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2027湘教版高中数学必修第一册
6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
6.4.4　百分位数
基础过关练
题组一　用频率分布直方图估计总体分布
1.(2025湖北部分普通高中期中)下图的频率分布直方图显示了三种不同的形态.图1形成对称形态,图2形成“右拖尾”形态,图3形成“左拖尾”形态,则下列判断不正确的是(　　)
A.图1的平均数=中位数=众数
B.图2的众数<中位数<平均数
C.图2的平均数<众数<中位数
D.图3的平均数<中位数<众数
2.(2024陕西西安期中)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n且支出(单位:元)在[20,60]内的样本,其频率分布直方图如图(同一组中数据用该组区间的中点值作代表),则下列说法正确的是(　　)
A.估计众数为43元
B.估计中位数是元
C.估计平均数为43元
D.支出在[50,60]内的频率为0.25
3.(2024山西忻州月考)从某企业生产的某批次产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,得如下频数分布表:
质量指标值 [75, 85) [85, 95) [95, 105) [105, 115) [115, 125]
频数 6 28 34 24 8
(1)作出这些样本数据的频率分布直方图;
(2)估计该批次产品该项质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)在某批次产品的抽检中,若出现了质量指标值在(-3s,+3s)(为样本平均数,s为样本标准差)之外的产品,则认为该批次产品的生产过程可能出现了异常情况,需对该批次产品的生产过程进行检查,那么该企业是否需对本批次产品的生产过程进行检查
4.(2024江苏无锡锡东高级中学月考)某市政府为了解全市居民生活用水量分布情况,通过抽样,获得100户居民月均用水量(单位:m3),将数据按照[0,4),[4,8),…,[32,36]分成9组,制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水,该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”:第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m3的部分按3元/m3收费,第二阶梯为超过20 m3但不超过28 m3的部分按5元/m3收费,第三阶梯为超过28 m3的部分按8元/m3收费.
(1)求直方图中a的值;
(2)已知该市有20万户居民,估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数;
(3)该市政府希望至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准,请根据样本数据判断,现行收费标准是否符合要求.若不符合,则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3
5.(2025甘肃平凉第一中学期末)近年来,“直播带货”受到越来越多人的喜爱,目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式.某直播平台有1 200个直播商家,对其进行调查统计后发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等,各类直播商家所占比例如图所示.
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方,打算随机抽取60个直播商家进行调研.如果按照分层抽样的方法抽取,则应抽取小吃类、生鲜类直播商家各多少个
(2)在调研了直播商家的利润状况后,工作人员对(1)中抽取的60个直播商家的平均日利润(单位:元)进行了统计,所得频率分布直方图如下图所示,请根据频率分布直方图计算下面的问题:
①估计该直播平台中的直播商家平均日利润的中位数与平均数(结果保留一位小数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
②若将平均日利润超过430元的直播商家评为“优秀商家”,估计该直播平台中“优秀商家”的个数.
题组二　百分位数
6.(2024黑龙江大庆实验中学月考)某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80百分位数是103分,则数学成绩不低于103分的人数至少为(　　)
A.220　　　　B.240　　　　
C.250　　　　D.300
7.(2025甘肃民乐第一中学月考)已知一组数据12,17,15,x,20的平均数为16,则这组数据的第60百分位数为(　　)
A.17　　　　B.16.5　　　　
C.16　　　　D.15.5
8.(2025江西宜春第一中学期末)按从小到大顺序排列的两组数据,甲组:7,11,14,m,22;乙组:5,10,n,18,20.若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等,则m+n=(　　)
A.28　　　　B.29　　　　
C.30　　　　D.32
9.(2024天津静海第六中学质量检测)某高中为了解全校学生五一假期参加实践活动的情况,抽查了100名学生,统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数;
(2)估计这100名学生参加实践活动时间的第三四分位数.
10.(2025甘肃白银第八中学月考)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据频率分布表和频率分布直方图解决下列问题:
组别 分组 频数 频率
第1组 [50,60) 8 0.16
第2组 [60,70) a
第3组 [70,80) 20 0.40
第4组 [80,90) 0.08
第5组 [90,100] 2 b
(1)写出a,b,x,y的值;
(2)若根据这次成绩,学校准备淘汰90%的学生,仅留10%的学生进入下一轮竞赛,请问晋级分数线划为多少合理
(3)某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数:x1,x2,x3,…,x8,80,100,已知这10个分数的平均数=90,标准差s=6,若剔除其中的100和80这两个分数,求剩余的8个分数的平均数与标准差.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　题图1是对称的,所以平均数=中位数=众数,故A中判断正确;
题图2中众数最小,“右拖尾”表现为平均数大于中位数,故B中判断正确,C中判断错误;
题图3“左拖尾”表现为众数最大,平均数小于中位数,故D中判断正确.
2.B　由题图知,支出在[40,50)内的小矩形最高,故估计众数为45元,A错;
支出在[50,60]内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,D错;
因为10×(0.01+0.024)=0.34<0.5,0.34+10×0.036=0.7,所以中位数在[40,50)内,设中位数为x元,则0.34+(x-40)×0.036=0.5,解得x=,故中位数是元,B正确;
平均数为10×(0.01×25+0.024×35+0.036×45)+0.3×55=43.6元,C错.
3.解析　(1)根据题中频数分布表的数据,求得每组的频率分别为0.06,0.28,0.34,0.24,0.08,
再求得相应的每个矩形的高度为0.006,0.028,0.034,0.024,0.008,
可得这些样本数据的频率分布直方图如图所示:
(2)该批次产品的该项质量指标值的平均数为80×0.06+90×0.28+100×0.34+110×0.24+120×0.08=100,
方差为(-20)2×0.06+(-10)2×0.28+0×0.34+102×0.24+202×0.08=108,
所以该批次产品该项质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为108.
(3)由(2)得=100,s==6,则(-3s,+3s)即(100-18,100+18),
因为100-18<75,100+18>125,
所以本批次产品中没有出现质量指标值在(-3s,+3s)之外的产品,
因此该企业不需要对本批次产品的生产过程进行检查.
4.解析　(1)由题图可得(0.010+0.020+a+0.050+0.065+a+0.015+0.010+0.005)×4=1,解得a=0.037 5.
(2)全市居民月均用水费用不超过60元即居民月均用水量不超过20 m3,则100户居民中符合条件的有(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065)×4×100=73(户),由此可以估计全市20万户居民中月均用水费用不超过60元的有×200 000=146 000(户).
(3)抽取的100户居民中月均用水量不超过28 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065+0.037 5+0.015)×4=0.94,
因为0.94<0.95,所以现行收费标准不符合要求.
抽取的100户居民中月均用水量不超过32 m3的频率为1-0.005×4=0.98,
又×(32-28)=1,28+1=29,
故至少需将第二阶梯用水量的上限调到29 m3.
5.解析　(1)60×(1-25%-15%-10%-5%-5%)=24,60×15%=9,
所以应抽取24个小吃类直播商家,9个生鲜类直播商家.
(2)①由题意得(0.001×3+a+0.003+0.005+0.007)×50=1,解得a=0.002,
设中位数为x元,因为(0.001+0.003)×50=0.2,(0.001+0.003+0.007)×50=0.55,
所以(x-300)×0.007+0.2=0.5,解得x≈342.9,
平均数为(225×0.001+275×0.003+325×0.007+375×0.005+425×0.002+475×0.001+525×0.001)×50=352.5(元),所以该直播平台中的直播商家平均日利润的中位数为342.9元,平均数为352.5元.
②×50×1 200=168,
所以估计该直播平台中“优秀商家”的个数为168.
6.B　因为1 200×80%=960,所以数学成绩低于103分的学生最多有960人,所以数学成绩不低于103分的学生至少有1 200-960=240(人).
7.B　由题意得=16,解得x=16,将这组数据从小到大排列为12,15,16,17,20,因为5×60%=3,所以这组数据的第60百分位数为=16.5.
8.C　甲组数据的第50百分位数为14,乙组数据的第50百分位数为n,则n=14,
由5×80%=4,得甲组数据的第80百分位数为,乙组数据的第80百分位数为=19,因此=19,解得m=16,所以m+n=30.
9.解析　(1)由题图可得,最高矩形底边中点的横坐标为7,
故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时.
这100名学生参加实践活动时间的中位数为6+=7.2(小时).
由(0.04+0.12+0.15+a+0.05)×2=1,解得a=0.14,
则这100名学生参加实践活动时间的平均数为0.04×2×3+0.12×2×5+0.15×2×7+0.14×2×9+0.05×2×11=7.16(小时).
(2)由(1)知a=0.14,100×0.75=75,第1组有0.04×2×100=8(人),同理,第2组有24人,第3组有30人,第4组有28人,第5组有10人,因为8+24+30=62(人),8+24+30+28=90(人),所以第三四分位数在第4组,为8+2×≈8.93(小时).
10.解析　(1)由题意可知抽取的学生人数为=50,
则第4组有50×0.08=4(人),
所以a=50-8-20-4-2=16,b==0.04,x==0.032,y==0.004.
(2)成绩落在[50,80)内的频率为0.16+0.32+0.40=0.88,
落在[50,90)内的频率为0.16+0.32+0.40+0.08=0.96,
设第90百分位数为m,
则0.88+(m-80)×0.008=0.9,解得m=82.5,
故晋级分数线划为82.5分合理.
(3)因为=90,所以x1+x2+x3+…+x8+80+100=10×90=900.
标准差s=6,所以s2=(++…++802+1002)-902=62,
则++…++802+1002=81 360,
剔除其中的100和80两个分数后,设剩余的8个分数为x'1,x'2,x'3,…,x'8,平均数与标准差分别为',s',
则剩余的8个分数的平均数为'===90,
方差为s'2=(x1'2+x2'2+…+x8'2)-902=×(81 360-1002-802)-902=20,
所以s'=2.
故剩余的8个分数的平均数为90,标准差为2.
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