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第12讲 函数与方程 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
B C C C C
6 7 8 9 10
B D B A ACD
11 12 13 14 15
ABD C AB ACD B
16 17 18 19 20
D A C D
21 22 23 24 25
B A A
26 27 28 29 30
见解析 D C B
31 32 33 34 35
D A A
36 37 38 39 40
A B D D
41 42
1.（2025·沧州运东五校·二模）函数的零点所在的区间为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为与均在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
，，
，
又，
函数的零点所在区间是.
【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，利用零点存在性定理，结合函数单调性与端点函数值符号进行判断即可.
2.（2026·泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，，，，
所以，
又因为在上单调递增，
所以函数的零点所在的大致区间为.
【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，利用零点存在性定理，计算区间端点函数值，寻找异号区间即可.
3.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，所以，
因为是方程的一个解，
所以是方程的解，令，
则，当时，恒成立，
所以单调递增，
又，，
所以.
【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，先求导化简方程，构造新函数，利用导数判断单调性，再结合零点存在性定理求解.
4.函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解 (精确度为 0.1) 为（ 　　）
A. 1.5 B. 1.25 C. 1.41 D. 1.44
【答案】C
【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，
因为，，
所以根在内，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为，，
所以根在区间，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为，，
所以根在区间内，
因为满足精确度，
因为，所以根在内，
所以方程的一个近似解为.
【点拨】本题考查二分法求方程的近似解，根据二分法的步骤，结合所给数据，逐步缩小零点所在区间，直至区间长度满足精确度要求即可.
5.利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，
当连续函数满足时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又，，
故，
故方程在区间上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.
【点拨】本题考查二分法求方程近似解的初始区间选择，构造函数，利用零点存在性定理判断零点所在区间即可.
6.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区间的次数最少为（ 　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】根据题意，原来区间的长度等于 1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，若，即.
【点拨】本题考查二分法求方程近似解的次数计算，根据二分法原理，每次操作区间长度减半，建立不等式求解即可.
7.牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ 　　）
A. 0.333 B. 0.335 C. 0.345 D. 0.347
【答案】D
【解析】令，则，
令，即，可得，
迭代关系为 ，
取，则，.
【点拨】本题考查利用牛顿迭代法求方程的近似解，理解题意，写出迭代关系式，代入初始值进行计算即可.
8.（2026·佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
可知函数在，内单调递增，在内单调递减，
当时，函数取到极大值 2；当时，函数取到极小值；
且当趋近于时，函数趋近于；当趋近于时，函数趋近于；
对于选项 A：分别作出曲线和曲线的图象，
由图象可知：曲线与曲线有 3 个交点；
对于选项 B：曲线，
用替换可得，即，方程不变，曲线关于 y 轴对称；
用替换可得，即，方程不变，曲线关于 x 轴对称；
且当且时，曲线即为，
据此可得曲线和曲线的图象，如图所示：
由图象可知：曲线与曲线有 6 个交点；
对于选项 C：曲线即为，
由图象可知：曲线与曲线有 4 个交点；
对于选项 D：曲线即为，
由图象可知：曲线与曲线有 5 个交点；
综上所述：与曲线交点个数最多的是.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及数形结合思想判断曲线交点个数，先利用导数画出的草图，再分别画出各选项曲线的图象，观察交点个数即可.
9.（2025·衡水中学·一模）函数与函数的图象交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，
由图象可知，函数与函数的图象交点个数为 3.
【点拨】本题考查函数图象的交点个数问题，利用数形结合思想，在同一坐标系中画出两函数的图象，观察交点个数即可.
10.（2024·华南师大附中·三模）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意知，，即，
所以，即，
又，
设，易知在上单调递增，
且，，所以，即，故 A 错误；
因为，，
所以，所以，
所以，故 B 正确；
因为，，
所以，故 C 正确；
，
因为，所以，
即，由于无法判断是否大于 1，故 D 错误.
【点拨】本题考查函数零点的性质及应用，利用函数的单调性与零点存在性定理，结合方程的思想进行转化推导.
11.（2026·黄冈·调研）（多选）若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ 　　）
A. B. C. 成等比数列 D.
【答案】ABD
【解析】对于 A，求导得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故；
对于，函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故.
对于 A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故 A 正确；
对于 B，结合图象可知，，，
结合函数的单调性可知，，即，故 B 正确；
同理可得，由知不可能构成等比数列，故 C 错误；
由前面分析可知，故 D 正确.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及数形结合思想判断曲线交点个数，构造函数，利用导数求出单调区间和极值，画出图象，结合图象和方程的思想进行求解.
12.（2026·山东九五协作体·一模）已知为两两不相等的正数，设函数，则（ 　　）
A. 没有零点 B. 有唯一零点 C. 至多有一个零点 D. 至少有一个零点
【答案】C
【解析】，
令，
若均大于，则在 R 上单调递增，且，，
此时至多有一个解；
若均小于，则在 R 上单调递减，且，，
此时至多有一个解；
若中一个大于，一个小于，不妨设，
则，
令，得，
因为，所以，
所以方程有唯一解，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取得极小值，也是最小值，
若，则无解；
若，则有唯一解；
若，由于，且当时，，
此时有两个解；
综上，可能没有零点，也可能有一个或两个零点，
故选 C.
【点拨】本题考查函数零点个数的判断，将方程变形，构造新函数，分类讨论参数的大小关系，利用导数研究函数的单调性与极值，从而判断零点个数.
13.（2026·孝感·二模）（多选）已知函数的定义域是，满足，且，若存在实数，使函数在区间上恰好有 2026 个零点，则实数的值可能为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】由题意，在上的图象有 2 个“波谷”点和，1 个“波峰”点。
因为，所以在上的图象可由上的图象向上平移个单位得到。
要使函数在区间上恰好有 2026 个零点，即方程在上恰好有 2026 个解。
因为，所以区间包含 506 个区间（），以及。
在每个区间内，方程最多有 4 个解，在内最多有 2 个解。
要使总解数为 2026，必须在每个内有 4 个解，且在内有 2 个解。
因此，直线必须介于所有的“波谷”和“波峰”之间，即要求“最高波谷”“最低波峰”。
(1) 当时，取即可满足条件，显然成立；
(2) 若，图象整体呈上升趋势，“最高波谷”为，“最低波峰”为。
则需满足，即，解得；
(3) 若，图象整体呈下降趋势，“最高波谷”为，“最低波峰”为。
则需满足，即，解得；
综上所述，实数的取值范围是。
对照选项，A、B 符合题意。
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及函数零点个数问题，利用函数的递推关系与平移变换，结合数形结合思想，抓住“最高波谷”与“最低波峰”的临界条件进行分析求解。
14.（2026·菏泽·一模）（多选）函数图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（ 　　）
A.
B. 若，则
C. 若有三个零点，则
D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或
【答案】ACD
【解析】对于 A，，，
所以，故 A 正确；
对于 B，易知在上单调递增，
由，得，解得，故 B 错误；
对于 C，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根，
等价于函数的图象与直线有三个交点，
又直线恒过定点，如图，
当直线位于与之间（不包括两条直线）时满足条件，
当直线位于时，；
当直线位于时，联立与，消去整理得，
由相切，得，解得，又，则，
由图可知，故 C 正确；
对于 D，由上图得函数的值域为，
而的图象是由的图象向右平移 2026 个单位得到，
故的值域为，
将条件转化为关于的方程存在实数解，
所以，解得或，故 D 正确.
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，函数零点个数问题，以及方程有解问题，利用数形结合思想，将零点问题转化为图象交点问题，结合导数或判别式求解.
15.函数在区间存在零点．则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，先判断函数的单调性，再利用端点函数值异号列不等式组求解.
16.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】和在上是增函数，
在上是增函数，
只需即可，即，解得.
【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，判断函数的单调性是关键，然后利用端点函数值异号求解.
17.已知函数是 R 上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是奇函数，，，，易知在 R 上是增函数，
有唯一零点 0，
函数的零点在区间内，在上有解，，
.
【点拨】本题考查奇函数的性质及函数零点问题，先利用奇函数性质求出参数，再利用单调性确定零点，最后根据零点所在区间求出参数范围.
18.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
令，则，
当或时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取得极大值，也是最大值，，
又当时，；当时，，
且，
画出的大致图象，
要使有且只有一个零点，即直线与的图象只有一个交点，
结合图象可知，或，
所以实数的取值范围为.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，采用分离参数法，构造新函数，利用导数求出单调区间和极值，画出图象，数形结合求解.
19.（2025·保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（ 　　）
A. 3 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】令得，
当时，，则，令，
所以当时，，为增函数；当时，，为减函数，
所以函数在处取得极大值，且，当时，；
当时，，
则，则时，，为减函数，
当时，；
综上，与函数图象有三个交点时，即函数有且只有三个零点时.
所以的取值可以是.
【点拨】本题考查函数零点个数问题，采用分离参数法，将问题转化为直线与函数图象交点个数问题，利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象求解.
20.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为，所以
当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意；
当时，由，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
又因为，，
所以，存在一个正数零点，所以不符合题意；
当时，令，解得或，且有，
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
又因为，，
所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点，
则满足，解得或，又因为，所以，
综上，的取值范围是．
【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，分类讨论参数的符号，利用导数求出单调区间和极值，结合零点存在性定理进行判断.
21.若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】原方程化简得:有解, 令,, 当时,, 所以在单调递减, 当时,, 所以在单调递增.. 所以.
【点拨】本题考查方程有解问题，采用分离参数法，转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值即可.
22.（2026·龙岩·检测）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为恰有三个零点，
当时，由得，所以函数在上有一个零点，
所以函数在上有两个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
令，则，解得，
所以实数的取值范围是.
【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为二次方程在指定区间上的根的分布问题，利用二次函数的图象与性质列不等式组求解.
23.（2026·山东师大附中·检测）已知函数，且函数在，内恰有 2025 个零点，则满足条件的有序数对（ 　　）
A. 有且仅有 1 对 B. 有且仅有 2 对 C. 有且仅有 3 对 D. 有无数对
【答案】A
【解析】因为，周期，
当时，，
函数在内恰有 2025 个零点，
即方程在内恰有 2025 个解，
因为 2025 是奇数，且每个周期内正弦函数最多有两个解，
所以个周期内，解的个数为或或，
若解的个数为 2025，则必有或，
解得或，
当时，区间为，，
要使解的个数为 2025，则在最后一个周期内只有 1 个解，
此时，
当时，区间为，，
要使解的个数为 2025，则在最后一个周期内有 3 个解，这不可能，
所以满足条件的有序数对只有 1 对，即.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，以及函数零点个数问题，利用三角函数的周期性与图象，结合数形结合思想进行分析.
24.已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：
由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：
【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为两函数图象的交点问题，画出图象，数形结合求解即可.
25.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当时，令，得，
可知函数在上有一个零点，
则在上有两个零点，故当时，方程有两个不同的根，
故在上有两个不同的根，
即函数在上有两个零点，
当，则，
结合函数的图象可得，解得．
【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为二次方程在指定区间上的根的分布问题，利用二次函数的图象与性质列不等式组求解.
26.（2025·张家口·二模）已知关于 的方程 有两个不等实根，则正数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】方程变形为，
即，
令，则，
若，则，单调递增，最多只有一个零点，不合题意；
若，令，得，
解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
要使方程有两个不等实根，则，
即，
令，则，，
不等式化为，
即，
令，，
利用导数可证在时恒成立，
所以均满足题意.
【点拨】本题考查方程根的个数问题，利用导数研究函数的单调性与极值，结合数形结合思想进行分析求解.
27.（2026·山东九五协作体·一模）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）关于的方程有三个实根，且，求的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1） 当时，，，
，，
所以曲线在处的切线方程为．
（2） 当时，，在单调递增，当时，．
方程①有三个不同的实数解，
且．
若，则，
此时方程①任意三个实数解之和必大于 0，不符合题意：
若，
当时，方程①可整理为②至多两个负数解，
当时，方程①即为③至多一个非负解．
所以方程②有两个不同的实数解，
且，
因为方程③有非负解，
由，可知．
由，得．
方程②变为，
由判别式，并结合，
可知．
经验证，此时为负数，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
【点拨】本题考查导数的几何意义求切线方程，以及函数零点与方程根的综合应用，利用分段函数的解析式，将问题转化为二次方程根的分布问题，结合韦达定理求解.
28.（2026·宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
在和单调递增，其简要图形如下：
设，即方程有三个不同的实数解，
又当时，有两个不同的实数解；时，只有一个实数解，
所以有三个不同的实数解，当且仅当方程有两个不同的实数解，
且，，解得，
时，即，
不妨设，
则，
即，解得
，
又在上单调递增，
时，.
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题转化为内外层函数的交点问题，结合单调性求最值.
29.已知函数，则关于的方程有 7 个不同实数解，则实数满足（ 　　）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】令，作出函数的图象如下图所示：
由于方程至多两个实根，设为和，
由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为 0、2、3、4，
由于关于的方程有 7 个不同实数解，
则关于的二次方程的一根为，则，
则方程的另一根为，
直线与函数图象的交点个数必为 4，则，解得.
所以且.
故选：C.
【点拨】本题考查嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题转化为二次方程根的分布，结合函数图象交点个数进行分析求解.
30.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　）
A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6
【答案】B
【解析】函数关于点对称，是奇函数，时，在上递减，在上递增，
作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是 1，2，3.
或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解，
方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设，
若，则，，和都有两个根，原方程有 4 个根；
若，则，，，，有三个根，有一个根，原方程共有 4 个根；
若，则，，，，有一个根，有三个根，原方程共有 4 个根．
综上原方程有 4 个根．
故选：B.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与图象变换，以及嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题转化为二次方程根的分布，结合函数图象交点个数进行分析求解.
31.（2026·阜阳·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】函数在上单调递增，，在上单调递增，，
当，即时，，且，
当，即，，且，
当，即时，，且，
因此，
在坐标系内作出函数和的图像，关于的方程恰有三个不相等的实数根，则.
所以实数的取值范围是.
【点拨】本题考查分段函数的复合函数零点问题，先求出复合函数的解析式，再画出图象，利用数形结合思想求解.
32.（2026·滁州·一模）已知函数，的零点分别是，则满足（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，分别是，和的函数图象的交点的横坐标，
而和互为反函数，所以其函数图象关于对称，
因为和垂直，所以两个交点也关于对称，
联立、，得，故.
【点拨】本题考查反函数的图象特征及函数零点的对称性应用，将零点问题转化为图象交点问题，利用对称性求解.
33.（2025·河南青桐鸣·联考）已知函数的定义域均为 R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为为偶函数，所以，即关于对称；
因为为奇函数，所以，即关于对称；
所以的周期，
因为的最小值为，所以，解得（），
所以，对称轴为，
因为关于对称，周期为 4，所以关于对称，
所以关于对称，
因为有两个零点，所以，即.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，以及函数零点的对称性应用，利用条件推导出两函数的公共对称轴，结合对称性求解.
34.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
先作图象，由图象可得，，.
因此为单调递减函数，
，
从而.
故选：A
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性与对数函数的性质求出根的关系，再求代数式的范围.
35.已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时的取值范围为.
故选：A
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性与对数函数的性质求出根的关系，再求代数式的范围.
36.已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出分段函数的图像如图：
令互不相等的实数，，满足，，
则，，，
则，
又，
．
故选：A．
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合指数函数的性质求出根的关系，再求代数式的范围.
37.设函数
①若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
②若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
④方程的不同实根的个数只能是 1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】对于①：作出的图像如下：
若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，
则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，
所以，，所以，所以，
所以，故①正确；
对于②：由上可知，，，且，
所以，
所以，，
所以，
所以，故②错误；
对于③：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，
因为恒过坐标原点，当时，有 3 个交点，当时最多 2 个交点，所以，
当与相切时，设切点为，
即，所以，解得，所以，所以，
所以当与相切时，即时，此时有 4 个交点，
若有 4 个实数根，即有 4 个交点，
当时由图可知只有 3 个交点，当时，
令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，
所以当时，函数取得极大值即最大值，，
又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有 5 个实数根，故③错误；
对于④：，
所以，
所以或，
由图可知，当时，的交点个数为 2，
当时，的交点个数为 3，
当时，的交点个数为 4，
当时，的交点个数为 1，
所以若时，则，交点的个数为个，
若时，则，交点的个数为 3 个，
若，则，交点有个，
若且时，则且，交点有个，
若，交点有 1 个，
综上所述，交点可能有 1，2，3，6 个，即方程不同实数根 1，2，3，6，故④正确；
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性与对数函数的性质求出根的关系，再综合分析各个命题的真假.
38.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ 　　）
A. B. 0 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】因为是函数的一个零点，则，于是，即，
而函数是奇函数，则有，
所以.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与零点，利用奇函数性质求出对应函数值即可.
39.已知函数有唯一零点，则实数（ 　　）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】设，定义域为 R，
，
故函数为偶函数，则函数的图象关于 y 轴对称，
故函数的图象关于直线对称，
有唯一零点，
，即.
【点拨】本题考查函数图象的对称性与零点，构造偶函数，利用对称性确定唯一零点的位置，代入求解即可.
40.已知实数满足，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由，即，
即，
令，则，
即，
由，
设函数，显然该函数为增函数，
又，，
所以函数在上有唯一的零点，
因此，即，
所以，
即，
所以.
【点拨】本题考查函数零点的唯一性及方程的求解，利用函数的单调性说明方程解的唯一性，通过构造相同结构的方程来寻找变量之间的关系.
41.（2026·唐山·一模）已知，若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意可得：，
当时，可得，即，解得或（舍去）；
当时，可得，即，方程无解；
综上所述：.
【点拨】本题考查分段函数的求值，去绝对值转化为分段函数，分类讨论求解方程即可.
42.（2026·宜春十校·联考）设数列的前 n 项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，
为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标一定是 0，（否则公共点成对出现），
即，
取得，所以，
当时得到，
，即，
数列为首项为 1，公比为 2 的等比数列，
.
【点拨】本题考查函数零点与偶函数性质的综合应用，利用偶函数的唯一零点必为 0，求出数列的递推关系，进而求出通项公式.
第 2 页，共 17 页第12讲 函数与方程 · 分类练习
考点一：函数的零点与二分法
考法1：函数的零点定义与存在性定理
1.（2025·沧州运东五校·二模）函数的零点所在的区间为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（ 　　）
A. B. C. D.
3.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　）
A. B. C. D.
考法2：求方程的近似解
4.函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解 (精确度为 0.1) 为（ 　　）
A. 1.5 B. 1.25 C. 1.41 D. 1.44
5.利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ 　　）
A. B. C. D.
6.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区间的次数最少为（ 　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ 　　）
A. 0.333 B. 0.335 C. 0.345 D. 0.347
考点二：函数零点与方程根的个数
考法3：利用数形结合判断交点或零点个数
8.（2026·佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　）
A. B. C. D.
9.（2025·衡水中学·一模）函数与函数的图象交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
10.（2024·华南师大附中·三模）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ 　　）
A. B.
C. D.
11.（2026·黄冈·调研）（多选）若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ 　　）
A. B.
C. 成等比数列 D.
考法4：结合导数与单调性判断零点个数
12.（2026·山东九五协作体·一模）已知为两两不相等的正数，设函数，则（ 　　）
A. 没有零点 B. 有唯一零点
C. 至多有一个零点 D. 至少有一个零点
13.（2026·孝感·二模）（多选）已知函数的定义域是，满足，且，若存在实数，使函数在区间上恰好有 2026 个零点，则实数的值可能为（ 　　）
A. B. C. D.
考法5：分析分段函数或特殊方程的零点个数
14.（2026·菏泽·一模）（多选）函数图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（ 　　）
A.
B. 若，则
C. 若有三个零点，则
D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或
考点三：利用零点求参数范围
考法6：结合零点存在性定理与端点效应求参数
15.函数在区间存在零点．则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
16.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
17.已知函数是 R 上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考法7：利用分离参数法与导数求参数范围
18.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
19.（2025·保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（ 　　）
A. 3 B. C. 1 D.
20.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
21.若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
22.（2026·龙岩·检测）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法8：利用分段函数或特殊方程的根求参数范围
23.（2026·山东师大附中·检测）已知函数，且函数在，内恰有 2025 个零点，则满足条件的有序数对（ 　　）
A. 有且仅有 1 对 B. 有且仅有 2 对 C. 有且仅有 3 对 D. 有无数对
24.已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
25.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
26.（2025·张家口·二模）已知关于 的方程 有两个不等实根，则正数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
27.（2026·山东九五协作体·一模）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）关于的方程有三个实根，且，求的取值范围.
考点四：复合函数与嵌套函数的零点
考法9：利用换元法处理嵌套函数零点
28.（2026·宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
29.已知函数，则关于的方程有 7 个不同实数解，则实数满足（ 　　）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
30.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　）
A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6
31.（2026·阜阳·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考点五：零点的综合应用
考法10：结合函数对称性求零点之和
32.（2026·滁州·一模）已知函数，的零点分别是，则满足（ 　　）
A. B. C. D.
33.（2025·河南青桐鸣·联考）已知函数的定义域均为 R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点，则＿＿＿＿＿＿.
考法11：利用等高线模型求零点的和与积
34.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
35.已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
36.已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
37.设函数
①若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
②若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
④方程的不同实根的个数只能是 1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考法12：利用函数性质处理唯一零点问题
38.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ 　　）
A. B. 0 C. 2 D. 4
39.已知函数有唯一零点，则实数（ 　　）
A. 1 B. C. 2 D.
40.已知实数满足，，则＿＿＿＿＿＿.
41.（2026·唐山·一模）已知，若，则＿＿＿＿＿＿.
42.（2026·宜春十校·联考）设数列的前 n 项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式＿＿＿＿＿＿.
第 2 页，共 17 页第12讲 函数与方程 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
一、函数的零点 2
二、方程的根与函数零点的关系 2
三、零点存在性定理 2
四、二分法 2
五、用二分法求函数零点近似值的步骤 2
三、典题精讲 3
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法 3
考点二：判断函数零点或方程根的个数 4
考点三：已知零点个数求参数范围 6
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题 9
考点五：函数零点的综合应用 10
四、高考真题 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 6题 单选题 5分 间接 考察函数最值问题中的方程思想，通过极值点与最值构建方程组，求解超越方程得出参数值
2025 8题 单选题 5分 间接 考察对数方程根的大小比较，需构造指数函数图象，通过交点位置判断根的大小关系
2024 7题 单选题 5分 直接 考察三角函数图象交点个数，将方程根的个数转化为两函数图象的交点个数
近三年全国一卷中，函数与方程思想的考查频次较为稳定，常以单选题形式出现.考查方式既有直接判断图象交点个数，也常作为核心解题工具隐藏在导数或对数综合题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：重点考查函数图象交点个数的判断，以及利用函数图象交点位置分析方程根的大小关系.
命题趋势：常与三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数结合，呈现跨模块交汇考查的趋势.
试题特点：题目灵活性强，对代数变形能力和空间想象（画图）能力要求高，往往需要精准绘制函数草图.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数的图象特征，做到能快速、准确地绘制函数草图.
· 强化数形结合思想的训练，遇到方程根的个数或大小比较问题时，优先考虑转化为函数图象交点问题.
· 注意积累三角函数周期性、对称性在图象交点问题中的应用技巧.
二、知识清单
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
【防坑警示】 零点是一个实数，即方程的根，而不是坐标系中的一个点（坐标）.表述为“函数的零点为 ”，严禁表述为“函数的零点为 ”.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ， 也就是方程 的根.
【易错提醒】 函数在区间 上连续且 是函数在 内有零点的充分不必要条件.若函数在区间内有零点，不一定有 （例如图像与 轴相切或有偶数个零点的情况）.
四、二分法
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
· （1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
· （2）求区间 的中点 .
· （3）计算 .若 ，则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点 ）.若 ，则令 （此时零点 ）.
· （4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）-（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
三、典题精讲
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法
考法1：利用零点存在性定理判断零点所在区间
例1.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】观察方程形式，直接代入函数解析式及其导数，化简得到一个新的超越方程.面对超越方程求解的区间，可构造新函数，利用导数探究其单调性，再结合零点存在性定理，分别计算各区间端点的函数值符号，寻找异号区间即可锁定答案.
【解析】，所以 .
因为 是方程的一个解，
所以 是方程的解，令，
则，当时，恒成立，
所以 单调递增.
又，，
所以 .
考法2：二分法求方程的近似解
例2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，)
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】根据二分法的核心原理，零点必定存在于函数值异号的区间内.结合题目提供的参考数据，计算区间端点的函数值，逐步缩小异号区间的范围，最后取该区间的中点作为满足精确度要求的近似解.
【解析】由题意可知：，.又因为函数在 上连续，所以函数在区间 上有零点，约为 .
【考点一 方法总结】
· 判断函数零点所在区间时，先将方程转化为函数零点问题，构造函数并求导确定单调性，再选取合适的整数或特殊值代入，利用零点存在性定理寻找函数值异号的区间端点.
· 利用零点存在性定理时需注意：若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点；函数通过零点时函数值不一定变号；在闭区间上有零点，不一定能推出端点函数值异号.
· 使用二分法求近似解时，核心在于“不断取中点，判断异号区间”.每次计算中点函数值后，保留与中点函数值异号的端点，舍弃同号端点，直到区间长度小于精确度要求，此时区间内任意一点（通常取中点）均可作为近似解.
考点二：判断函数零点或方程根的个数
考法1：数形结合判断交点个数
例3.（2026·广东佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】面对多个不同类型的曲线交点问题，纯代数求解会非常繁琐.可以借助导数工具，先精确描绘出已知三次函数的图象走势（包括极值点、单调性等），然后分别分析四个选项中曲线的几何特征（如对称性、特殊点），在同一坐标系中画出草图，通过数形结合直观清点交点个数.
【解析】因为 的定义域为 ，且 .
令 ，解得 或 ；令 ，解得 .
可知函数 在 ， 内单调递增，在 内单调递减.
当 时，函数 取到极大值 2；当 时，函数 取到极小值 .
且当 时，函数 ；当 时，函数 .
对于选项 A：分别作出曲线 和曲线 的图象，
由图象可知：曲线 与曲线 有 3 个交点.
对于选项 B：曲线 ，
用 替换 可得 ，即 ，方程不变，曲线 关于 y 轴对称；
用 替换 可得 ，即 ，方程不变，曲线 关于 x 轴对称；
且当 且 时，曲线 即为 .
据此可得曲线 和曲线 的图象，如图所示：
由图象可知：曲线 与曲线 有 6 个交点.
对于选项 C：曲线 即为 ，
由图象可知：曲线 与曲线 有 4 个交点.
对于选项 D：曲线 即为 ，
由图象可知：曲线 与曲线 有 5 个交点.
综上，与曲线 交点个数最多的是 .
考法2：利用函数的性质与导数判断零点个数
例4.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】根据新函数的定义式，先探究其奇偶性，发现具有奇偶性后，可将研究范围缩小至一半区间（如大于零的部分）.在大于零的区间上，写出函数的具体解析式，利用导数分析其单调性与极值，结合零点存在性定理确定该区间的零点个数，最后利用对称性得出总零点个数.
【解析】当 时，，；当 时，，.
所以 ，，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数.
所以求出 时零点个数即可，，，令 ，解得 .
故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，而 ，故 在 有 个零点，，故 在 上有 个零点.
故 在 上有 个零点，又因为其为奇函数，则其在 上也有 个零点，且 ，故 共 个零点.
【考点二 方法总结】
· 处理曲线交点个数或方程根的个数问题时，首选数形结合法.画图的核心在于找准关键点（极值点、与坐标轴交点）和渐近趋势，对于含有绝对值的方程，可通过对称性快速还原整体图象.
· 对于结构对称的新函数，优先考察其奇偶性.若为奇函数或偶函数，只需研究半个周期的零点分布，再通过对称性翻折即可.
· 利用导数确定函数的单调性与极值点，结合零点存在性定理，是判断各单调区间内零点个数的核心手段.
考点三：已知零点个数求参数范围
考法1：分离参数法求参数范围
例5.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【思路】面对含有参数的函数零点问题，分离参数是首选策略.将方程转化为参数等于一个不含参函数的形式，随后利用导数深入剖析这个新函数的单调性、极值以及趋于无穷时的极限状态，画出其草图，最后通过水平直线与草图的交点个数来锁定参数的范围.
【解析】由，得.
令，则.
当或时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以 在 处取得极大值，也是最大值，.
又当时，；当时，，且.
画出的大致图象，要使有且只有一个零点，即直线与的图象只有一个交点，
结合图象可知，或.
所以实数 的取值范围为 .
考法2：分段函数的零点问题
例6.已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】
【思路】将零点问题转化为分段函数图象与直线交点的问题.由于分段函数在不同区间有不同的解析式，需要分段列出方程.对于每一段，将其转化为熟悉的一元二次方程，利用判别式、对称轴位置及区间端点值等条件，探讨根的分布情况，通过分类讨论参数的正负，综合得出符合总交点数为三个的参数范围.
【解析】当 时，.
因为 恰有三个不同的零点，函数 在 上恰有三个不同的零点，即 有三个解，而 无解，故 .
当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点，
即 ，即 与 的图象有三个交点.
当 时， 与 有交点，
所以 ，即 在 上有根.
令 ，当 时，抛物线开口向下，.此时 ，若 即 ，由两根之和为 ，两根之积为 ，可知方程有两个正根.此时 有两个交点.
而当 时， 与 的交点：
.
因为 ，令 .
（因为 ）.
所以 在 上有且仅有一个根（因为两根之积 ，一正一负）.
所以当 时， 有 2 个交点， 有 1 个交点，共 3 个交点.符合题意.
若 ，，开口向上，两根之积为 ，所以必有一正一负根.
因此 时，必有且仅有 1 个交点.
要使总共有 3 个交点，则 时， 必须有两个非正根.
所以需满足：
解得 .
综上， 的取值范围是 .
考法3：利用同构或换元法求参数范围
例7.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】方程结构复杂，含有指数和一次项.尝试通过代数变形，将方程两边整理成结构相同的形式，从而利用同构思想构造出一个单一的新函数.接着，将原方程解的个数问题转化为该新函数与某常数（或含参表达式）的交点问题，借助导数分析新函数的单调性即可破局.
【解析】方程 可化为 ，两边取对数得 .
令 ，则 ，方程化为 ，即 .
令 ，因为 ，若 显然无两解，故 ，，此时 .
代入得 ，即 .
令 ，则方程化为 .
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，要使方程有两个不相等的实数解，需满足 ，
即 ，解得 .
综上，正实数 的取值范围是 .
【考点三 方法总结】
· 含参方程零点问题首选分离参数法，将动态的零点问题转化为静态的图象交点问题.在绘制新函数图象时，不仅要找准极值点，还必须关注定义域边界及无穷远处的函数极限趋势.
· 处理分段函数的零点问题时，将其拆解到各个子区间内分别讨论.转化为二次方程根的分布问题后，结合判别式、对称轴、区间端点函数值这三大条件构建不等式组即可求解.
· 对于结构复杂的超越方程，尝试通过取对数、指数化等代数变形，将等式两边凑成 的形式（同构法），从而将问题转化为研究函数 的单调性与极值.
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题
考法1：嵌套方程的零点问题
例8.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　）
A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6
【答案】B
【思路】首先利用图象平移和对称性，推导出原函数具有奇偶性，从而补全整个定义域上的函数图象.对于嵌套形式的方程，采用换元法，令内层函数为中间变量，先解外层的一元二次方程，再结合原函数的图象，分析每个中间变量对应的原方程实数解的个数.
【解析】因为函数 关于点 对称，所以 是奇函数， 时， 在 上递减，在 上递增.
作出函数 的图象，如图，由图可知 的解的个数是 1，2，3.
或 时， 有一个解， 时， 有两个解， 时， 有三个解.
方程 中设 ，则方程化为 ，其判别式为 恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设 .
若 ，则 ，， 和 都有两个根，原方程有 4 个根；
若 ，则 ，，所以 ，， 有三个根， 有一个根，原方程共有 4 个根；
若 ，则 ，，所以 ，， 有一个根， 有三个根，原方程共有 4 个根.
综上原方程有 4 个根.
【考点四 方法总结】
· 处理嵌套函数方程 时，基本原则是“由外及内”.先解外层方程求出 的所有可能值，再转化为水平直线与 图象的交点问题.
· 对于二次嵌套方程，常利用韦达定理判断内外层交点的位置关系（如两根之和、两根之积的正负），进而结合内层函数的图象确定总的实数解个数.
考点五：函数零点的综合应用
考法1：利用对称性求零点之和
例9.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】函数解析式中含有绝对值和根号，直接求解零点几乎不可能.观察内部代数式的结构，尝试寻找函数的对称性.一旦确认了对称轴，只需利用导数或复合函数单调性判断函数在对称轴一侧的单调性与值域，确定一侧的零点个数，即可利用对称性直接求出所有零点之和.
【解析】令 ，.
则 .
所以 的图象关于直线 对称.
当 时， 在 上单调递增.
当 时，，则 .
所以 在 上单调递减.
结合 的图象关于直线 对称可得：
在 上单调递增.
又 ，
且当 时，.
所以 有 4 个交点，且关于 对称.
故 有 4 个零点，且关于 对称.
则所有零点的和为 .
考法2：方程多根的代数式求值或范围
例10.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】面对分段函数多根求值域的问题，画出函数的精确草图是破题的关键.设出公共的函数值，利用图象确定各个根所在的具体区间，将各个根用该公共函数值表示出来，代入目标代数式中，即可将多变量问题转化为单一变量的函数求值域问题.
【解析】画出分段函数 的图象，
令互不相等的实数 ，， 满足 ，，
则 ，，，
则 ，
，
所以 .
又 时，，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
【考点五 方法总结】
· 求复杂函数多个零点之和时，往往暗示函数存在对称中心或对称轴.通过代数变形验证 或 ，确定对称性后，零点成对出现，其和即为对称轴横坐标的倍数.
· 处理“”类多根求值域问题，核心是“统一变量”.通过解析式反解出各个 关于 的表达式，再代入所求代数式，结合图象确定的 的取值范围，即可顺利求出目标范围.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】因为函数 的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点.
故选：C.
第 2 页，共 17 页第12讲 函数与方程 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
一、函数的零点 2
二、方程的根与函数零点的关系 2
三、零点存在性定理 2
四、二分法 2
五、用二分法求函数零点近似值的步骤 3
三、典题精练 3
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法 3
考点二：判断函数零点或方程根的个数 4
考点三：已知零点个数求参数范围 4
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题 5
考点五：函数零点的综合应用 5
四、高考真题 6
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 6题 单选题 5分 间接 考察函数最值问题中的方程思想，通过极值点与最值构建方程组，求解超越方程得出参数值
2025 8题 单选题 5分 间接 考察对数方程根的大小比较，需构造指数函数图象，通过交点位置判断根的大小关系
2024 7题 单选题 5分 直接 考察三角函数图象交点个数，将方程根的个数转化为两函数图象的交点个数
近三年全国一卷中，函数与方程思想的考查频次较为稳定，常以单选题形式出现.考查方式既有直接判断图象交点个数，也常作为核心解题工具隐藏在导数或对数综合题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：重点考查函数图象交点个数的判断，以及利用函数图象交点位置分析方程根的大小关系.
命题趋势：常与三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数结合，呈现跨模块交汇考查的趋势.
试题特点：题目灵活性强，对代数变形能力和空间想象（画图）能力要求高，往往需要精准绘制函数草图.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数的图象特征，做到能快速、准确地绘制函数草图.
· 强化数形结合思想的训练，遇到方程根的个数或大小比较问题时，优先考虑转化为函数图象交点问题.
· 注意积累三角函数周期性、对称性在图象交点问题中的应用技巧.
二、知识清单
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
【防坑警示】 零点是一个实数，即方程的根，而不是坐标系中的一个点（坐标）.表述为“函数的零点为 ”，严禁表述为“函数的零点为 ”.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ， 也就是方程 的根.
【易错提醒】 函数在区间 上连续且 是函数在 内有零点的充分不必要条件.若函数在区间内有零点，不一定有 （例如图像与 轴相切或有偶数个零点的情况）.
四、二分法
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
· （1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
· （2）求区间 的中点 .
· （3）计算 .若 ，则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点 ）.若 ，则令 （此时零点 ）.
· （4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）-（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
三、典题精练
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法
考法1：利用零点存在性定理判断零点所在区间
例1.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　）
A. B. C. D.
考法2：二分法求方程的近似解
例2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，)
A. B. C. D.
【考点一 方法总结】
· 判断函数零点所在区间时，先将方程转化为函数零点问题，构造函数并求导确定单调性，再选取合适的整数或特殊值代入，利用零点存在性定理寻找函数值异号的区间端点.
· 利用零点存在性定理时需注意：若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点；函数通过零点时函数值不一定变号；在闭区间上有零点，不一定能推出端点函数值异号.
· 使用二分法求近似解时，核心在于“不断取中点，判断异号区间”.每次计算中点函数值后，保留与中点函数值异号的端点，舍弃同号端点，直到区间长度小于精确度要求，此时区间内任意一点（通常取中点）均可作为近似解.
考点二：判断函数零点或方程根的个数
考法1：数形结合判断交点个数
例3.（2026·广东佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　）
A. B. C. D.
考法2：利用函数的性质与导数判断零点个数
例4.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为
A. B. C. D.
【考点二 方法总结】
· 处理曲线交点个数或方程根的个数问题时，首选数形结合法.画图的核心在于找准关键点（极值点、与坐标轴交点）和渐近趋势，对于含有绝对值的方程，可通过对称性快速还原整体图象.
· 对于结构对称的新函数，优先考察其奇偶性.若为奇函数或偶函数，只需研究半个周期的零点分布，再通过对称性翻折即可.
· 利用导数确定函数的单调性与极值点，结合零点存在性定理，是判断各单调区间内零点个数的核心手段.
考点三：已知零点个数求参数范围
考法1：分离参数法求参数范围
例5.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：分段函数的零点问题
例6.已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围.
考法3：利用同构或换元法求参数范围
例7.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【考点三 方法总结】
· 含参方程零点问题首选分离参数法，将动态的零点问题转化为静态的图象交点问题.在绘制新函数图象时，不仅要找准极值点，还必须关注定义域边界及无穷远处的函数极限趋势.
· 处理分段函数的零点问题时，将其拆解到各个子区间内分别讨论.转化为二次方程根的分布问题后，结合判别式、对称轴、区间端点函数值这三大条件构建不等式组即可求解.
· 对于结构复杂的超越方程，尝试通过取对数、指数化等代数变形，将等式两边凑成 的形式（同构法），从而将问题转化为研究函数 的单调性与极值.
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题
考法1：嵌套方程的零点问题
例8.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　）
A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6
【考点四 方法总结】
· 处理嵌套函数方程 时，基本原则是“由外及内”.先解外层方程求出 的所有可能值，再转化为水平直线与 图象的交点问题.
· 对于二次嵌套方程，常利用韦达定理判断内外层交点的位置关系（如两根之和、两根之积的正负），进而结合内层函数的图象确定总的实数解个数.
考点五：函数零点的综合应用
考法1：利用对称性求零点之和
例9.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿.
考法2：方程多根的代数式求值或范围
例10.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【考点五 方法总结】
· 求复杂函数多个零点之和时，往往暗示函数存在对称中心或对称轴.通过代数变形验证 或 ，确定对称性后，零点成对出现，其和即为对称轴横坐标的倍数.
· 处理“”类多根求值域问题，核心是“统一变量”.通过解析式反解出各个 关于 的表达式，再代入所求代数式，结合图象确定的 的取值范围，即可顺利求出目标范围.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
第 2 页，共 17 页第12讲 函数与方程 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D C B A D
6 7 8 9 10
B A A ACD ACD
11 12 13 14 15
BCD （1） （2）
16 17 18 19
（1） （2）见解析
逐题详解
1.已知函数 是奇函数，且 ，若 是函数 的一个零点，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ 是函数 的一个零点，则 ，于是 ，即 ，而函数 是奇函数，则有 ，∴ .
【点拨】利用函数零点定义得到 ，再结合奇函数性质 实现求值转化.
2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：，，又∵ 函数在 上连续，∴ 函数在区间 上有零点，约为 .
【点拨】二分法求近似解的核心在于寻找区间端点函数值异号的区间，再取区间中点作为近似值.
3.（2025·江西上饶·二模）下列选项中，曲线 与 在 上的交点个数不一样的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，，曲线 与 的交点个数，即方程 解的个数.
对于A，，由 ，得 或 ，当 时，由 ，得 ，方程 有 个解，共 个；
对于B，，由 ，得 或 ，当 时，，共 个；
对于C，，由 ，得 或 ，当 时，方程 有 个解，方程 有 个解，共 个；
对于D，，由 ，得 或 ，当 时，方程 有 个解，方程 有 个解，共 个.所以交点个数不一样的是 .
【点拨】利用三倍角公式（或和差角公式展开）将方程化为关于 的代数方程，再结合正弦函数在给定区间的图象特征确定解的个数.
4.（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 ，若方程 有三个不同根，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，且在 上单调递增，，即 ，方程 ，即 ，于是 ，即 ，令 ，依题意，直线 与函数 的图象有三个不同的交点，求导得 ，当 时，，当 时，，函数 在 ， 上递减，在 上递增，当 时， 取极小值 ；当 时， 取极大值为 ，而当 或 时，恒有 ，观察图象得 ，原方程有三个不同实根，∴ 实数 的取值范围为 .
【点拨】探究给定函数的对称性及单调性，脱去法则“”，构造新函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案.
5.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当 时，，；当 时，，.
∴ ，，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数，∴ 我们求出 时零点个数即可，，，令 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，而 ，故 在 有 个零点，，故 在 上有 个零点.故 在 上有 个零点，又∵ 其为奇函数，则其在 上也有 个零点，且 ，故 共 个零点.
【点拨】利用奇偶性简化问题，只需研究 时的零点分布，通过导数确定单调性与极值，再结合零点存在性定理判断.
6.（2026·山东德州·三模）对于正整数 ，函数 对于实数 ，使得方程 有四个不同实数解的所有正整数 的和为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，要使方程有四个不同的实数解，即直线与函数的图象有四个不同的交点。
先分析时，。
当时，，；
当时，，。
令，得。
若要在区间内产生2个交点，折点必须在轴左侧，即满足，解得。
此时，在上单调递减，在上单调递增。
要使与该部分图象有2个交点，需满足。
再分析时，。
当时，。
令，得。
若要在区间内产生2个交点，折点必须在轴右侧，即满足，解得。
由于为正整数，故。
此时，在上单调递减，在上单调递增。
要使与该部分图象有2个交点，需满足。
综上所述，要使方程有四个不同实数解，必须在和两段各产生2个交点，
即存在实数同时满足和。
这要求两个区间的右端点均严格大于0，即：
，解得。
当时，且，两个以0为左端点的区间交集必然非空，即一定存在满足条件的。
因此，所有满足条件的正整数的取值为2，3，4，5，6，7。
其和为。对应选项B。
【点拨】本题考查分段函数与方程根的个数问题。解题的关键是分别画出两段含有绝对值的函数的大致图象，找出每段产生两个交点时参数的取值范围，再根据交集非空转化为端点值的不等式求解。
7.已知函数 ，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为
A. B. 或 C. 或 D. 或 或
【答案】A
【解析】，∴ 在 和 上单增， 上单减，又当 时，， 时，，故 的图象大致为先从 增至 ，再减至 ，最后增至 .
令 ，则方程 必有两个根， 且 ，不妨设 ，
当 时，恰有 ，此时 有 个根， 有 个根；
当 时必有 ，此时 无根， 有 个根；
当 时必有 ，此时 有 个根， 有 个根.
综上，对任意 ，方程均有 个根.
【点拨】通过换元法将嵌套方程转化为二次方程根的分布问题，再结合原函数的极值与渐近线特征，利用根与系数的关系（特别是两根之积为定值）进行分类讨论，发现不同情况下解的总数保持不变.
8.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出分段函数 的图象，令互不相等的实数 ，， 满足 ，，
则 ，，，
则 ，
，
所以 .
又 时，，
所以 ，
又 ，所以 ，
∴ .
【点拨】画出分段函数的图象，利用数形结合将函数值相等转化为参数 的方程，分别求出各根关于 的表达式，再求和并利用 的范围求值域.
9.（2025·河北承德·一模）已知函数 的零点个数可以为
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】函数 的零点个数等价于方程 的解的个数，即函数 与 的图象交点的个数.
因为 和 都是偶函数，图象关于 轴对称.
当 时，方程为 .
这两个函数互为反函数，图象关于 对称.
交点个数取决于 的取值.当 时，没有交点；当 时，有 1 个交点；当 时，有 2 个交点.
因为图象关于 轴对称，所以总交点个数为 时交点个数的 2 倍.
即总交点个数可以为 0，2，4.
【点拨】将零点问题转化为两个偶函数图象的交点问题，再利用反函数性质及底数 对指数、对数函数交点个数的影响进行判断.
10.（2026·沧州八校·二模）已知函数 在区间 上有两个不同的零点，则
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】当 时，函数 在区间 上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
要使 在 上有两个不同的零点，需满足：
（A正确）；
（C正确）；
，选项B错误；
由 .
由 .
∵ ，且 ，.
∴ .
∴ （D正确）.
【点拨】利用导数分析对勾函数的单调性与极值，结合零点存在性定理列出端点与极值点的不等式组，进而推导各选项的不等关系.
11.（2026·江苏南京·二模）已知函数 则
A. B.
C. 在 上单调递减 D. 有且仅有 个零点
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误.
对于B，，所以 的周期为 2，B正确.
对于C，当 时，，∵ 周期为 2，，∴ 在 上单调递减，C正确.
对于D，当 时，，零点为 ；当 时， 是周期函数，在 上 ，无零点（ 不在区间内），在 上 ，无零点.所以 有且仅有 1 个零点 ，D正确.
【点拨】根据递推关系推导出函数的周期性，结合分段函数的解析式在各个周期内进行分析，是解决此类问题的关键.
12.已知函数 ，若 在区间 上有零点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设 ，，则 ，此时 ，
则 ，
当 时，，
记 ，则 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
故 ，所以 ，
∴ 的最大值为 .
【点拨】将零点条件转化为参数关系，利用配方法将目标代数式转化为关于零点 的函数，再通过导数求最值.
13.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】方程 可化为 ，两边取对数得 .
令 ，则 ，方程化为 ，即 .
令 ，∵ ，若 显然无两解，故 ，，此时 .
代入得 ，即 .
令 ，则方程化为 .
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，要使方程有两个不相等的实数解，需满足 ，
即 ，解得 .
综上，正实数 的取值范围是 .
【点拨】利用换元法和同构思想，将复杂方程转化为 的形式，结合函数 的单调性得出参数需满足的条件.
14.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】令 ，.
则 .
所以 的图象关于直线 对称.
当 时， 在 上单调递增.
当 时，，则 .
∴ 在 上单调递减.
结合 的图象关于直线 对称可得：
在 上单调递增.
又 ，
且当 时，.
所以 有 4 个交点，且关于 对称.
故 有 4 个零点，且关于 对称.
则所有零点的和为 .
【点拨】通过换元或代数变形发现函数的对称性，再利用导数或复合函数单调性确定单调区间，结合极值与端点值判断零点个数，最后利用对称性求和.
15.（13分）（2026·山东九五·一模）已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 关于 的方程 有三个实根 ，，，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 当 时，，， 1 分
，， 3 分
∴ 曲线 在 处的切线方程为 . 4 分
（2） 当 时，，在 单调递增，当 时，.
方程 ① 有三个不同的实数解 ，且 .
若 ，则 ，此时方程①任意三个实数解之和必大于 0，不符合题意； 6 分
若 ，当 时，方程①可整理为 ② 至多两个负数解，
当 时，方程①即为 ③ 至多一个非负解.
∴ 方程②有两个不同的实数解 ，且 ，
∵ 方程③有非负解 ，由 ，可知 . 9 分
由 ，得 .
方程②变为 ，
由判别式 ，并结合 ，
可知 . 12 分
经验证，此时 为负数，符合题意.
综上，实数 的取值范围是 . 13 分
【点拨】处理含绝对值的函数时，先去绝对值转化为分段函数.对于方程根的个数与和的问题，转化为分段区间上的二次方程和一次方程，利用根与系数的关系及判别式求解.
16.（15分）（2026·河南新未来·5月测评）已知函数 .
（1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 当 时，讨论曲线 与 的交点个数.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1） 由题意得 ，. 2 分
故 ，. 3 分
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 4 分
（2） 由题意 等价于 . 5 分
设 .
则 ，记 . 6 分
且 ，则 是偶函数，且 . 7 分
① 当 时，，.
故 ， 在区间 上单调递增，. 9 分
② 当 时，. 10 分
则当 时，.
又∵ 是偶函数，∴ 当 时，.从而 在区间 上单调递增， 11 分
，，
∴ ， 12 分
若 或 ，即 或 ，则曲线 与 无交点， 14 分
若 ，则曲线 与 有一个交点. 15 分
【点拨】将交点问题转化为构造函数 的零点问题，通过两次求导并结合偶函数性质确定 的单调性，最后利用端点值判断零点个数.
17.（15分）已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】
【解析】当 时，，
∵ 恰有三个不同的零点，
函数 在 上恰有三个不同的零点，即 有三个解，
而 无解，故 . 3 分
当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点，
即 ，即 与 的图象有三个交点，
当 时， 与 有交点，
∴ ，即 在 上有根. 6 分
令 ，
若 ，，抛物线开口向下，在 上无根或有一根（不可能有两根）.
实际上，当 时，.若 即 ，两根之和为 ，两根之积为 ，∴ 有两个正根！
此时 有两个交点.
而当 时， 与 的交点：
.
∵ ，令 .
（因为 ）.
∴ 在 上有且仅有一个根（因为两根之积 ，一正一负）.
∴ 当 时， 有 2 个交点， 有 1 个交点，共 3 个交点.符合题意！ 10 分
若 ，，开口向上，两根之积为 ，∴ 必有一正一负根.
因此 时，必有且仅有 1 个交点.
要使总共有 3 个交点，则 时， 必须有两个非正根.
∴ 需满足：
解得 . 14 分
综上所述， 的取值范围是 . 15 分
【点拨】将零点问题转化为分段函数图象与直线 的交点问题，分 和 两段转化为二次方程根的分布，利用判别式、对称轴和端点值列不等式组求解.
18.（17分）（2026·浙江强基·5月检测）（改）设关于 的方程 为自然对数底数 有 个不相等的实数解 ，求 的值.
【答案】
【解析】由 ，∵ 不是方程的解，两边同除以 ，得 . 4 分
令 ，则 ，即 . 7 分
解得 ，. 10 分
结合 的图象，可得方程 有 个不相等的实数解，不妨设 ，
则有 ，. 13 分
进而有 .
两边取自然对数，得 .
∴ . 17 分
【点拨】观察方程结构特征，将其看作关于 和 的齐次式，通过同除以 并换元转化为一元二次方程，再利用对数运算性质求和.
19.（17分）（改）设 ，对任意实数 ，记 . 若 有三个零点，求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】令 ，，
∵ 函数 有一个零点，函数 至多有两个零点，
又 有三个零点，
∴ 必须有两个零点，且其零点与函数 的零点不相等，
且函数 与函数 的零点均为函数 的零点. 4 分
由 可得，，∴ ，
∴ 为函数 的零点，
即 ，
∴ . 8 分
令 ，可得 ，
由已知 有两个根，
设 ，则 有两个正根，
∴ ，，，
∴ ，故 . 12 分
当 时， 有两个正根，
设其根为 ，，则 ，
设 ，则 ，，
∴ . 15 分
令 ，，则 ，，
则 ，，
且 ，，
∴ 当 时，，
∴ 当 时， 为函数 的零点，又 也为函数 的零点，
且 与 互不相等，
∴ 当 时，函数 有三个零点.
故实数 的取值范围为 . 17 分
【点拨】将新定义函数 的零点转化为两个基本函数 和 的零点，利用换元法将指数方程转化为一元二次方程，结合根的分布与判别式求解.
第 2 页，共 17 页第12讲 函数与方程·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数 是奇函数，且 ，若 是函数 的一个零点，则 （ 　　）
A. B. C. D.
2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，)（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2025·江西上饶·二模）下列选项中，曲线 与 在 上的交点个数不一样的是（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 ，若方程 有三个不同根，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
5.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·山东德州·三模）对于正整数 ，函数 对于实数 ，使得方程 有四个不同实数解的所有正整数 的和为（ 　　）
A. B. C. D.
7.已知函数 ，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为（ 　　）
A. B. 或 C. 或 D. 或 或
8.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2025·河北承德·一模）已知函数 的零点个数可以为（ 　　）
A. B. C. D.
10.（2026·河北沧州·二模）已知函数 在区间 上有两个不同的零点，则（ 　　）
A. B. C. D.
11.（2026·江苏南京·二模）已知函数 则（ 　　）
A. B.
C. 在 上单调递减 D. 有且仅有 个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 ，若 在区间 上有零点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·山东九五协作体·一模）已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 关于 的方程 有三个实根 ，，，且 ，求 的取值范围.
16.（15分）（2026·河南新未来·5月测评）已知函数 .
（1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 当 时，讨论曲线 与 的交点个数.
17.（15分）已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围.
18.（17分）（2026·浙江强基联盟·5月检测）设关于 的方程 为自然对数底数 有 个不相等的实数解 ，求 的值.
19.（17分）设 ，对任意实数 ，记 . 若 有三个零点，求实数 的取值范围.
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