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2027湘教版高中数学必修第一册
4.5　函数模型及其应用
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
基础过关练
题组　不同函数增长的差异
1.(2025陕西汉中汉台第二中学月考)下列函数中,当x充分大时,增长速度最快的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2 024x　　　　B.y=x2 024
C.y=log2 024x　　　　D.y=2 024x
2.已知三个变量y1,y2,y3随变量x的变化数据如下表:
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)
A.y1=x2,y2=2x,y3=log2x
B.y1=2x,y2=x2,y3=log2x
C.y1=log2x,y2=x2,y3=2x
D.y1=2x,y2=log2x,y3=x2
3.(多选题)(2025辽宁盘锦辽河油田第一高级中学月考)函数f(x)=2x,g(x)=lox,h(x)=x-1,在区间(0,+∞)上(　　)
A.f(x)的递增速度越来越快
B.g(x)的递减速度越来越慢
C.h(x)的递减速度越来越慢
D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度
4.(多选题)(2025河南信阳期末)下列说法正确的是(　　)
A.函数y=lox的递减速度越来越慢
B.在指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快
C.不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100
D.当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)内,对任意的x,总有logax5.函数y=x2与函数y=xln x在区间(1,+∞)上增长速度较快的是　　　　.
6.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当01时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号为　　　　.
7.函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数的图象,比较f(3),g(3), f(2 019),g(2 019)的大小.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　四个函数都在定义域上单调递增,而x充分大时,指数函数呈爆炸式增长.故y=2 024x的增长速度最快.
2.B　从题表可以看出,三个变量y1,y2,y3都随x的增大而增大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长呈指数函数型变化,变量y2的增长呈幂函数型变化,变量y3的增长呈对数函数型变化.
3.ABC　作出三个函数在(0,+∞)上的图象,如图,
结合指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知,在区间(0,+∞)上, f(x)的递增速度越来越快,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度快于h(x)的递减速度.
4.AB　对于A,由对数函数的性质知,函数y=lox的递减速度越来越慢,故A正确;
对于B,由指数函数的性质知,指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快,故B正确;
对于C,由指数函数的性质知,随x的增大,y=1.1x的增长速度越来越快,远远超过幂函数y=x100的增长速度,因此一定存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100,故C不正确;
对于D,取a=2,k=4,由图知,在区间(0,+∞)内,对任意的x,logax5.答案　y=x2
解析　因为对数函数y=ln x在区间(1,+∞)上的增长速度慢于一次函数y=x的增长速度,所以函数y=x2比函数y=xln x在区间(1,+∞)上的增长速度快.
6.答案　③④⑤
解析　四个函数的大致图象如图所示,四个图象均过点(1,1),根据图象易知,③④⑤正确.
7.解析　(1)C1对应的函数为g(x)=3x,
C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(3)=8,g(3)=9,∴f(3)又f(4)=16,g(4)=12,∴f(4)>g(4),∴3从题图可以看出,当x>x2时, f(x)>g(x),
∴f(2 019)>g(2 019).
又g(x)为增函数,∴g(2 019)>g(3),
∴f(2 019)>g(2 019)>g(3)>f(3).
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