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2027湘教版高中数学必修第一册
5.5　三角函数模型的简单应用
基础过关练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(2024甘肃兰州期末)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s(t)=3sin,那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和往返一次所需的时间(秒)分别为(　　)
A.3,4　　　　B.-3,4　　　　C.3,2　　　　D.-3,2
2.(2024甘肃天水三中月考)某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加完全抵消掉噪音.已知噪音的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为,则用来降噪的声波曲线的解析式是(　　)
A.y=sin πx　　　　B.y=cos πx
C.y=-sin πx　　　　D.y=-cos πx
题组二　三角函数模型在生活中的应用
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10
4.(2024湖南岳阳第一中学开学考试)某市一房地产经纪公司对该市一楼盘在今年的房价做了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:
x 1 2 3
y/元 10 000 9 500
则此楼盘在第三季度的平均单价约为(　　)
A.10 000元　　　　B.9 500元
C.9 000元　　　　D.8 500元
5.(2024吉林长春朝阳实验中学期末)已知人的血压在不断变化,心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg,心动周期约为0.75 s,假设他的血压p(mmHg)关于时间t(s)近似满足函数关系式p(t)=b+asin ωt(a>0,ω>0),则当t∈[0,0.75]时,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为(　　)
A.0.125 s　　　　B.0.25 s　　　　C.0.375 s　　　　D.0.5 s
题组三　三角函数模型的建立及其应用
6.(2025山西大学附属中学月考)如图,一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O到水面的距离为2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d关于时间t(单位:s)的函数关系式可以表示为(　　)
A.d=4sin+2　　　　
B.d=4sin+2
C.d=4sin+2　　　　
D.d=4sin+2
能力提升练
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(2024北京海淀期末)如图,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=2sin,t∈[0,+∞),φ∈(-π,π).已知当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,则在t=0时h的值为(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　
C.-　　　　D.
2.(2025广东东莞外国语学校月考)某阻尼器的运动过程可近似看成单摆运动,其离开平衡位置的位移y(单位:m)和时间t(单位:s)的函数关系式为y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(-1题组二　三角函数模型在生活中的应用
3.假设一辆小汽车的轮胎胎面(与地面接触的部分)上有一个标记点P,且点P到轮胎旋转轴线的距离为0.3 m.若该小汽车启动时,标记P与地面的距离为0.45 m,汽车以64.8 km/h的速度在水平地面上匀速行驶,标记点P与地面的高度f(x)(单位:m)与小汽车行驶时间x(单位:s)的函数关系式是f(x)=Asin(ωx+φ)+b,其中A>0,ω>0,|φ|<,则f(x)=　　　　.
4.(2025重庆乌江新高考协作体调研)海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准,涨潮时水面升高,退潮时水面降低.现测得某港口某天的时刻与水深的关系如表所示:(3.1时即为凌晨3点06分)
时刻:x/时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深:y/米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
(1)根据以上数据,可以用函数y=Asin(ωx+φ)+b来近似描述这一天内港口水深与时间的关系,求出这个函数的解析式;
(2)某条货船的吃水深度(水面高于船底的距离)为4.2米.安全条例规定,在本港口进港和在港口停靠时,船底高于海底平面的安全间隙至少有2米,根据(1)中的解析式,求出这条货船最早的进港时间及这条货船一天最多可以在港口停靠的总时长.
题组三　三角函数模型的建立及其应用
5.(2025河南信阳息县三校联考)已知某摩天轮的直径为120米,摩天轮的最高点距地面128米,摩天轮按逆时针方向匀速转动,每转动一圈需要a分钟,若小夏从摩天轮的最低点处登上摩天轮,从小夏登上摩天轮的时刻开始计时.
(1)求小夏与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式;
(2)在摩天轮转动一圈的过程中,小夏距离地面的高度不低于98米的时间不少于分钟,求a的最小值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　∵s(t)=3sin,∴单摆来回摆动的振幅为3厘米,往返一次所需的时间为2π×=4(秒).
2.D　由题意得A=1,φ=,T=2,又T=,ω>0,所以ω=π,所以噪音的声波曲线的解析式为y=sin=cos πx,所以用来降噪的声波曲线的解析式为y=-cos πx.
3.C　由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,∴ymax=k+3=8.
4.C　由题意得
所以ω可取,φ可取π,
即y=500sin+9 500.
当x=3时,y=9 000.
5.B　由题意可知解得b=102,a=24,
ω==2π×=,则p(t)=24sin t+102,
令90≤24sin t+102≤114,得-≤sin t≤,
令x=t,由t∈[0,0.75]得x∈[0,2π],
则-≤sin x≤,x∈[0,2π],
画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,
由图可知,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为×=0.25(s).
6.A　设距离d(m)关于时间t(s)的函数解析式为d=Asin(ωt+φ)+b,
由题意可得dmax=A+b=6,dmin=A-b=-2,解得A=4,b=2,
由题意可得函数的最小正周期T==40,
则ω===,
当t=0时,d=4sin φ+2=0,所以sin φ=-,
又-<φ<,所以φ=-,故d=4sin+2.
能力提升练
1.D　因为当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,所以×2+φ=π+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,又φ∈(-π,π),故φ=,故h=2sin,故当t=0时,h=2sin=.
2.答案　
解析　由题意得(t1+t2)=1,(t2+t3)=3,
故函数y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期T=2×(3-1)=4,则ω==,所以y=sin,
令sin>0.5,即+2kπ故在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为4k+-φ-= s.
3.答案　0.3sin+0.3
解析　由题意,可知汽车的速度v=64.8 km/h=18 m/s,点P在半径r=0.3 m的圆上运动,所以轮胎转动一周点P走过的路程l=2πr=0.6π m.
所以轮胎转动一周所需的时间T=== s,
因为T==,所以ω=60.
因为点P到轮胎旋转轴线的距离为0.3 m,
所以A=0.3,b=0.3,
所以f(x)=0.3sin(60x+φ)+0.3.
因为刚开始启动时,点P与地面的距离为0.45 m,
所以f(0)=0.45,即0.3sin φ+0.3=0.45,所以sin φ=0.5,
因为|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=0.3sin+0.3.
4.解析　(1)由题表可知最小正周期T=12.4-0=12.4,y的最大值为7.4,最小值为2.6,
所以ω===,A==2.4,b==5,
所以y=2.4sin+5(*),将(3.1,7.4)代入(*)式可得7.4=2.4sin+5,
所以×3.1+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=0,所以y=2.4sinx+5,0≤x<24.
(2)货船需要的安全水深为4.2+2=6.2米,所以进港条件为y≥6.2.
令2.4sinx+5≥6.2,即sinx≥,
所以+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,
因为0≤x<24,所以≤x≤或≤x≤,
因为时=1点02分,时=5点10分,时=13点26分,时=17点34分,
所以货船可以在1点02分进港,5点10分出港,或在13点26分进港,17点34分出港.
则该货船最早进港时间为1点02分,停靠总时长为8小时16分钟.
5.解析　(1)如图,设摩天轮距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
由题意可得,t=0时,小夏位于点P(0,-60),则以x轴非负半轴为始边,OP为终边的角为-.
因为摩天轮每转动一圈需要a分钟,所以摩天轮转动的角速度为 rad/min,
则y=60sin+68=-60cos t+68(t≥0).
(2)令y=-60cos +68≥98,即cos ≤-,
不妨取第一圈,可得≤≤,解得≤t≤,
所以-≥,即a≥25,故a的最小值为25.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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