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2027湘教版高中数学必修第一册
6.4　用样本估计总体
6.4.1　用样本估计总体的集中趋势
6.4.2　用样本估计总体的离散程度
基础过关练
题组一　集中趋势的估计
1.(2025山东日照第一中学月考)某歌唱比赛共有11位评委给某选手进行评分,评定该选手的成绩时,从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到9个有效评分.9个有效评分与11个原始评分相比,一定不变的数字特征是(　　)
A.平均数　　　　B.极差　　　　C.方差　　　　D.中位数
2.(2025上海格致中学月考)某学校艺术节举行弹钢琴比赛,现有21名同学报名参赛,初赛成绩各不相同,取前10名参加决赛,小明同学已经知道了自己的成绩,为了判断自己是否能进入决赛,他还需要知道21名同学成绩的(　　)
A.平均数　　　　B.中位数　　　　
C.众数　　　　D.方差
3.(2025安徽江淮十校联考)某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,则由此求出的平均数与实际平均数的差是(　　)
A.3.5　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.-0.5
4.(2025湖北黄石第六中学月考)已知样本数据x1,x2,…,x200的平均数为14,样本数据y1,y2,…,y600的平均数为a,若样本数据x1,x2,…,x200,y1,y2,…,y600的平均数为a+1,则a=(　　)
A.12　　　　B.10　　　　C.2　　　　D.11
5.(2024江苏南通模拟)某同学测得自己所在城市连续7天的最低气温分别为1,2,2,m,6,2,8(单位:℃),若这组数据的平均数是中位数的2倍,则m=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.7
6.(2025四川遂宁中学开学考试)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取了30名学生参加环保知识测试,得分情况(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m1,众数为m2,平均数为,则(　　)
A.m1=m2=　　　　B.m1=m2<
C.m17.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下:
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这17名运动员的成绩的众数、中位数、平均数(保留到小数点后两位),并分析这些数据的含义.
题组二　离散程度的估计
8.(2025广东珠海金砖四校联考)已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为10,方差为5,数据3x1-1,3x2-1,3x3-1,…,3xn-1的平均数为,方差为s2,则(　　)
A.=10,s2=14　　　　B.=9,s2=44
C.=29,s2=45　　　　D.=29,s2=44
9.(2025黑龙江大庆实验中学开学考试)气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度(单位:℃)的记录数据(记录数据都是正整数):
①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地:5个数据的中位数为27,总体平均数为24;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体平均数为26,总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有(　　)
A.0个　　　　B.1个　　　　
C.2个　　　　D.3个
10.(多选题)(2025河北石家庄期末)已知甲、乙两个水果店最近七天的水果销售量统计如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲店数据的极差大于乙店数据的极差
B.甲店数据的平均数大于乙店数据的平均数
C.甲店数据的方差大于乙店数据的方差
D.甲店数据的中位数大于乙店数据的中位数
11.(2025四川成都树德中学期中)已知甲队有60人,乙队有40人,按照分层抽样的方法从两队共抽取10人进行一轮答题.相关统计情况如下:甲队答对题目的平均数为1,方差为1;乙队答对题目的平均数为1.5,方差为0.4.则这10人答对题目的方差为(　　)
A.0.8　　　　B.0.675　　　　C.0.74　　　　D.0.82
12.(2025吉林东北师范大学附属中学月考)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
设甲、乙两名运动员射击的平均环数分别记为和,方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)如果你是教练,请你对这次射击情况作出评价.如果这是一次选拔性考核,你应当如何作出选择
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　设11位评委的评分按从小到大排列为x1,x2,x3,x4,…,x8,x9,x10,x11.
则原始数据的中位数为x6,去掉最低分x1,最高分x11,剩余x2,x3,x4,…,x8,x9,x10,中位数仍为x6,其余数字特征可能改变.
2.B　易得21名同学成绩的中位数是第11名同学的成绩,取前10名参加决赛,小明同学已经知道了自己的成绩,为了判断自己是否能进入决赛,他还需要知道第11名同学的成绩.
3.B　因为将105输入为15,减少了90,所以得出的平均数与实际平均数的差为=-3.
4.B　由题意可得=a+1,解得a=10.
5.D　这组数据的平均数为=,
除m外,将数据按从小到大排列为1,2,2,2,6,8,
结合m的任意性可知中位数为2,则=2×2,解得m=7.
6.D　由题图可知,30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数,故m1=5.5;由于5出现的次数最多,故m2=5;=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97.所以m27.解析　在17个数据中,1.75出现了4次,次数最多,∴众数是1.75 m.
将数据按从小到大的顺序排列,易知中位数是1.70 m.
平均数是×(1.50×2+1.60×3+1.65×2+…+1.90×1)=≈1.69(m).∴这17名运动员的成绩的众数、中位数、平均数分别是1.75 m,1.70 m,1.69 m.
众数是1.75 m,说明跳1.75 m的人数最多;
中位数是1.70 m,说明跳1.70 m以下和跳1.70 m以上的人数相等;
平均数是1.69 m,说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69 m.
8.C　设原数据的平均数为,方差为,
则=
===3-1=29,
s2=
==9=45.
方法总结　设x1,x2,x3,…,xn的平均数为,方差为s2,则
①数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差为s2;
②数据ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2;
③数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.
9.C　甲地:5个数据的中位数为24,众数为22,则甲地连续5天的日平均温度最低为22 ℃,所以甲地连续5天的日平均温度均不低于22 ℃,所以甲地肯定进入夏季.
乙地:5个数据的中位数为27,总体平均数为24,当5个数据为19,20,27,27,27时,满足其描述,但连续5天的日平均温度有低于22 ℃的,不符合进入夏季的标准.
丙地:5个数据中有一个数据是32,总体平均数为26,若有低于22 ℃的,不妨取21 ℃,则总体方差超过了10.8,因此其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃,所以丙地肯定进入夏季.
综上所述,肯定进入夏季的地区有2个.
10.BD　由题图可知甲店数据的极差不大于30,乙店数据的极差大于30,故A错误;
只有第2天甲店的数据比乙小,且小的很少,第1天甲店的数据比乙大得多,因此甲的平均数大于乙的平均数,故B正确;
由题图可得甲店的折线图比乙店的波动小,所以甲店数据的方差应小于乙店数据的方差,故C错误;
把甲、乙两店的数据各自按从小到大的顺序排列,知甲店数据的中位数大于90,乙店数据的中位数小于60,故D正确.
11.D　按照分层抽样的方法从甲队中抽取10×=6人,从乙队中抽取10×=4人,
这10人答对题目的平均数为×(6×1+4×1.5)=1.2,
所以这10人答对题目的方差为×{6×[1+(1-1.2)2]+4×[0.4+(1.5-1.2)2]}=0.82.
解题模板　若一个总体划分为两层,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,,;n,,.记总的样本平均数为,样本方差为s2,则=+;s2={m[+]+n[+]}.
12.解析　(1)==7,
==7,
=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,
=[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2.
(2)由(1)知,甲、乙射击的平均环数一样,但乙的射击成绩比甲的更稳定,如果这是一次选拔性考核,应该选择乙.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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