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第13讲 函数模型及其应用 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C B B （1） （2） C
6 7 8 9 10
C （1）， （2）， A B
11 12 13 14 15
D D
16 17 18 19 20
C B B A A
21 22 23 24 25
B D A B C
26 27 28 29 30
D D
31 32 33
D C B
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过. 已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ 　　）
A. 甲、乙两车均超速 B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速 D. 甲、乙两车均未超速
【答案】C
【解析】对于甲车，令，即，解得(舍) 或，∴甲未超速；
对于乙车，令，即，解得(舍) 或，∴乙超速；
故选:C.
【点拨】本题考查二次函数模型在实际问题中的应用，通过将实际距离代入函数解析式，解一元二次方程即可判断车速是否超标.原卷解析中存在笔误，已在解析中修正为“对于乙车”.
2.绍兴某乡村要修建一条米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为（ 　　）(参考数据：)
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】如图设横截面为等腰梯形，于，，
要使水横断面面积最大，则此时资金万元都用完，
则，解得米，
设，则，故，且，
梯形的面积，
当时，，
此时，
即当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为米.
【点拨】解决此类优化问题，关键是引入合适的变量（如侧面长），利用几何关系表示出目标函数（截面面积），再通过二次函数配方求最值.
3.如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度(即最大)，则射门时甲离上方端线的距离为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
∴，且，
∴，
又，∴，解得，即，
设，，则，
，∴在中，
有，
令，∴，
∴，
∵，∴，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令，，
∴的对称轴为：，∴在单调递增，在单调递减，
∴当时，取得最大值，即最大，此时，即，
∴，∴，即为获得最佳的射门角度(即最大)，
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
【点拨】本题综合考查解三角形与二次函数最值.利用余弦定理建立关于距离的函数，通过换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解题核心.
4.（2026·合肥一六八·一模）某地区上年度天然气价格为元/，年用气量为. 本年度计划将天然气单价下调到元/至元/之间. 用户期望天然气单价为元/，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比(比例系数为). 已知该地区天然气的成本价为元/.
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益(单位:元)关于实际单价(单位:元/)的函数解析式;(收益=实际用气量(实际单价-成本价))
（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设下调后的天然气单价为元/，；
（2）由题意可知要同时满足以下条件：，
解得，即天然气单价最低定为元/.
【点拨】构建分式型函数模型时，需准确提取题干中的反比例关系.求解不等式时，注意结合实际意义确定自变量的取值范围.
5.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ 　　）
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
【答案】C
【解析】设购买的件数为，花费为元，
则，当时，，
当时，，∴最多可购买这种产品件，
故选：C.
【点拨】本题考查分段函数模型的应用，根据表格数据写出分段函数解析式，再结合目标金额代入临界值进行试算即可.
6.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元. 其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为元，则该企业每年利润的最大值为（ 　　）
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
【答案】C
【解析】该企业每年利润为
当时，
在时，取得最大值；
当时，
(当且仅当时等号成立)，即在时，取得最大值；
由，可得该企业每年利润的最大值为. 故选：C
【点拨】求解分段函数最值时，需分别求出各段上的最大值，再比较大小.注意第二段利用基本不等式求最值时需验证等号成立的条件.
7.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量(毫克/毫升)随时间(小时)变化的规律近似满足表达式.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过＿＿＿＿＿＿小时后才能开车.(精确到小时)
【答案】4
【解析】当时，由得，
解得，舍去；
当时，由得，即，
解得，
∵，∴此驾驶员至少要过小时后才能开车.
故答案为：4
【点拨】解指数不等式时，需根据分段函数的区间分别求解，结合对数的估算确定最终的整数时间.
8.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔(单位:分钟)满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量;
（2）若该线路每分钟的净收益为:(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）， （2），
【解析】（1）由题设，当时，令，又发车时间间隔为分钟时的载客量为人，分钟时的载客量为人，
，
当时，，
故时，，
∴当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人；
（2）∵，
∴由（1）可得:
当时，，
当且仅当等号成立，
则时，(元)，
当时，在递减，
则(元)
综上，发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元.
【点拨】本题考查分段函数模型的构建与最值求解.第一问利用待定系数法求出二次函数解析式；第二问将收益表示为关于时间的分段函数，利用基本不等式和单调性分别求最值.
9.（2025·江西稳派·5月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为(单位:米/秒)时的跳跃高度(单位:米)满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ 　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】由可知，故，当且仅当时，等号成立. 于是该类昆虫的最大跳跃高度为米. 故选A.
【点拨】将关系式变形为关于的表达式，利用基本不等式求最值是解题的关键.注意检验等号成立的条件.
10.某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，
则年后的设备维护费用为，
∴年的平均费用为(万元)，
当且仅当时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为. 故选：B.
【点拨】根据等差数列求和公式算出总维护费，再写出年平均费用的函数解析式，利用基本不等式求最小值即可.
11.年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得
∵，
∴，
即，
解得，
∴.
【点拨】将代入原方程，提取公因式并化简，结合题干给出的近似计算公式，即可解出从而求得.
12.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从年月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式. 已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
【答案】
【解析】根据题意，得到，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解. 由题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足，即，∴月利润为，当且仅当时，即时取等号，即月最大利润为万元. 故答案为: .
【点拨】本题考查函数模型的实际应用.先将费用表示为销量的函数，再构建总利润函数，通过分离常数并利用基本不等式求得最大值.原卷解析末尾“最低利润”系笔误，实为最大利润.
13.能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物年间的每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:厘米)满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么年间的每年的能源消耗费用为万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时，隔热层厚度＿＿＿＿＿＿厘米.
【答案】
【解析】由题意得，当时，，解得，
又，
∴，
当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：.
【点拨】先利用不建隔热层时的费用求出参数，再列出总费用函数，通过配凑项利用基本不等式求最值.
14.迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. (本题中取进行计算)
【答案】
【解析】设圆弧的半径为，根据题意可得：
令，则，
根据基本不等式，，当却仅当，即时取“”.
，时，
故答案为：.
【点拨】将不规则图形的面积和周长表示为半径的函数，代入化简后，利用换元法将分式转化为对勾函数形式，再利用基本不等式求最值.
15.（2025·青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（ 　　）（，精确到年）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】D
【解析】令，解此方程即可.
令可得，
可得，∴，
故臭氧消失一半所需要的时间约为年.
故选：D.
【点拨】根据题意列出指数方程，两边取自然对数，结合已知近似值进行计算即可.
16.（2026·嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为，
由题意可得，则，即，
∵，∴的最小值为，
故至少需要脱碳处理的次数为.
【点拨】根据每次减少的比例列出关于次数的指数不等式，化简后利用指数函数的单调性求解最小整数.
17.年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业年初有资金万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴万元．若要实现年初的资金达到万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：)（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，设年平均增长率为，则，
∴，故年平均增长率为.
故选：B
【点拨】理清资金增长的复利模型，注意补贴是在三年后加入，列出方程开三次方即可求得增长率.
18.（2026·烟台·二模）已知某数据中心的算力（单位：）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ 　　）
A. 万片 B. 万片 C. 万片 D. 万片
【答案】B
【解析】将代入得，即，∴.
由得，即，
∴，解得.
故选：B.
【点拨】先将已知条件代入模型求出底数的值，再根据不等式要求解出指数的范围.
19.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ 　　）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，当时，，∴，
设过滤一半的污染物需要的时间为，则，即，
∴，两边取常用对数得，
即，解得，最接近.
故选：A.
【点拨】利用已知条件求出衰减系数，再列出目标方程，两边取对数进行近似计算.
20.（2026·金华十校·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的倍，则该物种种群数量变成原来的万倍大约需要经过（ 　　）（参考数据：）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】A
【解析】设初始种群数量为，经过年后，种群数量变为.
根据题意，种群数量变为原来的万倍，即.
两边同时除以，得.
两边同时取常用对数，有：.
由于，且，代入得：
，解得.
因此该物种种群数量变成原来的万倍大约需要经过年.
【点拨】根据题意列出指数方程，两边取常用对数，结合进行化简计算即可.
21.近年来，天然气表观消费量从年的不到激增到年的. 从年开始统计，记表示从年开始的第几年，，. 经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从年后第年天然气消费量，是年的天然气消费量，是过去年的年复合增长率. 已知年的天然气消费量为，年的天然气消费量为，根据拟合的模型，可以预测年的天然气消费量约为（ 　　）
(参考数据：，，)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】据题意，，
两式相除可得，
又∵，
故选：B．
【点拨】利用已知年份的数据作商求出增长率的某次方的值，再将目标年份的表达式转化为已知值的乘积进行计算.
22.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少，若要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤（ 　　）
(参考数据：)
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
【答案】D
【解析】设经过次过滤后，水中杂质减少到原来的以下，
则，即，
不等式两边取常用对数得：，解得：，
故至少需要过滤次.
故选：D
【点拨】根据每次过滤的残留率列出指数不等式，两边取对数求解，注意实际次数应向上取整.
23.（2025·驻马店·3月月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：，即，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
两式相除可得：，
即，
∴，
即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，
故选：A
【点拨】先利用初始条件求出衰减系数，再分别列出两个目标状态的方程，作商即可求出时间差.
24.（2026·桐乡·教学测试）某款新能源汽车年的产量为辆，从年开始每年不断扩大生产规模，计划到年此款汽车年产量达到辆，那么年的年平均增长率大约为（ 　　）
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设年的年平均增长率为，根据题意可得
，化简得，
方程两边取对数得，又，
∴.
故，
∴，即年的年平均增长率大约为.
【点拨】根据复利增长模型列出方程，两边取常用对数，利用已知近似值解出增长率.
25.（2026·宁波·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（），它随海拔高度（）的变化规律可以近似的表示为（其中为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为，大气压强为，宁波城区一处的海拔约为，大气压强为.现测得某山峰上一处的大气压强为，请估计该处的海拔高度（单位：）位于以下哪个范围内？（ 　　）（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设城区的压强为，四明山的压强为，
由题意得，，
两式作除法可得，解得，
对于目标点，可得，由已知得，
两式作除法可得，解得，
则，在内，故C正确.
故选：C
【点拨】利用已知两点的数据作商求出参数的表达式，再将目标点与已知点作商，结合对数的换底公式和运算性质进行估算.
26.（2026·雅礼中学·5月模拟）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除. 现已知的质量()随时间(年)的指数衰减规律是:(其中为的初始质量). 则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为(参考数据:）（ 　　）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】D
【解析】由题意得，，
∴，
∴.
【点拨】根据指数衰减模型列出方程，两边取对数并利用换底公式化为常用对数进行计算.
27.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度 (单位) 随机给氧时间(单位: 时) 的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数. 已知，给氧小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ 　　）小时. (参考数据:)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，，则，，
∴，
则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时.
故选：D.
【点拨】先利用初始状态求出参数，再列出达标的不等式求出总时间，最后减去已给氧的时间即为所需时间.
28.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间(单位：)，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度)，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要. 则的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意，把，，，代入中，
得，∴，
∴，解得.
故答案为：.
【点拨】将已知数据直接代入冷却模型，化简后利用对数定义解出参数.
29.当生物死亡后，它机体内碳会按照确定的规律衰减，大约每经过年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳含量与死亡时间之间的函数关系式，(其中为生物死亡之初体内的碳含量，为死亡时间(单位：年)，通过测定发现某古生物遗体中碳含量为，则该生物的死亡时间大约是＿＿＿＿＿＿年前．
【答案】
【解析】由题意，生物体内碳含量与死亡时间之间的函数关系式，
∵测定发现某古生物遗体中碳含量为，
令，可得，∴，解得年.
故答案为：年.
【点拨】将已知含量代入指数衰减模型，利用指数幂的运算法则解出时间.
30.某地在年间经济高质量增长，的值(单位，亿元)与时间(单位：年)之间的关系为，其中为时的值. 假定，那么在时，增长的速度大约是＿＿＿＿＿＿.(单位：亿元/年，精确到亿元/年) 注：，当取很小的正数时，
【答案】
【解析】由题可知，
∴，
∴,
即增长的速度大约是.
故答案为：.
【点拨】本题考查指数函数模型的导数及其物理意义.增长速度即为函数的导数，求导后代入数值计算即可.
31.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的倍，则为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，.
故选：D.
【点拨】根据题意列出两个状态下的幂函数方程，两式作商消去常数和初始变量，解指数方程即可求得幂指数.
32.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为，当记住的单词仅剩个时，则离初次记忆经过了（ 　　）(参考数据:)
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
【答案】C
【解析】由题意得，∴，即，
两边同时取以为底的对数，得，
∴，.故选C.
【点拨】将剩余单词数转化为记忆率代入函数解析式，两边取常用对数，利用对数的运算性质解出时间.
33.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中为非零常数．已知释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得信息素浓度为；若释放信息素秒后，距释放处米的位置，信息素浓度为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，
∴，
即. 又，∴.
∵，∴.
故选：B.
【点拨】将两次测量的数据分别代入对数型函数模型，两式相减消去常数和，即可解出距离.
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考点一：二次与分段函数模型
考法1：利用二次函数模型求最值或解方程
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过. 已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ 　　）
A. 甲、乙两车均超速 B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速 D. 甲、乙两车均未超速
2.绍兴某乡村要修建一条米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为（ 　　）(参考数据：)
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3.如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度(即最大)，则射门时甲离上方端线的距离为（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·合肥一六八·一模）某地区上年度天然气价格为元/，年用气量为. 本年度计划将天然气单价下调到元/至元/之间. 用户期望天然气单价为元/，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比(比例系数为). 已知该地区天然气的成本价为元/.
（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益(单位:元)关于实际单价(单位:元/)的函数解析式;(收益=实际用气量(实际单价-成本价))
（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加
考法2：利用分段函数模型求最值或解不等式
5.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ 　　）
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
6.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元. 其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为元，则该企业每年利润的最大值为（ 　　）
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
7.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量(毫克/毫升)随时间(小时)变化的规律近似满足表达式.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过＿＿＿＿＿＿小时后才能开车.(精确到小时)
8.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔(单位:分钟)满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量;
（2）若该线路每分钟的净收益为:(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
考点二：对勾与分式函数模型
考法3：利用对勾或分式函数模型求最值
9.（2025·江西稳派·5月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为(单位:米/秒)时的跳跃高度(单位:米)满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ 　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ 　　）
A. B. C. D.
11.年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为（ 　　）
A. B. C. D.
12.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从年月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式. 已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
13.能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物年间的每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:厘米)满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么年间的每年的能源消耗费用为万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时，隔热层厚度＿＿＿＿＿＿厘米.
14.迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. (本题中取进行计算)
考点三：指数、对数与幂函数模型
考法4：指数函数模型在实际问题中的应用
15.（2025·青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（ 　　）（，精确到年）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
16.（2026·嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（ 　　）
A. B. C. D.
17.年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业年初有资金万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴万元．若要实现年初的资金达到万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：)（ 　　）
A. B. C. D.
18.（2026·烟台·二模）已知某数据中心的算力（单位：）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ 　　）
A. 万片 B. 万片 C. 万片 D. 万片
19.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ 　　）（参考数据：）
A. B. C. D.
20.（2026·金华十校·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的倍，则该物种种群数量变成原来的万倍大约需要经过（ 　　）（参考数据：）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
21.近年来，天然气表观消费量从年的不到激增到年的. 从年开始统计，记表示从年开始的第几年，，. 经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从年后第年天然气消费量，是年的天然气消费量，是过去年的年复合增长率. 已知年的天然气消费量为，年的天然气消费量为，根据拟合的模型，可以预测年的天然气消费量约为（ 　　）
(参考数据：，，)
A. B.
C. D.
22.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少，若要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤（ 　　）
(参考数据：)
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
23.（2025·驻马店·3月月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ 　　）
A. B. C. D.
24.（2026·桐乡·教学测试）某款新能源汽车年的产量为辆，从年开始每年不断扩大生产规模，计划到年此款汽车年产量达到辆，那么年的年平均增长率大约为（ 　　）
（）
A. B. C. D.
25.（2026·宁波·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（），它随海拔高度（）的变化规律可以近似的表示为（其中为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为，大气压强为，宁波城区一处的海拔约为，大气压强为.现测得某山峰上一处的大气压强为，请估计该处的海拔高度（单位：）位于以下哪个范围内？（ 　　）（参考数据：，）
A. B. C. D.
26.（2026·雅礼中学·5月模拟）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除. 现已知的质量()随时间(年)的指数衰减规律是:(其中为的初始质量). 则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为(参考数据:）（ 　　）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
27.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度 (单位) 随机给氧时间(单位: 时) 的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数. 已知，给氧小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ 　　）小时. (参考数据:)
A. B. C. D.
28.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间(单位：)，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度)，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要. 则的值为＿＿＿＿＿＿.
29.当生物死亡后，它机体内碳会按照确定的规律衰减，大约每经过年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳含量与死亡时间之间的函数关系式，(其中为生物死亡之初体内的碳含量，为死亡时间(单位：年)，通过测定发现某古生物遗体中碳含量为，则该生物的死亡时间大约是＿＿＿＿＿＿年前．
30.某地在年间经济高质量增长，的值(单位，亿元)与时间(单位：年)之间的关系为，其中为时的值. 假定，那么在时，增长的速度大约是＿＿＿＿＿＿.(单位：亿元/年，精确到亿元/年) 注：，当取很小的正数时，
考法5：对数与幂函数模型在实际问题中的应用
31.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的倍，则为（ 　　）
A. B. C. D.
32.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为，当记住的单词仅剩个时，则离初次记忆经过了（ 　　）(参考数据:)
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
33.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中为非零常数．已知释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得信息素浓度为；若释放信息素秒后，距释放处米的位置，信息素浓度为，则（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第13讲 函数模型及其应用 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 几种常见的函数模型 2
2. 解函数应用问题的步骤 2
三、典题精讲 2
考点一：常见的几类确定性函数模型 2
考点二：指数、对数与幂函数模型 5
考点三：函数模型的综合与创新应用 7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2024 第6题 单选题 5分 间接 以分段函数模型为载体，结合二次函数与超越函数的性质，考察参数范围的求解
2025 - - - -
2026 第6题 单选题 5分 间接 给出具体的指数分式复合函数模型，利用导数工具研究其最值并反求参数
近三年全国一卷中，以实际生活为背景的函数模型应用题出现频次相对较低，多以纯数学形式的函数模型（如分段函数、指数型函数）为载体，结合导数、单调性等知识进行间接考查.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重于对分段函数、指数型函数等常见数学模型的性质（如单调性、最值）的深度剖析.
命题趋势：淡化了简单的代入模型计算，更加注重利用导数等高等数学工具对复杂函数模型进行动态分析与参数求解.
试题特点：综合性强，常将函数模型与不等式、方程、导数等知识点交汇命题，对逻辑推理和代数变形能力要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基础函数模型（如二次函数、分段函数、指数函数等）的图象特征与解析式性质.
· 强化利用导数工具研究复杂函数模型单调性与最值的能力，突破参数分类讨论的难点.
· 培养数学建模意识，遇到实际应用题时，能够准确提取关键数据，将其转化为熟悉的函数模型并求解.
二、知识清单
1. 几种常见的函数模型
· 一次函数模型：
· 反比例函数模型：
· 二次函数模型：
· 指数函数模型：
· 对数函数模型：
· 幂函数模型：
【易错提醒】 在构建和求解实际问题的函数模型时，必须高度关注自变量的取值范围（即函数的定义域）.实际问题中的定义域往往受到具体物理意义或生活常识的限制，不能单纯按照代数解析式的要求来确定.
【防坑警示】 在指数函数模型 中，底数 决定了模型是增长型（）还是衰减型（）.在处理如人口增长、资金复利、放射性物质衰变等问题时，需根据题意准确判断并求解底数.
2. 解函数应用问题的步骤
·审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
·建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；
·解模：求解数学模型，得出结论；
·还原：将数学问题还原为实际问题。
三、典题精讲
考点一：常见的几类确定性函数模型
考法1：一次、二次函数模型
例1.绍兴某乡村要修建一条米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【思路】分析题意，引入合适的变量表示等腰梯形的底和高.利用总造价限制求出截面周长定值，进而建立截面面积关于侧边长的二次函数模型，通过二次函数配方求得最值.
【解析】如图设横截面为等腰梯形，于，.
要使水横断面面积最大，则此时资金万元都用完，
则，解得米.
设，则，故，且.
梯形的面积.
当时，，
此时.
即当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为米.
【规律】解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值.
考法2：分段函数模型
例2.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为.
（1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）， （2），
【思路】第一问利用待定系数法，根据已知点坐标求出二次函数解析式，并写成分段函数形式.第二问将载客量代入净收益公式，得到净收益的分段函数，分别在各段上利用基本不等式和单调性求出最大值，最后比较各段最大值确定全局最大值.
【解析】（1） 由题设，当时，令，又发车时间间隔为分钟时的载客量为人，分钟时的载客量为人，
∴，
∴；
当时，，
∴；
故时，，
所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人；
（2） ∵，
∴由（1）可得：；
当时，，
当且仅当等号成立，
则时，（元）；
当时，在递减，
则（元）；
综上，发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元.
【规律】处理分段函数最值问题，必须分段求最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具.
考法3：分式函数模型
例3.某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】根据等差数列求和公式计算出年的总维护费用，然后构建年平均费用的分式函数模型，利用基本不等式求出最小值及对应的年数.
【解析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元.
则年后的设备维护费用为.
∴年的平均费用为（万元），
当且仅当时，等号成立.
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.
故选B.
【规律】涉及“平均费用最低”问题，通常会构建形如的分式函数模型.利用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内.
【考点一 方法总结】
· 解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值.
· 构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.处理分段函数最值问题，必须分段求最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具.
· 涉及“平均费用最低”等问题，通常会构建形如的分式函数模型.利用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内.
考点二：指数、对数与幂函数模型
考法1：指数函数模型
例4.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】利用初始条件代入指数衰减模型求出衰减系数，再根据目标要求列出指数方程，两边取常用对数，结合已知对数近似值解出时间.
【解析】由题意可得，当时，，∴.
设过滤一半的污染物需要的时间为，则，即.
∴，两边取常用对数得，
即，解得，最接近.
故选A.
【规律】求解指数型函数模型的问题，通常分为两步：一是利用已知数据求出参数或；二是代入目标值解指数方程，常需两边取对数进行近似计算.
考法2：对数函数模型
例5.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中为非零常数．已知释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得信息素浓度为；若释放信息素秒后，距释放处米的位置，信息素浓度为，则
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】将两次测量的浓度和距离数据分别代入对数型函数模型，得到两个等式.通过两式相减消去未知常数，即可解出目标距离.
【解析】由题意，.
∴，
即.又，∴.
∵，∴.
故选B.
【规律】对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数.
考法3：幂函数模型
例6.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为，当记住的单词仅剩个时，则离初次记忆经过了(参考数据:)
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
【答案】C
【思路】将目标剩余单词数转化为记忆率并代入幂函数模型，化简得到幂方程.两边取常用对数，利用对数的运算性质解出时间.
【解析】由题意得，∴，即.
两边同时取以为底的对数，得.
∴，.
故选C.
【规律】解底数未知或指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧.
【考点二 方法总结】
· 在解题时要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率、放射性衰变等有关的问题多属于此类.
· 解决指数型、对数型、幂函数模型问题时，一般先通过待定系数法（代入初始条件或已知数据）确定函数解析式中的参数，再借助函数性质或方程求解目标值.
· 求解指数型函数模型时，常需两边取对数进行近似计算；解底数未知或指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧.
· 对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数.
考点三：函数模型的综合与创新应用
考法1：几何背景下的函数模型
例7.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度.
（1） 求关于的函数关系式；
（2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值．
【答案】（1） （2）
【思路】结合扇形周长公式，可将圆心角转化为关于半径的函数.进一步构建面积与费用的比值表达式，面对复杂的分式结构，借助换元法将其转化为熟悉的对勾函数形式，进而利用基本不等式求解最大值.
【解析】（1） 由题意可知，，，，
∴弧，，弧.
扇环周长为弧弧，
解得，.
（2） 砖雕面积即为图中环形面积，记为，
则弧弧
.
即雕刻面积与雕刻费用之比为，
则.
令，则，
∴
，
当且仅当时（即）取等号.
∴砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为.
【规律】处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整体换元，可将原函数转化为的形式，进而利用基本不等式求解.
考法2：新定义函数模型
例8.（2025·青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 设函数 ，则
A. 是奇函数
B. 是周期函数
C. 的值域是
D. 在区间上的有理数零点恰有个
【答案】ABD
【思路】紧扣狄利克雷函数的定义，分有理数和无理数两种情况讨论.结合三角函数的奇偶性、周期性和值域，逐一验证各个选项.
【解析】对于A，的定义域为，当为有理数时，是有理数，则；当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数.故，是奇函数，故A正确；
对于B，对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则；当为无理数时，也是无理数，则，即函数是周期函数，故B正确；
对于C，函数的值域为，当为无理数时，；当为有理数时，，由于不能取到一个周期内的所有实数（例如时无有理数解），∴取不到的全部，故C错误；
对于D，令，当为有理数时，，解得，在区间上有这个有理数零点，故D正确.
故选ABD.
【规律】解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略.
【考点三 方法总结】
· 处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整体换元，可将原函数转化为的形式，进而利用基本不等式求解.
· 解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略.
第 2 页，共 17 页第13讲 函数模型及其应用 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 几种常见的函数模型 2
2. 解函数应用问题的步骤 2
三、典题精练 3
考点一：常见的几类确定性函数模型 3
考点二：指数、对数与幂函数模型 4
考点三：函数模型的综合与创新应用 6
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2024 第6题 单选题 5分 间接 以分段函数模型为载体，结合二次函数与超越函数的性质，考察参数范围的求解
2025 - - - -
2026 第6题 单选题 5分 间接 给出具体的指数分式复合函数模型，利用导数工具研究其最值并反求参数
近三年全国一卷中，以实际生活为背景的函数模型应用题出现频次相对较低，多以纯数学形式的函数模型（如分段函数、指数型函数）为载体，结合导数、单调性等知识进行间接考查.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重于对分段函数、指数型函数等常见数学模型的性质（如单调性、最值）的深度剖析.
命题趋势：淡化了简单的代入模型计算，更加注重利用导数等高等数学工具对复杂函数模型进行动态分析与参数求解.
试题特点：综合性强，常将函数模型与不等式、方程、导数等知识点交汇命题，对逻辑推理和代数变形能力要求较高.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基础函数模型（如二次函数、分段函数、指数函数等）的图象特征与解析式性质.
· 强化利用导数工具研究复杂函数模型单调性与最值的能力，突破参数分类讨论的难点.
· 培养数学建模意识，遇到实际应用题时，能够准确提取关键数据，将其转化为熟悉的函数模型并求解.
二、知识清单
1. 几种常见的函数模型
· 一次函数模型：
· 反比例函数模型：
· 二次函数模型：
· 指数函数模型：
· 对数函数模型：
· 幂函数模型：
【易错提醒】 在构建和求解实际问题的函数模型时，必须高度关注自变量的取值范围（即函数的定义域）.实际问题中的定义域往往受到具体物理意义或生活常识的限制，不能单纯按照代数解析式的要求来确定.
【防坑警示】 在指数函数模型 中，底数 决定了模型是增长型（）还是衰减型（）.在处理如人口增长、资金复利、放射性物质衰变等问题时，需根据题意准确判断并求解底数.
2. 解函数应用问题的步骤
·审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
·建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；
·解模：求解数学模型，得出结论；
·还原：将数学问题还原为实际问题。
三、典题精练
考点一：常见的几类确定性函数模型
考法1：一次、二次函数模型
例1.绍兴某乡村要修建一条米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
考法2：分段函数模型
例2.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为.
（1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
考法3：分式函数模型
例3.某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为
A. B. C. D.
【考点一 方法总结】
· 解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值.
· 构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.处理分段函数最值问题，必须分段求最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具.
· 涉及“平均费用最低”等问题，通常会构建形如的分式函数模型.利用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内.
考点二：指数、对数与幂函数模型
考法1：指数函数模型
例4.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（参考数据：）
A. B. C. D.
考法2：对数函数模型
例5.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中为非零常数．已知释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得信息素浓度为；若释放信息素秒后，距释放处米的位置，信息素浓度为，则
A. B. C. D.
考法3：幂函数模型
例6.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为，当记住的单词仅剩个时，则离初次记忆经过了(参考数据:)
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
【考点二 方法总结】
· 在解题时要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率、放射性衰变等有关的问题多属于此类.
· 解决指数型、对数型、幂函数模型问题时，一般先通过待定系数法（代入初始条件或已知数据）确定函数解析式中的参数，再借助函数性质或方程求解目标值.
· 求解指数型函数模型时，常需两边取对数进行近似计算；解底数未知或指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧.
· 对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数.
考点三：函数模型的综合与创新应用
考法1：几何背景下的函数模型
例7.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度.
（1） 求关于的函数关系式；
（2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值．
考法2：新定义函数模型
例8.（2025·青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 设函数 ，则
A. 是奇函数
B. 是周期函数
C. 的值域是
D. 在区间上的有理数零点恰有个
【考点三 方法总结】
· 处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整体换元，可将原函数转化为的形式，进而利用基本不等式求解.
· 解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略.
第 2 页，共 17 页第13讲 函数模型及其应用 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C C A D D
6 7 8 9 10
C B D ABD ABD
11 12 13 14 15
BCD （1） （2）
16 17 18 19
（1） （2）， （1） （2）， （1）， （2） （1） （2）
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过. 已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象
A. 甲、乙两车均超速 B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速 D. 甲、乙两车均未超速
【答案】C
【解析】对于甲车，令，即，
解得（舍）或，甲未超速；
对于乙车，令，即，
解得（舍）或，乙超速.
故选C.
【点拨】本题考查二次函数模型在实际生活中的应用，将实际问题转化为一元二次方程求解，注意结合限速条件进行判断.
2.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
【答案】C
【解析】设购买的件数为，花费为元，
则.
当时，；
当时，，
最多可购买这种产品件.
故选C.
【点拨】本题考查分段函数模型的实际应用，根据表格构建分段函数模型，通过代入临界值附近的数据进行验证即可得出结论.
3.（2025·江西稳派·5月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】由可知，
，当且仅当时等号成立.
于是该类昆虫的最大跳跃高度为米.
故选A.
【点拨】本题考查函数模型的应用，将等式变形为关于的表达式，利用基本不等式求最值是处理此类有理分式函数极值的常用手段.
4.（2025·青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（，精确到年）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】D
【解析】令，可得，
两边取自然对数得，
.
故臭氧消失一半所需要的时间约为年.
故选D.
【点拨】本题考查指数函数模型的实际应用，根据题意建立指数方程，利用对数的运算法则求解未知数，注意近似计算的精度要求.
5.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位: 时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数. 已知，给氧小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要小时. （参考数据:,,,）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，，，
则，，
.
则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时.
故选D.
【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，利用初始条件求出指数模型中的参数，再根据目标值解指数不等式，注意最后求的是“还需要”的时间.
6.（2026·嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为.
由题意可得，则，即.
由于，所以的最小值为.
故至少需要脱碳处理的次数为.
故选C.
【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，根据每次减少的比例构建指数衰减模型，转化为解指数不等式问题.
7.（2026·桐乡·检测）某款新能源汽车2025年的产量为辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设2025～2030年的年平均增长率为，根据题意可得，化简得.
方程两边取常用对数得，又，
.
故，所以.
即2025～2030年的年平均增长率大约为.
故选B.
【点拨】本题考查指数增长模型的应用，建立指数增长模型，两边取常用对数是求解底数中未知量的有效方法.
8.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的倍，则为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设初始状态为，则，.
又，，即.
，得，即，解得，.
故选D.
【点拨】本题考查幂函数模型的应用，利用幂函数模型，代入两组状态的数据作商，即可消去常数求出指数.
9.（2026·枣庄·一模）已知函数 ，则
A. 为奇函数
B. 的值域是
C. 有极值
D. 存在实数，使得在上的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，的定义域为，，为奇函数，故A正确；
对于B，，，，，，即的值域是，故B正确；
对于C，，在上单调递增，无极值，故C错误；
对于D，在上单调递增，若在上的值域为，则，，即是方程的两个不相等的实数根.令，则，为奇函数.又，，，，由零点存在性定理知，在上至少有一个零点，设为，由奇函数性质知也是的零点，设为，则存在实数，使得在上的值域为，故D正确.
故选ABD.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、值域、单调性及零点存在性定理的综合应用.利用分离常数法求函数值域，通过求导判断单调性，将值域区间问题转化为方程同解问题，结合零点存在性定理进行判断.
10.（2025·青岛·一模）已知狄利克雷函数 设函数 ，则
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有个
【答案】ABD
【解析】对于A，的定义域为，当为有理数时，是有理数，则；当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数.故，是奇函数，故A正确；
对于B，对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则；当为无理数时，也是无理数，则，即函数是周期函数，故B正确；
对于C，函数的值域为，当为无理数时，；当为有理数时，，由于不能取到一个周期内的所有实数（例如时无有理数解），取不到的全部，故C错误；
对于D，令，当为有理数时，，解得，在区间上有这个有理数零点，故D正确.
故选ABD.
【点拨】本题考查新定义函数（狄利克雷函数）的性质，理解狄利克雷函数的定义及奇偶性、周期性，结合三角函数的性质进行综合分析是解题关键.
11.（2025·江西稳派·5月联考）已知函数 ，且 为曲线 上不同的两点，则
A. 时，曲线在处的切线方程为
B. 时，有最小值
C. 若关于点对称，则
D. 若关于点对称，且恒成立，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，，，，故曲线在处的切线方程为，即，故A错误；
对于B，当时，，记，则，在上单调递增.又，在上单调递减，在上单调递增，故有最小值，故B正确；
对于C，由题意可得，由对称性不妨设，则.又，即.记，则，，，，，在区间上单调递增，，即.下面证明，，即证，有解.记，则，取，则，，使得，，故C正确；
对于D，由题意可转化为，即.记，则，，，.设，则，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，即，即，故，当且仅当时取等号.若，则，在区间上单调递减，，符合题意.若，时，，在区间上单调递增，，不符合题意.综上所述，，故D正确.
故选BCD.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的切线、单调性与极值，处理对称性问题时转化为构造新函数，结合放缩法（如）证明不等式是解决压轴选项的有效途径.
12.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车＿＿＿＿＿＿.（精确到小时）
【答案】
【解析】当时，由得，
解得，舍去；
当时，由得，即，
解得.
，此驾驶员至少要过小时后才能开车.
【点拨】本题考查分段函数模型的应用，分段解指数不等式，利用对数的性质估算数值范围.
13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式. 已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
【答案】
【解析】根据题意，得到，
月利润为，
当且仅当时，即时取等号，
即月最低利润为万元.
【点拨】本题考查函数模型的实际应用，根据题意构建利润函数，将变量统一后利用基本不等式求最值.
14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要. 则的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意，把，，，代入中，
得，，
，解得.
【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，将已知数据代入给定的指数衰减模型，解指数方程即可.
15.（13分）（2026·合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为元/，年用气量为. 本年度计划将天然气单价下调到元/至元/之间. 用户期望天然气单价为元/，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为）. 已知该地区天然气的成本价为元/.
（1） 写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益（单位:元）关于实际单价（单位:元/）的函数解析式；（收益实际用气量(实际单价成本价)）
（2） 设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加？
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 设下调后的天然气单价为元/，
则燃气公司的收益； 5 分
（2） 由题意可知要同时满足以下条件：
， 10 分
解得，即天然气单价最低定为元/. 13 分
【点拨】本题考查函数模型的实际应用，关键是理清题意，根据“收益实际用气量(实际单价成本价)”列出函数关系式，并解对应的不等式组.
16.（17分）（2026·合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为.
（1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1） （2），
【解析】（1） 由题设，当时，令，又发车时间间隔为分钟时的载客量为人，分钟时的载客量为人，
，
； 3 分
当时，，
； 6 分
故时，，
所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； 8 分
（2） 因为，
所以由（1）可得：； 10 分
当时，，
当且仅当等号成立，
则时，（元）； 13 分
当时，在递减，
则（元）； 15 分
综上，发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 17 分
【点拨】本题考查分段函数模型的建立与最值求解.第一问利用待定系数法求出二次函数解析式；第二问将分段函数代入收益公式，利用基本不等式和单调性分别求出各段的最大值再比较.
17.（15分）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么年间的每年的能源消耗费用为万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共年的能源消耗费用总和，求使达到最小值时，隔热层厚度的值.
【答案】（1） （2），
【解析】（1） 由题意得，当时，，解得； 3 分
又； 7 分
（2） ； 10 分
， 13 分
当且仅当，即时，等号成立.
所以当隔热层厚度为厘米时，总费用达到最小，最小值为万元. 15 分
【点拨】本题考查函数模型在实际生活中的应用.通过代入初始条件求出待定系数，再构建总费用函数，利用基本不等式求出最小值.
18.（15分）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，求的最大值.（本题中取进行计算）
【答案】（1）， （2）
【解析】（1） 设圆弧的半径为，根据题意可得：.
. 4 分
.
，，. 8 分
（2） .令，则， 12 分
.
根据基本不等式，，当且仅当，即时取“”.
，时，. 15 分
【点拨】本题考查几何图形面积与周长的计算及基本不等式求最值.关键是正确表示出面积和周长，再通过换元法将分式转化为可利用基本不等式的形式.
19.（17分）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度.
（1） 求关于的函数关系式；
（2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 由题意可知，，，，
弧，，弧. 3 分
扇环周长为弧弧，
解得，. 6 分
（2） 砖雕面积即为图中环形面积，记为，
则弧弧
. 9 分
即雕刻面积与雕刻费用之比为，
则. 12 分
令，则，
， 15 分
当且仅当时（即）取等号.
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为. 17 分
【点拨】本题考查扇形弧长与面积公式的应用以及基本不等式求最值.通过换元法将分式转化为“对勾函数”形式是求最值的关键.
第 2 页，共 17 页第13讲 函数模型及其应用·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过. 已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ 　　）
A. 甲、乙两车均超速
B. 甲车超速但乙车未超速
C. 乙车超速但甲车未超速
D. 甲、乙两车均未超速
2.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ 　　）
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
3.（2025·江西稳派·5月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ 　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4.（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（ 　　）（，精确到年）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位: 时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数. 已知，给氧小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ 　　）小时. （参考数据:,,,）
A. B. C. D.
6.（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·浙江桐乡·检测）某款新能源汽车2025年的产量为辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（ 　　）
（）
A. B. C. D.
8.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的倍，则为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·山东枣庄·一模）已知函数 ，则（ 　　）
A. 为奇函数
B. 的值域是
C. 有极值
D. 存在实数，使得在上的值域为
10.（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数 设函数 ，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有个
11.（2025·江西稳派·5月联考）已知函数 ，且 为曲线 上不同的两点，则（ 　　）
A. 时，曲线在处的切线方程为
B. 时，有最小值
C. 若关于点对称，则
D. 若关于点对称，且恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车＿＿＿＿＿＿.（精确到小时）
13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式. 已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元.
14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要. 则的值为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·安徽合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为元/，年用气量为. 本年度计划将天然气单价下调到元/至元/之间. 用户期望天然气单价为元/，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为）. 已知该地区天然气的成本价为元/.
（1） 写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益（单位:元）关于实际单价（单位:元/）的函数解析式；（收益实际用气量(实际单价成本价)）
（2） 设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加？
16.（15分）（2026·安徽合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为.
（1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量；
（2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
17.（15分）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么年间的每年的能源消耗费用为万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共年的能源消耗费用总和，求使达到最小值时，隔热层厚度的值.
18.（17分）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，求的最大值.（本题中取进行计算）
19.（17分）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度.
（1） 求关于的函数关系式；
（2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值．
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