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2027湘教版高中数学必修第一册
5.2.2　同角三角函数的基本关系
基础过关练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求值
1.(教材习题改编)已知α∈,tan α=-3,则cos α=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
2.(2025福建泉州期末)已知1-sin α=cos α,α∈,则tan α=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.2　　　　D.-2
3.已知cos α=-,且tan α>0,则=　　　　.
题组二　利用同角三角函数的基本关系化简或证明
4.(2024广西南宁模拟)已知cos α-sin α=2sin αtan α,其中α为第一象限角,则tan α=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2
5.(多选题)(2024江苏南通海安高级中学月考)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是(　　)
A.tan α=-
B.=sin α-cos α
C.cos α=-
D.=sin α+cos α
6.化简·cos2α的结果是(　　)
A.tan α　　　　B.sin α　　　　C.cos α　　　　D.
7.(2025山西太原期末)证明下列恒等式:
(1)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=1;
(2)2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.
题组三　sin α±cos α、sin αcos α之间的关系
8.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
9.(多选题)(2025甘肃陇南第一中学期末)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　)
A.θ∈　　　　B.cos θ=　　　　
C.tan θ=-　　　　D.sin θcos θ=-
10.设sin θ,cos θ是关于x的方程4x2+2ax+a=0的两个根,则a的值为　　　　.
题组四　正、余弦齐次式的求值
11.(2025河北沧州期中)已知tan α=3,则=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
12.(2025天津南开质量监测)若=,则tan α=　　　　.
13.已知tan θ=2,则=　　　　.
能力提升练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求值
1.(多选题)(2025湖北黄冈期末)已知α∈R,sin α+cos α=,那么tan α的值可能为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2+　　　　B.-2+　　　　C.2-　　　　D.-2-
2.(2023黑龙江牡丹江月考)若α∈,tan α=,则tan α=(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D.
3.(多选题)(2025吉林长春外国语学校月考)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列等式正确的是(　　)
A.m=-　　　　B.sin α-cos α=
C.tan α=　　　　D.cos2α-sin2α=-
4.(2024江苏扬州仪征中学月考)已知sin α=,cos α=-,且α为第二象限角,则m的值为　　　　.
5.已知cos θ=-,且tan θ>0,则的值为　　　　.
题组二　利用同角三角函数的基本关系化简或证明
6.(2025四川雅安期末)已知α是第四象限角,则化简-的结果为(　　)
A.-2tan α　　　　B.2tan α　　　　
C.tan α　　　　D.-tan α
7.(2025湖南名校联考联合体期末)化简:-2sin α+cos2αsin α=　　　　.
8.(1)证明:-=;
(2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
题组三　正、余弦齐次式的求值问题
9.已知tan θ=2,则(sin θ-3cos θ)2-1的值为(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
10.(2025甘肃张掖部分学校质量检测)(1)已知α是第三象限角,且tan α是方程x2-x-2=0的一个实根,求sin2α-2sin αcos α+3cos2α的值;
(2)已知sin α-cos α=,且α∈(0,π),求+的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　解法一:由解得cos α=±.
又α∈,因此cos α=-.
解法二:由α∈可知cos α<0.
又cos2α===,
因此cos α=-.
2.B　因为1-sin α=cos α,所以(cos α+sin α)2=1,
又cos2α+sin2α=1,所以(cos α+sin α)2=cos2α+sin2α,
化简得cos2α+2cos αsin α=0,
因为α∈,所以cos α≠0,
所以2tan α+1=0,解得tan α=-.
3.答案　-
解析　由cos α=-<0,tan α>0,知α是第三象限角,
所以sin α=-,
故==-.
4.B　由α为第一象限角得,cos α>0,tan α>0,
因为cos α-sin α=2sin αtan α,所以1-tan α=2tan2α,即2tan2α+tan α-1=0,
解得tan α=或tan α=-1(舍去).
5.BC　由同角三角函数的基本关系,知tan α=,所以A错误;
因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,
因此==sin α-cos α,所以B正确,D错误;
由sin2α+cos2α=1及cos α<0得cos α=-,所以C正确.
6.D　·cos2α=·cos2α=·cos2α==.
7.证明　(1)左边=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+sin2β+cos2αcos2β=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β
=cos2β+sin2β=1=右边,
所以原等式成立.
(2)右边=sin2α+cos2α+1-2sin α+2cos α-2sin αcos α
=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α
=2(1-sin α+cos α-sin αcos α)
=2(1-sin α)(1+cos α)=左边,
所以原等式成立.
8.A　由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=.
∵θ是第三象限角,∴sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=.
9.AD　由sin θ+cos θ=,两边平方得1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-<0,故sin θ,cos θ异号,
因为θ∈(0,π),所以θ∈,故sin θ>0,cos θ<0,
由解得故tan θ=-.
10.答案　1-
解析　依题意可得
由4a2-16a≥0,得a≤0或a≥4.
∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,
∴1+2×=,即a2-2a-4=0,
解得a=1-或a=1+(舍去),∴a=1-.
11.D　由题意得===-.
12.答案　-
解析　由=,可得=,解得tan α=-.
13.答案　
解析　====.
能力提升练
1.BD　因为sin α+cos α=,sin2α+cos2α=1,
所以或
所以tan α=-2+或tan α=-2-.
2.D　因为tan α=,所以=,
所以2sin α-sin2α=cos2α,
所以2sin α=sin2α+cos2α=1,所以sin α=,
又α∈,所以cos α==,
所以tan α=.
3.BD　由sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,
得
由(sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α,得=1-,解得m=,故A错误;
由α∈(0,π),得sin α>0,
又sin α·cos α=-=-<0,所以cos α<0,
所以sin α-cos α>0,
又(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1+=,
所以sin α-cos α=,故B正确;
由得
所以tan α==-,故C错误;
cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确.
4.答案　4
解析　∵sin α=,cos α=-,
∴+=1,解得m=4或m=.
∵α为第二象限角,
∴>0,且-<0,解得m<-1或m>,
∴m=4.
5.答案　-
解析　∵cos θ=-,且tan θ>0,∴sin θ=-,
∴===(1+sin θ)·sin θ=×=-.
6.B　∵α为第四象限角,∴cos α>0,
∴-=-
=-==2tan α.
7.答案　
解析　原式=(sin α-2sin αcos2α+cos4αsin α)
=(1-2cos2α+cos4α)=
==.
8.证明　(1)左边=
=
=
=
==右边,
所以原等式成立.
(2)因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1=2tan2β+2,所以+1=2,所以+1=2,所以=,所以cos2β=2cos2α,所以1-sin2β=2(1-sin2α),即sin2β=2sin2α-1.
9.A　∵tan θ=2,
∴(sin θ-3cos θ)2-1=sin2θ-6sin θcos θ+9cos2θ-1
=8cos2θ-6sin θcos θ=
===-.
10.解析　(1)由x2-x-2=0,得x=-1或x=2,
∵tan α是方程x2-x-2=0的一个实根,且α是第三象限角,
∴tan α=2,
∴sin2α-2sin αcos α+3cos2α=
===.
(2)∵sin α-cos α=,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
则sin αcos α=>0,
∵α∈(0,π),∴sin α>0,cos α>0,
∴cos α+sin α====,
故+===.
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