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2027湘教版高中数学必修第一册
5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正弦(型)函数、余弦(型)函数的图象及其应用
1.用“五点法”作函数y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　)
A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1)
B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),,,,
2.(教材习题改编)函数y=sin在区间上的图象是　(　　)
3.(2024陕西西安期末)函数y=的定义域为(　　)
A.
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.R
4.函数f(x)=sin +ln x的零点个数是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
5.(2024山东青岛期末)当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象的所有交点的横坐标之和为(　　)
A.π　　　　B.2π　　　　C.3π　　　　D.4π
6.(多选题)(2024江苏江都中学期中)下列x的取值范围能使cos x>sin x成立的是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.∪
题组二　正弦(型)函数、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与对称性
7.(2024黑龙江牡丹江一中期末)函数f(x)=sin的图象的一条对称轴方程为(　　)
A.x=　　　　B.x=　　　　C.x=　　　　D.x=
8.(2025江苏淮安调研)已知函数f(x)=sin(2x+φ),x∈R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
9.(多选题)已知函数f(x)=2sin(-x),则下列结论中正确的有(　　)
A.函数f(x)是奇函数
B.函数f(x)的一个周期为2π
C.函数f(x)图象的一个对称中心为(π,0)
D.函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ(k∈Z)
题组三　正弦(型)函数、余弦(型)函数的单调性与最值
10.(2024重庆联考)下列关于函数y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性的叙述正确的是(　　)
A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数
B.在和上是增函数,在上是减函数
C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数
D.在上是增函数,在和上是减函数
11.(2025安徽部分学校期末)函数y=sin的值域为(　　)
A.[0,1]　　　　B.
C.　　　　D.
12.(2024陕西西安高新一中月考)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.　　　　C.(0,1]　　　　D.[1,+∞)
13.(多选题)(2025辽宁沈阳广全实验学校月考)下列不等式中成立的是(　　)
A.sin 1cos 2
C.cos(-70°)>sin 18°　　　　D.sin>sin
14.(2024江苏盐城期中)函数f(x)=2sin在[0,π]上的单调递增区间为　　　　.
15.(2025江苏扬州期末)函数y=sin2x-cos x+1的值域为　　　　.
16.(2024湖南株洲二中期末)f(x)=的单调递减区间是　　　　　　.
17.(2024甘肃嘉峪关期末)已知函数f(x)=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=-4asin的最小值,并求出取最小值时x的取值集合.
能力提升练
题组一　正弦(型)函数、余弦(型)函数的图象与性质
1.设函数f(x)=sin,若点是函数f(x)图象的对称中心,则实数m的值可以为　(　　)
A.　　　　
B.　　　　
C.　　　　
D.-
2.(2025甘肃天水第二中学检测)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(　　)
A.[-1,1]　　　　B.(1,3)
C.(-1,0)∪(0,3)　　　　D.[1,3]
3.函数f(x)=2的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4.(2025甘肃靖远第一中学期末)设函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)≤f 对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　.
5.(2025甘肃白银期末)已知ω∈N+,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的最大值为　　　　　.
题组二　正弦(型)函数、余弦(型)函数性质的综合应用
6.(多选题)(2025河南南阳第一中学开学考试)已知函数f(x)=cos x+,则(　　)
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线x=π对称
D.f(x)的图象关于点中心对称
7.(多选题)(2025湖南长沙实验中学期末)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列选项正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期是2π
B. f(x)在区间上单调递减
C. f(x)在[-π,π]上有4个零点
D. f(x)的最大值为2
8.设函数f(x)=Asin(2x+φ),函数f(x)的最小值为-2,且x=为函数f(x)的一个零点.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意的x∈,不等式f(x)>m-3恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　
2.A　当x=0时,y=sin=-<0,故排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,故排除C.
3.C　要使函数y=有意义,应满足cos x≥,结合余弦函数的图象可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
所以函数的定义域为,k∈Z.
4.B　函数f(x)=sin +ln x的零点个数,即y=-sin (x>0)与y=ln x的图象的交点个数,在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图:
结合图象可知,两个函数图象的交点有1个,因此函数f(x)=sin +ln x的零点有1个.
5.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象如下,
由图可得,函数f(x)=sin x的图象和g(x)=|cos x|的图象在(0,2π)上有两个交点.
当x∈时, f(x)=g(x)即sin x=cos x,则tan x=1,所以x=,
当x∈时, f(x)=g(x)即sin x=-cos x,则tan x=-1,所以x=,
故所有交点的横坐标之和为+=π.
6.AC　在同一平面直角坐标系中画出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,如图,
在[0,2π]内,当cos x=sin x时,x=或x=,结合图象可知满足cos x>sin x的x的取值范围是∪.
7.D　令x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z.结合选项可知D正确.
8.A　若f(0)=0,则sin φ=0,则φ=kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin(2x+kπ)=±sin 2x,则f(x)为奇函数.
若f(x)为奇函数,则f(0)=0.
所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.
9.ABC　因为f(x)的定义域是R,关于原点对称,且f(-x)=2sin x=-2sin(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故A正确;因为f(x+2π)=2sin[-(x+2π)]=2sin(-x)=f(x),所以f(x)的一个周期为2π,故B正确;函数f(x)图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),所以(π,0)是f(x)图象的一个对称中心,故C正确;函数f(x)图象的对称轴方程为x=+kπ(k∈Z),故D错误.
10.D　因为y=4sin x的单调递增区间为2kπ-,2kπ+,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z,
所以函数y=4sin x在上是增函数,在和上是减函数.
11.C　由0≤x≤,得≤2x+≤,则y=sin∈.
12.C　当x∈时,ωx+∈,
由于函数f(x)=sin在区间上单调递增,所以+≤,又ω>0,所以0<ω≤1,则ω的取值范围是(0,1].
13.ACD　对于A,∵y=sin x在上单调递增,且0<1<<,∴sin 1对于B,∵y=cos x在上单调递减,且<2<<π,∴cos对于C,∵cos(-70°)=cos 70°=sin 20°,且sin 20°>sin 18°,∴cos(-70°)>sin 18°,故C正确;
对于D,∵sin=sin=sin,sin=sin=sin,且sinsin,故D正确.
14.答案　和
解析　f(x)=sin=-sin,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
则f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
令A=,k∈Z,B=[0,π],
当k=0时,A=,则A∩B=;
当k=1时,A=,则A∩B=.
∴f(x)在[0,π]上的单调递减区间为和.
15.答案　
解析　y=2-cos2x-cos x=-+,
又cos x∈[-1,1],
所以当cos x=-时,ymax=;当cos x=1时,ymin=-+=0,所以函数的值域为.
16.答案　,k∈Z
解析　函数f(x)的定义域满足sin x≥,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的定义域为,k∈Z,
又y=在[0,+∞)上单调递增,故f(x)的单调递减区间即为y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间,易知y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间为,k∈Z,
所以函数f(x)=的单调递减区间为,k∈Z.
17.解析　(1)由题意知cos∈[-1,1].∵b>0,
∴∴
(2)由(1)知a=,b=1,∴g(x)=-2sin.
∵sin∈[-1,1],∴g(x)∈[-2,2].
∴g(x)的最小值为-2,此时sin=1,则x-=2kπ+,k∈Z,∴x=2kπ+,k∈Z,故g(x)取最小值时x的取值集合为xx=2kπ+,k∈Z.
能力提升练
1.A　∵点是函数f(x)图象的对称中心,
∴m-=kπ,k∈Z,则m=k+,k∈Z,
分别令k=-1,0,1,2,得m=-,,,.
2.B　当x∈[0,π]时,sin x≥0,则f(x)=sin x+2|sin x|=sin x+2sin x=3sin x,
当x∈(π,2π]时,sin x≤0,则f(x)=sin x+2|sin x|=sin x-2sin x=-sin x,故f(x)=
作出函数f(x)的大致图象,如图,
由图可知k∈(1,3).
3.D　f(x)=2=2,
易知f(x)是由y=2,t=cos复合而成的,因为y=2在定义域上单调递增,所以要想求f(x)的单调递减区间,只需求t=cos的单调递减区间,且保证cos≥0即可,
则2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
4.答案　
解析　因为f(x)≤f 对任意的实数x都成立,所以f(x)的最大值为f ,
则ω-=2kπ+(k∈Z),可得ω=12k+(k∈Z).
因为ω>0,所以当k=0时,ω取最小值,最小值为.
5.答案　10
解析　因为x∈,
所以ωx+∈,
设t=ωx+,则y=sin t在上单调递减,
所以k∈Z,
解得+8k≤ω≤4+6k,k∈Z,
又ω∈N+,所以k∈Z,解得k=0或k=1,
当k=0时,ω∈,当k=1时,ω∈,
所以ω的最大值为10.
6.BCD　∵cos x≠0,∴x≠kπ+,k∈Z,令t=cos x,则t∈[-1,0)∪(0,1],易知y=t+在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递减,∴y∈(-∞,-2]∪[2,+∞),∴f(x)没有最小值,故A错误;
∵x≠kπ+,k∈Z,∴f(x)的定义域关于原点对称,
又f(-x)=cos(-x)+=cos x+=f(x),
∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故B正确;
f(π+x)=cos(π+x)+=-cos x-, f(π-x)=cos(π-x)+=-cos x-,∴f(π-x)=f(π+x),∴f(x)的图象关于直线x=π对称,故C正确;
f =cos+=sin x+,
-f =-
=sin x+,∴f =-f ,∴f(x)的图象关于点,0中心对称,故D正确.
7.BD　选项A,令x=-,得f=sin+=+=1, f=sin+=-+=0,此时f(x)≠f(x+2π),故A错误;
选项B,当x∈时,sin x>0,所以f(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,则f(x)在区间上单调递减,故B正确;
选项C,f(x)=sin|x|+|sin x|=
若x∈[-π,0),令f(x)=0,得-2sin x=0,解得x=-π,
若x∈[0,π],令f(x)=0,得2sin x=0,解得x=0或x=π,
所以函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误;
选项D,因为sin|x|≤1,|sin x|≤1,所以f(x)=sin|x|+|sin x|≤2,
又f=sin+=2,所以f(x)的最大值为2,故D正确.
8.解析　(1)因为A>0,函数f(x)的最小值为-2,所以A=2.
又因为x=为函数f(x)的一个零点,所以+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.
因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)当x∈时,2x+∈,
所以≤sin≤1,所以1≤f(x)≤2,
所以要使f(x)>m-3对任意的x∈恒成立,
只需f(x)min>m-3,即m-3<1,解得m<4.
故实数m的取值范围为(-∞,4).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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