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2027湘教版高中数学必修第一册
5.2.3　诱导公式
基础过关练
题组一　利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2025黑龙江双鸭山第一中学月考)sin 390°的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.-
2.(多选题)(2025山西忻州期末)下列与sin的值相等的是(　　)
A.cos　　　　B.cos　　　　C.sin　　　　D.sin
3.若a=tan,b=tanπ,则a,b的大小关系是　　　　.(用“>”连接)
4.(2025辽宁沈阳期初)计算:
(1)tan-tan;
(2)tan 1 200°+3tan 390°+tan 765°;
(3)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°.
题组二　利用诱导公式解决给值求值问题
5.(2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知sin(3π+α)=,则cos=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
6.(2024北京广渠门中学开学考试)已知sin 37°=a,则cos 593°=(　　)
A.a　　　　B.-a　　　　C.　　　　D.-
7.已知sin=,则cos=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
8.(2023安徽合肥五中月考)已知tan(5π+α)=2,求的值.
题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题
9.化简sincos(π-θ)+cossin(π+θ)=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.-cos 2θ　　　　D.cos 2θ
10.(多选题)(2025江西部分学校月考)在△ABC中,下列等式恒成立的是(　　)
A.sin A-sin(B+C)=0　　　　B.cos A-cos(B+C)=0
C.cos-sin=0　　　　D.cos-cos=0
11.化简:=　　　　.
12.(2025上海期末)证明:
=sin x.
能力提升练
题组一　利用诱导公式解决求值问题
1.已知sin θ=,则=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
2.在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点P(m,1),则cos=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
3.(2025江苏无锡期末)已知sin α+cos α=-,则的值为(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
4.(2025山东济宁第一中学月考)已知sin=,且α∈,则cos=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
5.(2025四川泸州高级中学月考)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,不可能与角α“广义互余”的是(　　)
A.sin β=　　　　B.cos(π+β)=
C.tan β=-　　　　D.cos(2π-β)=
6.已知f(θ)=.
(1)若f(θ)=,则tan θ的值为　　　　;
(2)若f =,则f 的值为　　　　.
题组二　利用诱导公式解决恒等变形问题
7.(多选题)(2025湖南名校大联考期末)已知角α和β的终边关于x轴对称,则(　　)
A.sin α=-sin β　　　　B.tan α=tan β
C.sin=cos β　　　　D.cos(π-α)=cos β
8.(多选题)已知角α满足sin α·cos α≠0,则+(k∈Z)的取值可能为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.0
9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证:sin=cos.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　sin 390°=sin(360°+30°)=sin 30°=.
2.AD　sin=sin=sin=-sin=-,
cos=-,cos=,
sin=sin=,sin=-.
3.答案　a>b
解析　a=tan=tan=tan=tan=-tan=-1,
b=tanπ=tan=tan=tan=-tan=-,故a>b.
4.解析　(1)tan-tan=-tan+tan=-tan+tan=.
(2)tan 1 200°+3tan 390°+tan 765°=tan 120°+3tan 30°+tan 45°=-+3×+1=1.
(3)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°=-cos 60°(-sin 30°)-tan 45°=-×-1=-.
5.D　由sin(3π+α)=,得-sin α=,则sin α=-.
∴cos=-sin α=.
6.B　cos 593°=cos(2×360°-127°)=cos(-127°)=cos 127°=cos(90°+37°)=-sin 37°=-a.
7.B　cos=cos=-sin=-.
解题模板　解决条件求值问题的关键是找到已知式和待求式中角的关系,根据此关系结合诱导公式进行转化,从而达到求值的目的.
8.解析　因为tan(5π+α)=tan α=2,
所以
==
===3.
9.A　sincos(π-θ)+cossin(π+θ)=cos θ(-cos θ)+sin θ(-sin θ)=-1.
10.AC　在△ABC中,B+C=π-A,
对于A,sin A-sin(B+C)=sin A-sin(π-A)=0,故A正确;
对于B,cos A-cos(B+C)=cos A-cos(π-A)=2cos A,cos A不一定为0,故B错误;
对于C,cos-sin=cos-sin=0,故C正确;
对于D,cos-cos=cos-cos=cos-sin,cos-sin不一定为0,故D错误.
11.答案　-1
解析　
=
=-1.
12.证明　左边==tan xcos x=sin x=右边,故等式成立.
能力提升练
1.B　==,
∵sin θ=,∴sin2θ=,∴cos2θ=1-sin2θ=,
∴=.
2.A　因为点P(m,1)在单位圆上,
所以m2+12=1,解得m=0,
所以P(0,1)为单位圆与y轴非负半轴的交点,
所以α=+2kπ(k∈Z),
所以cos=cos=cos=-sin=-.
3.A　因为sin α+cos α=-,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,
所以======-.
4.C　∵sin=,α∈,∴+α∈,
∴cos=-=-,
∴cos=cos
=-cos=.
5.B　因为sin(π+α)=-,所以-sin α=-,所以sin α=,若α与β“广义互余”,则α+β=,即α=-β,故sin=,所以cos β=.
若β是第一象限角,则sin β=,tan β=;
若β是第四象限角,则sin β=-,tan β=-.
故A,C不符合题意.
cos(π+β)=-cos β=-,故B符合题意.
cos(2π-β)=cos β=,故D不符合题意.
6.答案　(1)2或-2　(2)-
解析　f(θ)===cos θ.
(1)∵f(θ)=,∴cos θ=.
当θ为第一象限角时,sin θ==,tan θ==2;
当θ为第四象限角时,sin θ=-=-,tan θ==-2.
(2)∵+=π,且f =cos=,
∴f =cos=cos=-cos=-.
7.AC　因为角α和β的终边关于x轴对称,所以α=-β+2kπ,k∈Z.
对于A,由于sin α=sin(-β+2kπ)=-sin β,k∈Z,所以A正确;
对于B,由于tan α=tan(-β+2kπ)=tan(-β)=-tan β,k∈Z,所以B错误;
对于C,由于sin=cos α=cos(-β+2kπ)=cos(-β)=cos β,k∈Z,所以C正确;
对于D,由于cos(π-α)=-cos α=-cos(-β+2kπ)=-cos β,k∈Z,所以D错误.
8.AC　当k为奇数时,原式=+=(-1)+(-1)=-2;
当k为偶数时,原式=+=1+1=2.
∴原式的取值可能为-2,2.
9.证明　在△ABC中,A+B+C=π,则=(π-A).
∴cos=cos
=cos=cos
=sin,
∴sin=cos.
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