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2027湘教版高中数学必修第一册
5.4　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
基础过关练
题组一　三角(型)函数图象的变换和作法
1.(2025北京师范大学附属中学期中)将y=cos的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为(　　)
A.y=sin 2x　　　　B.y=cos 2x
C.y=cos　　　　D.y=cos
2.要得到函数y=2sin 2x的图象,只要将函数y=2sin(2x+1)的图象(　　)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.(2025山东省实验中学检测)将函数f(x)=sin 2x的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,再向右平移个单位长度,所得图象对应的函数g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=sin　　　　B.g(x)=sin
C.g(x)=sin　　　　D.g(x)=sin
4.(2025安徽六安期末)已知函数f(x)=cos.
(1)在用“五点法”作函数f(x)的图象时,列表如下:
2x- π 2π
x
f(x) 1 0 -1 1
完成上述表格,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象;
(2)说明该函数的图象可由y=cos x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到.
题组二　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
5.若简谐振动的函数解析式为y=4sin,则该简谐振动的相位与初相分别是(　　)
A.5x-,　　　　B.5x-,4
C.5x-,-　　　　D.4,
6.已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则φ的值可以为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
7.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示, f =-,则f(0)=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
8.(2024湖南长沙明德中学期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于(　　)
A.　　　　B.0　　　　C.+2　　　　D.-2
9.(2025黑龙江牡丹江期末)已知x1,x2是函数f(x)=2sin(ω>0)的两个不同的零点,且|x1-x2|的最小值是,有以下四个命题:
①函数f(x)的一个周期是π;
②函数f(x)的图象关于直线x=-对称;
③函数f(x)的图象关于点(π,0)中心对称;
④函数f(x)的图象可由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.
其中正确命题的序号是　　　　.
10.(2025甘肃白银第八中学检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象上相邻两个最高点的距离为π,其中一个最高点的坐标为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间.
11.(2025江苏扬州中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象,如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域.
能力提升练
题组一　三角函数图象的变换和作法
1.(2025山东青岛九中期末)要得到函数g(x)=cos的图象,可以将函数f(x)=sin的图象(　　)
A.向右平移个单位长度　　　　
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度　　　　
D.向左平移个单位长度
2.(2024山东青岛第二中学月考)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再把所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　)
A.sin　　　　B.sin
C.cos　　　　D.cos
3.(2024江西南昌第十九中学月考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据.
(1)求函数f(x)的解析式,并补全表中数据;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
题组二　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用
4.(2025湖北武汉期末)已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于点对称
B.f 为奇函数
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=对称
5.若函数f(x)=sin(0<ω<3)的图象向右平移个单位长度后关于点对称,则f(x)在上的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.
6.(2024浙江杭州第二中学月考)函数f(x)=sin的图象与直线y=a在区间上恰有三个交点,其横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
7.(2025甘肃白银靖远第一中学期末)乐器通过敲打震动发出的声音可以用函数模型f(x)=sin(ωx+φ)来刻画,其中ω>0,0<φ<π.若函数f(x)的图象经过点,且f(x)在上单调递增,则ω的最大值是(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
8.(2025河南南阳淅川第一高级中学检测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ABC是等腰直角三角形,A,B为f(x)的图象与x轴的交点,C为f(x)图象的一个最高点,且|OB|=3|OA|,则(　　)
A.f(6)=
B.f(1)+f(9)=0
C.f(x)在(3,5)上单调递减
D.函数f(x)的图象关于点中心对称
9.(2025陕西安康中学诊断性测试)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f =　　　　.
10.已知函数f(x)=cos(ω>0)在[0,2π]上有且仅有2个零点,则整数ω的值为　　　　.
11.(2024甘肃白银靖远第四中学期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及图象对称中心的坐标;
(2)先把f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若当x∈时,关于x的方程g(x)+2a-1=0有实数根,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　将y=cos的图象向右平移个单位长度,得到y=cos=cos的图象.
2.D　y=2sin(2x+1)=2sin,故要得到函数y=2sin 2x的图象,只要将函数y=2sin(2x+1)的图象向右平移个单位长度.
易错警示　在横向变换中,要注意x的系数ω对平移的影响,解题时要先提出ω.
3.C　将f(x)=sin 2x的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的得到y=sin 4x的图象,再将所得图象向右平移个单位长度后得到g(x)=sin=sin的图象.
4.解析　(1)补全表格如下:
2x- 0 π 2π
x
f(x) 1 0 -1 0 1
易得f(0)=f(π)=,则f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
(2)先将y=cos x的图象向右平移个单位长度,可得y=cos的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,可得y=cos的图象.
5.C　相位是5x-,初相是当x=0时的相位,即-.
6.A　由题意得g(x)=f(x-φ)=sin,
∵g(x)为奇函数,
∴-2φ=kπ(k∈Z),解得φ=-(k∈Z).
令k=0,得φ=.
7.C　由题图可知函数f(x)的最小正周期T=2×=,故ω==3.将代入函数f(x)的解析式,得Acos=0,故+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+(k-2)π(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=Acos.
又f =Acos=-Asin=-,所以A=,所以f(x)=cos.
所以f(0)=cos=×=.
8.B　由题图得A=2,最小正周期T=8,故ω==,
又f(0)=0且|φ|<,所以φ=0,故f(x)=2sinx.
根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=, f(2)=-f(6)=2, f(4)=f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]=0.
9.答案　①②
解析　因为|x1-x2|的最小值是,所以最小正周期T=2×=π,①正确;又T==π,ω>0,所以ω=2,
所以f(x)=2sin,
所以f =2sin=2sin=-2,所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称,②正确;
f(π)=2sin=-2sin=-1≠0,所以点(π,0)不是f(x)的图象的对称中心,③错误;
f(x)=2sin=2sin,所以函数f(x)的图象可由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到,④错误.
10.解析　(1)由题意得f(x)的最小正周期T==π,又ω>0,所以ω=2,
因为f(x)图象的一个最高点的坐标为,所以A=3,2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin.
(2)当x∈[0,π]时,2x+∈,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
因为x∈[0,π],所以分别取k=0,1,
所以函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为,.
11.解析　(1)由题图可知函数f(x)的最大值为,即A=,最小正周期T=2×=π,
又=π,ω>0,所以ω=2.
将代入f(x)=sin(2x+φ),
可得sin=0,所以+φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=sin.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin=sin的图象,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)=sin的图象,所以g(x)=sin.
由x∈,得4x-∈,
所以sin∈,
所以g(x)=sin∈,
故函数g(x)在上的值域为.
能力提升练
1.B　因为f(x)=sin=sin,g(x)=cos=cos=sin=sin,
所以将f(x)的图象向左平移-=个单位长度可得到g(x)的图象.
名师点睛　三角函数的图象变换必须在同名函数间进行,若变换前后的函数名称不同,则要选择合适的诱导公式将其化为同名函数,再分析自变量的变化关系.
2.D　由题意可知把函数y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标保持不变,再把所得曲线向左平移个单位长度,即可得到y=f(x)的图象,故f(x)=sin=sin=cos=cos.
3.解析　(1)由表可知A=5,ω+φ=①,ω+φ=②,联立①②,解得ω=2,φ=-.∴f(x)=5sin.
补全表格如下:
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0
(2)将y=f(x)=5sin图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,可得y=5sin的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),可得y=g(x)=5sin的图象,
令4×+2θ-=kπ,k∈Z,解得θ=kπ-,k∈Z,
∵θ>0,∴当k=1时,θ取得最小值,最小值为.
4.D　由题图可得f(0)=sin φ=,又0<φ<,所以φ=,则f(x)=sin,
又f =sin=-1,所以ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω=k+1,k∈Z,
又T==>,ω>0,所以0<ω<,所以ω=1,
则f(x)=sin.
对于A,f =sin=sin=-1,故A错误;
对于B,f =sin=sin=cos 2x,为偶函数,故B错误;
对于C,当-π≤x≤-时,-≤2x+≤-,因为函数y=sin x在上不单调,所以函数f(x)在上不单调,故C错误;
对于D,当x=时,f =sin=1,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.
5.C　将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度后,得到g(x)=sin=sin的图象,
因为g(x)的图象关于点对称,
所以g=sin=sin=0,
所以-=kπ,k∈Z,解得ω=2-6k,k∈Z,
又因为0<ω<3,所以ω=2,
所以f(x)=sin.
当x∈时,2x+∈,
此时sin∈,
所以f(x)在上的最小值为-.
6.D　作出函数f(x)=sin,x∈的图象及直线y=a,如图所示.
由图象可知,当7.B　由题意知f =sin=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.
因为0<φ<π,所以φ=,则f(x)=sin,
因为f(x)在上单调递增,
所以-+2kπ≤-ω+<ω+≤+2kπ,k∈Z,
所以ω≤4-12k且ω≤1+6k,k∈Z,
又ω>0,所以0<ω≤1,则ω的最大值是1.
8.D　由题意可得点C的纵坐标为1,
因为△ABC是等腰直角三角形,所以|AB|=2,
则函数f(x)的最小正周期为4,
又=4,ω>0,所以ω=,
因为|OB|=3|OA|,所以A,B,则C,
将点C的坐标代入f(x)=sin,得1=sin,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=sin,
则f(6)=sin=-,故A错误;
f(1)+f(9)=sin+sin=sin+sin=,故B错误;
当x∈(3,5)时,x+∈,因为函数y=sin x在上不单调,所以函数f(x)在(3,5)上不单调,故C错误;
f =sin=sin(-π)=0,
所以函数f(x)的图象关于点中心对称,故D正确.
9.答案　
解析　∵f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,∴φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<π,∴φ=0,∴f(x)=Asin ωx,则g(x)=Asinx.
由g(x)的最小正周期T=2π,ω>0得==1,∴ω=2.
又g=Asin =A=,∴A=2,
∴f(x)=2sin 2x,∴f =2sin =.
10.答案　1
解析　因为ω>0,所以当0≤x≤2π时,≤ωx+≤2ωπ+,
要使函数f(x)=cos(ω>0)在[0,2π]上有且仅有2个零点,
则需≤2ωπ+<,解得≤ω<,
又因为ω为整数,所以ω的值为1.
11.解析　(1)由题意可得解得所以f(x)=2sin(ωx+φ)-1.
因为=-=,所以T=π=,又ω>0,所以ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ)-1.
由f =1可得2×+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin-1.
设f(x)图象的对称中心的坐标为(x0,y0),
则2x0+=kπ(k∈Z),可得x0=-(k∈Z),此时y0=-1,所以f(x)图象的对称中心的坐标为(k∈Z).
(2)由题意可得g(x)=2sin-1+1=2sin,
当x∈时,2x+∈,
所以sin∈[0,1],
所以g(x)=2sin∈[0,2].
因为关于x的方程g(x)+2a-1=0,即1-2a=g(x)有实根,
所以0≤1-2a≤2,解得-≤a≤.
所以实数a的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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