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哈三中2025—2026学年度下学期
高一学年6月月考数学试卷
考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第 I 卷（选择题, 共 58 分）
单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知复数，则=
A． B． C． D．
2． 如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为
A． B． C． D．
3． 已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，
，，，则球的表面积为
A． B． C． D．
4． 已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列说法正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5． 的内角的对边分别为，若，且，则
A． B． C． D．
6． 某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为
A． B．
C． D．
7． 直三棱柱中，，，为线段上一
动点，则的最小值为
A． B． C． D．
8． 已知，若向量满足，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9． 三角形的内角的对边分别为，且，下列说法正确的是
A．
B．若，则三角形为锐角三角形
C．若，，则
D．若，且三角形有两解，则
10．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则下列说法正确的是
A．
B．
C．与所成角的余弦值为
D．
11．已知正方体棱长为，为边中点，为空间内一动点，下列说法中正确的有
A．当在线段上运动时，三棱锥体积为定值
B．当在线段上运动时，存在点使直线与成角为
C．当在底面内运动时，若，则轨迹长度为
D．当在三角形内运动，且时，则轨迹长度为
第Ⅱ卷（非选择题, 共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12．已知向量满足，若为单位向量，则________．
13．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则此三棱台的体积
为________．
14．已知四面体外接球半径为，，，，则该四面体体积最大值为________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知三角形的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）设为中点，，求直线与所成角的余弦值．
17．（15分）
如图，在平面四边形中，，为等边三角形．
（1）若，，求；
（2）若，求四边形面积的取值范围．
18．（17分）
在边长为的菱形中，，与相交于点O. 将沿折起，使得点到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为线段上一点．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，.
①求的值；
②求平面与平面夹角的余弦值．
19．（17分）
如图，直角梯形中，，，，，，点为线段(不含端点)上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
（1）若，求的长；
（2）求异面直线与所成角余弦值的最小值；
（3）若，点在内部（含边界）运动，满足四棱锥与三棱锥的体积相等，求点轨迹长度．
高一数学 第 页 共 6 页2026年高一下6月月考数学试题答案
单选题
1~8
二、多选题
9. 10. 11.
三、填空题
12． 13． 14．
四、解答题
15.
（1）由已知
交叉相乘，整理得
所以或（舍）
故
（2）由已知，得………①
由余弦定理，
………….②
由①.②可得
所以三角形ABC的周长
16.
(1)证明：取中点，连接
,
为平行四边形
、
又
(2)取中点，连接，则即为所求角
又
17.
（1）在中，，
又因为，即，解得；
（2）设
在中，，
，
，
，
，
．
18.
（1）在菱形ABCD中，，O为BD中点，
由题可知，所以，
因为，平面，
所以
又平面，所以平面平面.
（2）① 以O为原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
二面角的大小为120°，即
因为，， 所以，，
则，，，，
所以，，
设，则，所以.
设平面PBC的法向量为，则，
取，得，，则.
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
当时，，则；
当时，，则.
因为, 所以
②设平面BDM的法向量为，则
设平面CDM的法向量为，则
设直线与平面所成角为，
19.
（1）连接，平面平面，交线为，
由，有平面，又平面，所以,
当，，所以平面，
又平面，所以，
此时与相似，故，
设，由，解得或(舍)，所以.
（2）过作的平行线交于点，连接，由，且，
得四边形是平行四边形，故，所以即为异面直线与所成的角，
设，
，
当且仅当取等
所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值，
所以异面直线与所成角余弦值的最小值为.
（3），，，
易知点轨迹为两平面的交线，所以轨迹为线段，设轨迹与线段相交于点与相交于点。
，因为，所以，又，所以
同理，，，，
，所以

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