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2027湘教版高中数学必修第一册
5.3.2　正切函数的图象与性质
基础过关练
题组一　正切(型)函数的图象及应用
1.满足tan A>-1的三角形的内角A的取值范围是(　　)
A.　　　　B.∪
C.　　　　D.∪
2.函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是　　　　(填序号).
题组二　正切(型)函数的定义域、值域
3.(2025山东聊城第一中学月考)函数y=3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.(2024河南三门峡期末)函数y=tan,x∈的值域为　　　　.
5.若“ x∈,tan x6.(2024河北张家口期末)函数f(x)=-tan2x+tan x+1,x∈的值域是　　　.
题组三　正切(型)函数的性质及其应用
7.(2024北京第一六一中学期中)已知a=tan 2,b=tan 3,c=tan 5,则下列大小关系正确的是(　　)
A.a>b>c　　　　B.aa>c　　　　D.b8.(多选题)(2024湖北部分学校期末联考)已知函数f(x)=tan,则(　　)
A. f(x)的一个周期为
B. f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z
C. f(x)图象的对称中心为,k∈Z
D. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
9.(2024湖北荆州八县市期末)已知函数f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
能力提升练
题组　正切(型)函数的图象及性质
1.(2025四川绵阳中学期末)函数y=lg(tan x-1)的定义域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
2.(2025江苏海安高级中学检测)“函数y=tan的图象关于点对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025宁夏银川一中期末)已知a=tan,b=sin,c=tan,则实数a,b,c的大小关系为(　　)
A.b4.(2025湖南长沙明德中学期中)已知函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=sin x+tan x,若函数f(x)在[-3π,4π]上的零点为x1,x2,…,xn,则x1+x2+…+xn=(　　)
A.2π　　　　B.4π　　　　C.6π　　　　D.8π
5.(多选题)(2025云南昆明期末)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的有(　　)
A.f(x)的最小正周期为
B.点是f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)的值域为[0,+∞)
D.不等式f(x)>2的解集为+kπ,+kπ(k∈Z)
6.有以下三个条件:①定义域不是R,但值域为R;②在(-1,1)上单调递减;③是奇函数.写出一个同时满足以上三个条件的函数:f(x)=　　　　.
7.若函数y=tan+k,x∈的图象都在x轴上方,则实数k的取值范围为　　　　.
8.(2024浙江衢州期末)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　因为A为三角形的内角,所以0由tan A>-1,结合正切曲线(如图)得A∈∪.
2.答案　①②④③
解析　易知y=tan x的图象对应②;
∵|tan x|≥0,∴y=|tan x|的图象在x轴上及x轴上方,∴y=|tan x|的图象对应①;
∵y=tan|x|是偶函数,∴其图象关于y轴对称,
∴y=tan|x|的图象对应③;
y=tan(-x)的图象与y=tan x的图象关于y轴对称,∴y=tan(-x)的图象对应④.
3.C　令2x+≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,因此函数的定义域是.
4.答案　
解析　当x∈时,x-∈,所以y=tan∈.
5.答案　-
解析　由题意可知“ x∈,tan x≥m”为真命题,此时tan x∈[-,],∴m≤-,∴实数m的最大值为-.
6.答案　
解析　∵x∈,∴tan x∈[-1,1],
∵f(x)=-tan2x+tan x+1=-+,
∴-1≤f(x)≤.
7.C　tan 2=tan(-π+2),tan 3=tan(-π+3),tan 5=tan(-2π+5),
∵-<-2π+5<-π+2<-π+3<0,且y=tan x在上单调递增,
∴tan(-π+3)>tan(-π+2)>tan(-2π+5),
∴tan 3>tan 2>tan 5,故b>a>c.
8.ABD　因为最小正周期T=,
所以是f(x)=tan的一个周期,A正确;
令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z,B正确;
令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,C错误;
令-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,解得-+所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,D正确.
9.解析　(1)由题意知, f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称,
∴2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,故f(x)=tan,
令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,
得-+∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知f(x)=tan,
由-1≤tan≤,
得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,
即-+≤x≤+,k∈Z,
∴不等式-1≤f(x)≤的解集为x-+≤x≤+,k∈Z.
能力提升练
1.A　令y=lg t,t=tan x-1,
因为函数y=lg t的定义域为{t|t>0},
所以tan x-1>0,解得,
所以y=lg(tan x-1)的定义域为x+kπ2.B　当函数y=tan的图象关于点对称时,-φ=,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,推不出φ=+kπ,k∈Z,故充分性不成立.
当φ=+kπ,k∈Z时,y=tan=tan,
由-=,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,则函数图象的对称中心为,k∈Z,
令k=0,得对称中心为,故必要性成立.
综上,“函数y=tan的图象关于点对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的必要不充分条件.
3.A　a=tan,b=sin=sin=sin,
c=tan=tan=tan,
∵y=tan x在上单调递增,
∴tan>tan,故c>a,
∵0∴a=tan=>sin=b,
∴b4.B　由f(x)-2f(-x)=sin x+tan x①,可得f(-x)-2f(x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x②,
联立①②得f(x)=(sin x+tan x),
易知f(x)为奇函数,故f(x)的图象关于原点对称,
则函数y=f(x)在[-3π,3π]上的图象关于原点对称,
故函数y=f(x)在[-3π,3π]上的零点也关于原点对称,和为0,
则f(x)在(3π,4π]上的零点之和即f(x)在[-3π,4π]上的零点之和,
令f(x)=0,即sin x+tan x=0,即sin x=-tan x,x∈(3π,4π],
作出y=sin x和y=-tan x在同一坐标系中的图象,如图,
由图可知y=f(x)在x∈(3π,4π]内的零点为4π,
故x1+x2+…+xn=4π.
5.CD　f(x)=tan x+|tan x|
=作出f(x)的图象,如图,
由图象知, f(x)的最小正周期为π,故A错误;
f(x)的图象没有对称中心,故B错误;
f(x)的值域为[0,+∞),故C正确;
由f(x)>2,得2tan x>2,即tan x>1,所以+kπ所以f(x)>2的解集为(k∈Z),D正确.
6.答案　-tan x(答案不唯一)
7.答案　[,+∞)
解析　因为函数y=tan+k,x∈的图象都在x轴上方,
所以y=tan+k>0在x∈上恒成立,
所以k>-tan对于任意x∈恒成立,
因为x∈,
所以2x-∈,
所以tan∈(-,0),
所以-tan∈(0,),
所以k≥.
所以实数k的取值范围为[,+∞).
8.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,],
易知当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可得g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,
即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z.
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