资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2027湘教版高中数学必修第一册
4.4.2　计算函数零点的二分法
基础过关练
题组一　二分法的概念与对二分法求函数零点步骤的理解
1.(2024江西景德镇一中月考)以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　)
2.(2025辽宁大连期末)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A.(0,0.5), f(0.125)
B.(0,0.5), f(0.375)
C.(0.5,1), f(0.75)
D.(0,0.5), f(0.25)
3.(2024湖南长沙期末)设f(x)=2x+x-8,用二分法求方程2x+x-8=0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分法后,可确定近似解所在的区间为(　　)
A.[1,2]或[2,3]都可以
B.[2,3]
C.[1,2]
D.不能确定
4.(2025辽宁沈阳实验中学期中)下列函数中,不能用二分法求零点的是(　　)
A.f(x)=2x　　　　B.f(x)=x2+2x+2
C.f(x)=x+-4　　　　D.f(x)=2x-3
5.(2025江苏扬州中学月考)若在用二分法寻找函数y=2x-(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于(　　)
A.,　　　　B.2,3　　　　C.,2　　　　D.,
题组二　二分法的应用
6.(2024浙江温州期末)设h(x)=2x+log2(x+1)-2,某同学用二分法求方程h(x)=0的近似解(误差不超过0.5),部分数据如下:
x -0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) -2.29 -0.74 -0.12 0.49 3.58
依据此表格中的数据,得到的方程近似解x0可能是(　　)
A.-0.125　　　　B.0.375　　　　
C.0.525　　　　D.1.5
7.为防范境外病例输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查……依此类推,最终从这32人中认定那名感染者至少需要经过检测的次数为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
8.求方程lg x=-1的近似解(误差不超过0.1).
9.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,求证a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.
10.已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明f(x)有且只有一个零点;
(2)求f(x)的零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　
2.D　由f(0)<0, f(0.5)>0,得f(0)f(0.5)<0,
因此其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
3.B　因为f(1)=2+1-8=-5<0, f(5)=32+5-8=29>0, f(3)=8+3-8=3>0,所以f(1)·f(3)<0,
因此函数f(x)的零点落在区间[1,3]内,
又因为f(2)=4+2-8=-2<0,所以f(2)·f(3)<0,
因此函数f(x)的零点落在区间[2,3]内,
即经过两次二分法后,可确定近似解所在区间为[2,3].
4.B　对于A,易知函数f(x)=2x在R上单调递增,且有唯一零点x=0,所以函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于B, f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,故函数有唯一零点x=-,且函数值在零点两侧同号,故不能用二分法求零点;
对于C,当x<0时, f(x)=x+-4=--4≤-2-4=-6,当且仅当x=-1时,等号成立,无零点;
当x>0时, f(x)=x+-4≥2-4=-2,当且仅当x=1时,等号成立,
故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时f(x)有两个零点x=2±,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于D,函数f(x)=2x-3在R上单调递增,有唯一零点x=log23,
所以函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点.
5.A　∵依次确定了零点所在区间为[a,b],,,
∴解得
6.C　由题表中数据可知,h(0.437 5)<0,h(0.75)>0,
又因为函数h(x)在[0.437 5,0.75]上连续,且函数h(x)在(-1,+∞)上单调递增,
所以函数h(x)在区间[0.437 5,0.75]上存在一个零点,
又因为-0.437 5=0.156 25,0.156 25<0.5,
所以方程h(x)=0的近似解可以是区间[0.437 5,0.75]内的任意一个数,
观察四个选项可知C正确.
7.C　第1次检验:32人分两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第2次检验:留下的16人分两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第3次检验:留下的8人分两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第4次检验:留下的4人分两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第5次检验:留下的2人分两组,每组1人,若第一个人检测结果为阴性,则第二个人感染,若第一个人检测结果为阳性,则第二个人没有感染.
综上,最终从这32人中认定那名感染者至少需要经过5次检测.
8.解析　作出y=-1与y=lg x的图象,如图所示.
由函数y=lg x与y=-1的图象可知,方程lg x=-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x-+1, f(1)=>0,用计算器计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数 近似值 区间长度
(0,1) 0.5 -0.008 1 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125
由于|0.562 5-0.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的一个近似值为0.562 5,即方程lg x=-1的近似解为0.562 5.
9.证明　∵f(1)=3a+2b+c>0,∴3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)=c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点值,则f =a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0, f(1)>0,∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴f(x)=0在[0,1]内有两个实数根.
10.解析　(1)证明:f(x)=ln x+2x-6的定义域为(0,+∞),任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,x1-x2>0,
∴f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),故f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)至多有一个零点.
又f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3>0,∴f(2)f(3)<0,
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)有且只有一个零点.
(2)设函数f(x)=ln x+2x-6的一个零点为x0,
由(1)知f(2)<0, f(3)>0,
取(2,3)的中点值,则f =ln-1<0,
∴f f(3)<0,故x0∈.
取的中点值,则f =ln->0,
∴f f <0,∴x0∈,
又=≤,∴满足题意的区间可为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑