x2+x-=0,解得x1=x2=1∈(0,2),满足要求.
当即a<-1或要想方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根,只需f(2)≥0,由(1)得a≥,所以≤a<1.
综上,实数a的取值范围是∪.
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