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2027湘教版高中数学必修第一册
5.2　任意角的三角函数
5.2.1　任意角三角函数的定义
基础过关练
题组一　三角函数的定义及应用
1.(2025北京海淀第一六六中学期中)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边与单位圆交于点,则cos α=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
2.(2025湖南怀化期末)角α以坐标原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边,它的终边与单位圆O相交于第四象限内一点P,且点P的横坐标为,则tan α的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
3.(2025天津河西期中)已知角α的终边上有一点P(-1,2),则cos α=　　　　.
4.已知点P(-4a,3a)(a≠0)是角α终边上的一点,试求sin α,cos α,tan α的值.
题组二　三角函数线及其应用
5.若-<α<-,则sin α,cos α,tan α的大小关系是(　　)
A.sin αB.tan αC.cos αD.sin α6.(多选题)下列说法正确的有(　　)
A.角α一定时,其正弦线确定
B.有相同正弦线的角相等
C.角α和α+π有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
7.(2024山东青岛月考)依据三角函数线作出下列四个判断:①sin=sin;②cos=cos;③tan>tan;④sin>sin.其中判断正确的有　　　　(填序号).
8.利用三角函数线求满足|cos α|>|sin α|的角α的集合.
题组三　三角函数值的符号
9.(2025安徽蚌埠期末)sin 2·cos 3·tan 5的值(　　)
A.大于0　　　　B.小于0
C.等于0　　　　D.不能确定
10.(2024山西太原期末)已知sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是(　　)
A.第一象限角　　　　B.第二象限角
C.第三象限角　　　　D.第四象限角
11.(2024湖北襄阳五中月考)在平面直角坐标系中,点P(tan 2 023°,sin 2 023°)位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　
C.第三象限　　　　D.第四象限
12.(多选题)已知角α的终边经过点(2a-6,a+1),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的值可以是(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.4
能力提升练
题组一　三角函数的定义及其应用
1.(2024河北衡水武强学校期初)若750°角的终边上有一点P(a,3),则a的值是(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.-　　　　D.-3
2.(2025四川内江第六中学期初)已知点P(m,-)(m≠0)在角α的终边上,且cos α=m,则sin α=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
3.(多选题)(2025辽宁大连期末)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上存在两点A(-1,a),B(b,1),且sin α=,则(　　)
A.a=-　　　　B.b=-2
C.cos α=-　　　　D.tan α=-
4.已知角θ的终边上有一点P(x,2x-3)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ的值.
题组二　三角函数值的符号
5.(2025四川宜宾检测)若点P(sin θ,cos θ)位于第四象限,则角θ的终边位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(2025广东广州真光中学月考)“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(多选题)(2025黑龙江大庆石油高级中学期末)已知x∈,则函数y=+-的值可能为(　　)
A.3　　　　B.-3　　　　C.1　　　　D.-1
8.(多选题)(2025湖南长沙期末)设α是第三象限角,则下列函数值一定为负数的是(　　)
A.sin　　　　B.tan　　　　C.cos 2α　　　　D.-sin 2α
9.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边经过点P(-1,m)(m>0),则下列各式的值一定为负的是(　　)
A.sin α+cos α　　　　B.sin α-cos α
C.sin αcos α　　　　D.
10.(2025甘肃平凉庄浪紫荆中学月考)已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m及sin α的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　
2.C　由题意得点P的纵坐标为-=-,
所以tan α==-.
3.答案　-
解析　由题意得|OP|==(O为坐标原点),故cos α==-.
4.解析　由题意得r==5|a|.
当a>0时,r=5a,∴sin α===,cos α===-,tan α===-;
当a<0时,r=-5a,∴sin α==-,cos α==,tan α==-.
5.D　如图,在单位圆中,作内的一个角α及其正弦线、余弦线、正切线.
由图知,OM6.AD　由正弦线的定义可知,当角α一定时,其正弦线确定,故A正确;
与有相同的正弦线,但≠,故B错误;
由正切线的定义可知,当α=时,α和α+π的正切线均不存在,故C错误;易知D正确.
7.答案　②④
解析　①中,如图a所示,根据三角函数线,可得sin>0,sin<0,故sin>sin,所以①不正确;
②中,如图b所示,根据三角函数线,可得-和的余弦线长度相等,方向相同,即cos=cos,所以②正确;
③中,如图c所示,根据三角函数线,可得的正切线的长度大于的正切线的长度,即tan④中,如图d所示,根据三角函数线,可得的正弦线的长度大于的正弦线的长度,即sin>sin,所以④正确.
8.解析　如图,作出单位圆及直线y=x与y=-x,则当角α的终边落在直线y=x与y=-x上时,|cos α|=|sin α|.
由图可知,当角α的终边位于图中阴影部分(不包括边界)时,|cos α|>|sin α|.
所以角α的集合为α<α9.A　因为<2<3<π,所以sin 2>0,cos 3<0,因为<5<2π,所以tan 5<0,
所以sin 2·cos 3·tan 5>0.
10.A　∵|cos θ|=cos θ,∴cos θ≥0,
又sin θcos θ>0,∴sin θ>0,且cos θ>0,
因此角θ是第一象限角.
11.D　∵2 023°=5×360°+223°,∴2 023°是第三象限角,
∴tan 2 023°>0,sin 2 023°<0,∴P(tan 2 023°,sin 2 023°)位于第四象限.
12.BC　因为cos α≤0,sin α>0,
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上,
所以解得-1结合选项可知实数a的值可以是1,3,
能力提升练
1.B　因为750°=2×360°+30°,所以750°角与30°角的终边相同,且为第一象限角,
所以a>0,且sin 750°==sin 30°=,解得a=3.
2.A　因为点P(m,-)(m≠0)在角α的终边上,且cos α=m,
所以cos α==m,解得m2=5,
所以sin α===-.
3.BCD　因为角α的终边过A(-1,a),B(b,1)两点,且sin α=,
所以==,所以a2=,b2=8,
由=,可知a>0,所以角α为第二象限角,所以b<0,所以a=,b=-2,故A错误,B正确,
cos α==-,tan α==-=-,故C,D正确.
4.解析　由题意得tan θ==-x,
解得x=-3或x=1.
当x=-3时,P(-3,-9),r=3,
∴sin θ+cos θ=+=-;
当x=1时,P(1,-1),r=,
∴sin θ+cos θ=+=0.
综上所述,sin θ+cos θ的值为-或0.
5.B　∵点P(sin θ,cos θ)位于第四象限,∴
∴角θ的终边位于第二象限.
6.A　当θ为第一或第四象限角时,cos θ>0,故充分性成立;
当cos θ>0时,θ为第一或第四象限角或终边在x轴非负半轴上的角,故必要性不成立.
所以“θ为第一或第四象限角”是“cos θ>0”的充分不必要条件.
7.BC　当x为第一象限角时,y=+-=1+1-1=1;
当x为第二象限角时,y=+-=1-1+1=1;
当x为第三象限角时,y=+-=-1-1-1=-3;
当x为第四象限角时,y=+-=-1+1+1=1.
8.BD　对于A,B,由已知可得π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,
所以+kπ<<+kπ,k∈Z,
当k为偶数时,设k=2n,n∈Z,则+2nπ<<+2nπ,n∈Z,此时为第二象限角;
当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z,则+2nπ<<+2nπ,n∈Z,此时为第四象限角.
综上所述,为第二或第四象限角,所以不能确定sin的正负,tan<0,故A错误,B正确.
对于C,D,因为2π+4kπ<2α<3π+4kπ,k∈Z,所以2α为第一或第二象限角或终边落在y轴非负半轴上,所以不能确定cos 2α的正负,sin 2α>0,-sin 2α<0,故C错误,D正确.
9.CD　由题意得r==,
则sin α==>0,
cos α==-<0,
tan α==-m<0.
sin α+cos α=,而m-1的符号无法确定,所以A不符合题意;
sin α-cos α=>0,所以B不符合题意;
sin αcos α<0,所以C符合题意;
<0,所以D符合题意.
10.解析　(1)∵=-,∴sin α<0.①
∵lg(cos α)有意义,∴cos α>0.②
由①②得角α的终边位于第四象限.
(2)∵点M在单位圆上,
∴+m2=1,解得m=±.
由(1)知α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由三角函数的定义知,sin α=-.
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