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2027湘教版高中数学必修第一册
4.5.2　形形色色的函数模型
基础过关练
题组一　一次函数模型和二次函数模型
1.(2025北京师范大学附属中学期中)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,要求每箱售价不得低于50元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天售出90箱,价格每提高1元,平均每天少售出3箱.要获得最大利润,每箱苹果的售价应定为(　　)
A.55元　　　　B.60元　　　　C.65元　　　　D.70元
2.小李大学毕业后选择自主创业,开发了一种新型电子产品.2024年9月1日投入市场销售,在9月份的30天内,前20天每件的售价P(元)与时间x(天,x∈N+)满足一次函数关系,其中第1天每件的售价为63元,第10天每件的售价为90元,后10天每件的售价均为120元.已知日销售量Q(件)与时间x(天)之间的函数关系是Q=-x+50(x∈N+).
(1)写出该电子产品9月份每件的售价P(元)与时间x(天)的函数关系式;
(2)请问9月份哪一天的日销售金额最大 并求出最大日销售金额(日销售金额=每件的售价×日销售量).
题组二　幂函数模型
3.(2025福建泉州安溪期中)某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(千万元)与投入资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y2=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y1,y2与投入资金x的函数关系式;
(2)如果公司只生产一种芯片,那么生产哪种芯片的毛收入更大
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,求分别对A,B两种芯片投入多少资金时,可以获得最大净利润,并求出最大净利润.(净利润=A芯片的毛收入+B芯片的毛收入-研发耗费资金)
题组三　指数函数模型和对数函数模型
4.(2024广东广州期末)在当今这个5G时代,6G的研究方兴未艾.有消息称,未来6G通讯的速率有望达到1 Tbps,香农公式C=Wlog2是通信理论中的重要公式,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫作信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比从3提升到99,则最大信息传递率C大约会提升到原来的(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.2.3倍　　　　B.3.3倍　　　　
C.4.6倍　　　　D.6.6倍
5.(多选题)(2025浙江诸暨中学期中)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192 h,在22 ℃时的保鲜时间是48 h,则下列说法正确的是(　　)
A.k>0
B.储存的温度越高,该食品的保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃时的保鲜时间是96 h
D.该食品在33 ℃时的保鲜时间是24 h
题组四　函数模型的拟合
6.(2025四川绵阳南山中学月考)学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,需要制订一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y(单位:分)与当天锻炼时间x(单位:分钟,0≤x≤60)的函数关系式,要求如下:
(i)函数的图象接近图示;
(ii)每天锻炼时间为0分钟时,当天得分为0分;
(iii)每天锻炼时间为9分钟时,当天得分为6分;
(iv)每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型可供选择:
①y=k+b(k>0);
②y=k·1.01x+b(k>0);
③y=3log3(kx+3)+m(k>0).
(1)请根据函数图象及题设条件,从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式;
(2)若学校要求每名学生每天的得分不少于9分,则每天至少锻炼多少分钟
(参考数据:log3163≈4.63,≈3.87)
能力提升练
题组一　利用函数模型解决实际问题
1.(2025重庆西南大学附属中学检测)教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,允许教室内空气中二氧化碳的最高浓度为0.15%,经测定,刚下课时,教室内空气中含有0.25%的二氧化碳,若开窗通风后教室内空气中的二氧化碳浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位:分钟)的最小整数值为(　　)
(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.098)
A.6　　　　B.7　　　　C.10　　　　D.11
2.(2025云南昭通第一中学月考)2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空,成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式v=v0·ln 可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为2 000 m/s.
(1)当总质比为9时,甲型火箭的最大速度为　　　　m/s;
(2)若经过材料更新和技术改进后,甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍,总质比变为原来的.若要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为　　　　.
(所有结果保留整数,参考数据:ln 3≈1.1,e≈2.72)
3.(2024湖北武汉期末)2023年10月17日,雅万高铁正式开通运营,标志着印度尼西亚迈入高铁时代,中国和印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表:
型号 年固定 成本/ 百万元 每节车厢 成本/ 百万元 每节车厢 售价/ 百万元 每年最多 生产的车厢 节数
传统型 20 m 10 200
智能型 40 8 18 120
已知2≤m≤8(m∈R),每销售n节智能型车厢时,需上交0.1n2百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完.
(1)设该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润分别为y1百万元、y2百万元,分别求出y1、y2与每年生产的车厢节数x之间的函数关系式;
(2)①分别求出生产两种型号车厢的最大年平均利润;
②要使生产两种型号车厢的年平均利润最大,该厂应该选择生产哪种型号车厢
题组二　建立拟合函数模型解决实际问题
4.(2025福建厦门月考)生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w(单位:吨)进行监测.第一次监测时的总量为w0(单位:吨),此时开始计时,时间用t(单位:月)表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据:
t/月 0 2 8 16
w/吨 2.0 4.0 6.0 7.0
为了研究该生物总量w与时间t的关系,甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达w与t的变化关系:
①w=c+dw0;②w=bloga(t+1)+w0(a>0且a≠1).
(1)请根据表中提供的前2列数据确定第一个函数模型的解析式;
(2)根据后2列数据,选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型,甲发现总量w由w0翻一番时经过了2个月,根据你选择的函数模型,若总量w再翻一番时还需要经过多少个月 (参考数据:lg 3≈0.48,lg 17≈1.23)
5.(2025江西临川二中月考)环保生活,低碳出行,电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,该段国道限速80 km/h(即不超过80 km/h).经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的几组数据:
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时的耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
①M(v)=v3+bv2+cv;②M(v)=1 000+a;③M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v≤80时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆该型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度的关系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何行驶才能使总耗电量最少 最少为多少
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　设每箱苹果的售价为x(x≥50)元,每天获得的利润为y元,
由题意得y=(x-40)[90-(x-50)×3]=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,x≥50,
所以根据二次函数的性质得当x=60时,y取得最大值.
2.解析　(1)设前20天每件的售价P(元)与时间x(天)的函数关系式为P=kx+b(k≠0).
由题意得解得
故该电子产品9月份每件的售价P(元)与时间x(天)的函数关系式为P=
(2)设9月份日销售金额为y元,
则y=
①若1≤x≤20,x∈N+,则y=-3x2+90x+3 000在[1,15]上单调递增,在[15,20]上单调递减,
∴当x=15时,ymax=3 675.
②若21≤x≤30,x∈N+,则y=-120x+6 000单调递减,
∴当x=21时,ymax=3 480.
综上可知,9月份第15天的日销售金额最大,最大为3 675元.
3.解析　(1)由题意可设y1=ax(x>0),由已知得当x=1时,y1=0.25,故a=,即y1=(x>0).
将(1,1),(4,2)代入y2=kxa,
得∴∴y2=(x>0).
(2)令=,得x=16;令>,得x>16;
令<,得0∴当投入资金大于16千万元时,生产A芯片的毛收入更大;当投入资金等于16千万元时,生产A,B两种芯片的毛收入相等;当投入资金小于16千万元时,生产B芯片的毛收入更大.
(3)设净利润为f(x)千万元,对B芯片投入x千万元资金,则对A芯片投入(40-x)千万元资金,故f(x)=+-2=-(-2)2+9,故当=2,即x=4时, f(x)max=9,此时40-x=36,所以分别对A,B两种芯片投入36千万元和4千万元资金时,所获净利润最大,最大净利润为9千万元.
4.B　设信噪比为3的最大信息传递率为C1,信噪比为99的最大信息传递率为C2.依题意得C1=Wlog2(1+3)=2W,C2=Wlog2(1+99)=2Wlog210,因此==log210=≈≈3.3.
5.CD　根据题意,将(0,192),(22,48)分别代入y=ekx+b,得所以e22k==,所以k<0,
故储存的温度越高,该食品的保鲜时间越短.
易得e11k==,故该食品在11 ℃时的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=×192=96(h),该食品在33 ℃时的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(h).
6.解析　(1)若选模型①y=k+b(k>0),则由图象过点(0,0),(9,6),得则所以y=2,
当x=60时,y=4≈15.15>12,不符合题意.
模型②y=k·1.01x+b(k>0)为爆炸增长型函数,不符合题中图示,故选模型③y=3log3(kx+3)+m(k>0).
由题意得解得
所以y=3log3-3,x∈[0,60].
易得函数y=3log3-3在x∈[0,60]上单调递增,经检验,当x=60时,y=3log3163-3≈10.89,符合题意.
(2)由(1)知,y=3log3-3,x∈[0,60].
令3log3-3≥9,即log3≥4,解得x≥29.25,所以若每名学生每天的得分不少于9分,则每天至少锻炼29.25分钟.
能力提升练
1.B　由题意得,当t=0时,y=0.05+λ=0.05+λ=0.25,解得λ=0.2,所以y=0.05+0.2,
令y=0.05+0.2≤0.15,得≤,即ln()≤ln,即-≤-ln 2,故t≥10×ln 2≈10×0.693=6.93,所以t的最小整数值为7.
2.答案　(1)4 400　(2)22
解析　(1)由题得甲型火箭的最大速度v=2 000×ln 9=4 000ln 3≈4 400(m/s).
(2)由题意得,v0=2 000×=3 000(m/s),原甲型火箭的最大速度v=2 000ln (m/s),
材料更新和技术改进后,甲型火箭的最大速度v'=3 000ln (m/s),所以3 000ln ≥2 000ln +1 000,
即ln ≥1+3ln 2,可得≥e1+3ln 2=8e≈22.
3.解析　(1)由题意可得y1=(10-m)x-20,其中0≤x≤200,x∈N,y2=(18-8)x-40-0.1x2=-0.1x2+10x-40,其中0≤x≤120,x∈N.
(2)生产传统型车厢的年平均利润(百万元)为=10-m-,其中0生产智能型车厢的年平均利润(百万元)为=10-,其中0令f(x)==10-m-,其中0g(x)==10-,其中0①易知函数f(x)在(0,200]上单调递增,则f(x)max=f(200)=-m.
由基本不等式可得g(x)=10-≤10-2=6,
当且仅当=,即x=20时,等号成立,
所以生产传统型车厢的最大年平均利润为百万元,生产智能型车厢的最大年平均利润为6百万元.
②f(x)max-g(x)max=-m-6=-m,
当2≤m<3.9时, f(x)max-g(x)max>0,即f(x)max>g(x)max,此时投资传统型车厢可获得最大年平均利润,且最大年平均利润为(9.9-m)百万元;
当m=3.9时, f(x)max-g(x)max=0,即f(x)max=g(x)max,此时投资两种车厢可获得的最大年平均利润一样,且最大年平均利润为6百万元;
当3.94.解析　(1)将(0,2),(2,4)代入w=c+dw0,得解得
∴第一个函数模型的解析式为w=+2.
(2)将(0,2),(2,4)代入w=bloga(t+1)+w0(a>0且a≠1),得解得
∴利用题表中前2列数据确定的第二个函数模型的解析式为w=2log3a·loga(t+1)+2=2log3a·+2=2log3(t+1)+2.
将t=8代入由(1)得的第一个函数模型的解析式得w=+2=6,将t=8代入第二个函数模型的解析式得w=2log39+2=6,
将t=16代入由(1)得的第一个函数模型的解析式得w=+2=4+2≈7.66,
将t=16代入第二个函数模型的解析式得w=2log317+2=+2≈7.13,∴根据题表中后2列数据,得第二个函数模型w=2log3(t+1)+2与监测数据差距较小.
总量翻一番时,w=2w0=4,此时t=2,
若总量再翻一番,则w=8,由8=2log3(t+1)+2,得log3(t+1)=3,∴t=33-1=26,
∵26-2=24,∴总量w再翻一番时还需要经过24个月.
5.解析　(1)对于③M(v)=300logav+b,当v=0时,无意义,所以不合题意,
对于②M(v)=1 000+a,易得其在定义域上是减函数,这与表格中数据之间的关系矛盾,
故选择①M(v)=v3+bv2+cv.
根据题表,得
解得
所以当0≤v≤80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)设该汽车在国道路段所耗电量为f(v)Wh,在高速路段所耗电量为g(v)Wh.
因为国道路段长为200 km,
所以f(v)=·M(v)=·=5×(v2-80v+6 000)=5×(v-40)2+22 000,
因为0≤v≤80,所以当v=40时, f(v)min=22 000.
因为高速路段长为50 km,
所以g(v)=·N(v)=·(2v2-10v+200)=100×=100×-500,
由对勾函数的性质可知,g(v)在[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=100×-500=7 625.
故当该汽车在国道路段的行驶速度为40 km/h,在高速路段的行驶速度为80 km/h时,该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为22 000+7 625=29 625 Wh.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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