资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2027湘教版高中数学必修第一册
复习提升
易混易错练
易错点1　不能正确进行指数、对数的相关运算致错
1.(2025湖南名校联盟质量检测)(1)计算+-3×()0+;
(2)计算-4log43·log278+log68+2log6.
易错点2　忽视函数零点存在定理的使用条件致错
2.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则(　　)
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两个实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
3.设f(x)在区间[a,b]上是连续变化的单调函数,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内(　　)
A.至少有一实根　　　　B.至多有一实根
C.没有实根　　　　D.必有唯一实根
易错点3　求参数的取值范围时考虑不全面致错
4.已知实数a>0,且a≠1,满足53a+2>54a+1,则不等式loga(3x+2)5.(2025黑龙江大庆实验中学期中)函数f(x)=loga(ax2-4x+9)在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.
6.(2023江苏泰州期中)已知函数f(x)满足f(logax)=,其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)若00在(-∞,2)上恒成立,求实数a的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想在解决函数问题中的运用
1.(2024陕西渭南期末)函数的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(0,1]
C.　　　　D.
2.(2025天津第四十七中学期中)已知函数f(x)=4x+b·2x+c.
(1)当b=-2,c=2,x∈[1,2]时,求函数f(x)的值域;
(2)若c=2,存在x∈[0,1],使f(x)+f(-x)=0,求实数b的取值范围;
(3)若存在x∈[0,1],使f(x)=0,求b2+c2的最小值.
二、数形结合思想在解决函数问题中的运用
3.(2025广西南宁第二中学月考)设f(x)=|1-2x|,若关于x的方程[f(x)]2-3tf(x)+2t2=0有三个不同的实数根,则实数t的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　B.　　　　C.　　　　D.(0,1]
4.(多选题)(2024河南洛阳段考)已知f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1A.x1x2>4　　　　B.0C.x3+x4>2　　　　D.三、分类讨论思想在解决函数问题中的运用
5.(2024江苏东台中学期中)若函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　
B.　　　　
C.(1,2]　　　　
D.[2,+∞)
6.(2023江苏苏州实验中学期中)已知函数f(x)=loga(5-x)-loga(a>0,且a≠1),且f(4)=0.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求不等式f(2x-3)四、转化与化归思想在解决函数问题中的运用
7.(2024江苏五市联考)设f(x)=-x+2,则f(log32)=　　　　　;不等式f(1-x2)+f(5x-5)<4的解集为　　　　　.
8.已知函数f(x)=log4为偶函数,且f(x)≥log4(a·2x-a)在区间(1,2]上恒成立,则a的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.解析　(1)原式=+-3+2-
=+-3+2-=2-.
(2)原式=2-4××+log62+log63
=2-4××+log6(2×3)=2-2+1=1.
易错警示　准确记忆指数、对数的运算性质和相关公式是指数、对数运算的关键,同时要注意性质或公式成立的前提.
2.D　因为f(x)的图象不一定是连续不断的,所以方程f(x)=0可能无实数解.
3.D　由题意知函数f(x)的图象在[a,b]内与x轴只有一个交点,即方程f(x)=0在[a,b]内只有一个实根.
易错警示　若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则f(a)·f(b)<0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件.
4.答案　
解析　易知函数y=5x是定义域为R的增函数,由题意可得3a+2>4a+1,所以a<1,又a>0,所以0所以函数y=logax为定义域上的减函数,则解得5.答案　∪[2,+∞)
解析　由题意知,a>0且a≠1,
令g(x)=ax2-4x+9,则其图象的对称轴为直线x==.
①当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[1,3]上应单调递增,且g(x)>0在[1,3]上恒成立,
则解得a≥2;
②当00在[1,3]上恒成立,
则解得综上所述,a≥2或6.解析　(1)令t=logax(a>0,且a≠1),则x=at,所以f(t)=,所以f(x)=(a>0,且a≠1).
(2)当a>1时,任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)==-+=(-),
因为a>1,x10,1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)当0则f(x1)-f(x2)==·=(-),
因为0,>0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减.
综上,当a>1时, f(x)在R上单调递增;当0(3)当00在(-∞,2)上恒成立,所以·+4≥0,即a2+4a-1≥0,解得a≤-2-或a≥-2+,因为0易错警示　解决与指数、对数函数有关的问题时需注意两点:(1)若底数a的值不确定,则应分a>1,0思想方法练
1.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则即f(x)=有两个不相等的实数根,
(根据函数的性质构建方程)
logc(2cx+t)=,即2cx+t=.
令=u,u>0,则2u2-u+t=0.
依题意知方程2u2-u+t=0有两个不相等的正实数根,
(换元后得到关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用三个“二次”的关系求解)
∴解得02.解析　(1)当b=-2,c=2时, f(x)=4x-2×2x+2,x∈[1,2].
令t=2x,则t∈[2,4],y=t2-2t+2=(t-1)2+1.
(换元后得到关于t的二次函数,利用二次函数性质进行分析)
易知函数y=(t-1)2+1在[2,4]上单调递增,所以y∈[2,10],故函数f(x)的值域为[2,10].
(2)由c=2及f(x)+f(-x)=0,得4x+b·2x+2+4-x+b·2-x+2=0,即4x+4-x+b(2x+2-x)+4=0,即(2x+2-x)2+b(2x+2-x)+2=0,所以-b=(2x+2-x)+.
令m=2x+2-x,x∈[0,1],则m∈,-b=m+.
易知函数y=m+在上单调递增,所以-b∈,即b∈.
(3)令t=2x,x∈[0,1],则t∈[1,2], f(x)=0,即t2+b·t+c=0,所以b=-,
(将b2+c2转化为只含c的式子,结合常见函数的性质求解)
所以b2+c2=+c2=c2+2c+t2=·+t2-≥t2-=1+t2+-2.
令n=1+t2∈[2,5],则b2+c2≥n+-2,易知y=n+-2在[2,5]上单调递增,所以=2+-2=,所以b2+c2≥,故b2+c2的最小值为.
思想方法　在幂函数、指数函数和对数函数的有关问题中,利用条件构造方程或新函数,通过方程的知识或常见函数的性质解题是一种最基本的方法.
3.C　作出函数f(x)的图象,如图,
由[f(x)]2-3tf(x)+2t2=0,得f(x)=t或f(x)=2t,
易知当t≤0时,不符合题意;
当t>0时,2t>t,结合f(x)的图象知,要使方程[f(x)]2-3tf(x)+2t2=0有三个不同的实数根,需满足方程f(x)=t有两个不同的实数根,方程f(x)=2t有且只有一个实数根,
由图象知所以≤t<1.
4.BC　如图,作出函数f(x)的图象:
由题意可知直线y=a与f(x)的图象有4个不同的交点,由图象可知02=2.
(由图象得到函数零点的范围及零点间的关系,由此判断结论是否成立)
当f(x4)=f(0)=2时,ln x4=2,x4=e2,又0思想方法　数形结合既是一种思想又是一种解题的方法,要把“形”与“数”进行结合.在本章中数形结合思想主要用于解决函数零点问题,主要有以下几种情况:(1)根据函数图象判断函数零点(或图象交点)个数或确定零点所在区间;(2)根据函数图象及零点的情况求解参变量.
5.C　设函数t=x2-ax+1,
则函数f(x)=(a>0且a≠1)由二次函数t=x2-ax+1与指数函数y=at(a>0且a≠1)复合而成.
(对底数分a>1和0当0当a>1时,函数y=at在定义域上单调递增,
要使函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
则二次函数t=x2-ax+1在区间(1,+∞)上单调递增,
又其图象的对称轴为直线x=,
所以≤1,解得a≤2,所以a∈(1,2].
6.解析　(1)由题意得f(4)=loga(5-4)-loga×4+m=0,解得m=-1,所以f(x)=loga(5-x)-loga,令解得2(2)(底数a的值不确定,分a>1和0由(1)知, f(x)的定义域为(2,5).
当0所以f(x)=loga(5-x)-loga在(2,5)上单调递增.
因为f(3)=loga2-loga=loga4,所以f(2x-3)所以解得当a>1时,函数y=loga(5-x)在(2,5)上单调递减,函数y=loga在(2,5)上单调递增,
所以f(x)=loga(5-x)-loga在(2,5)上单调递减.
因为f(3)=loga2-loga=loga4,所以f(2x-3)综上,当01时,不等式f(2x-3)思想方法　在指数函数和对数函数的有关问题中,底数对函数的图象和性质有影响,解题时要注意对底数进行分类讨论,这是分类讨论思想在本章中的重要体现.
7.答案　-log32;(1,4)
解析　由f(x)=-x+2,
得f(log32)=-log32+2=--log32+2=-log32.
设g(x)=f(x)-2=-x=-3x-x,
(构造函数,将已知函数转化为容易判断单调性与奇偶性的函数)
易知函数g(x)在定义域R上单调递减,且g(-x)=3x-+x=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,
∵f(1-x2)+f(5x-5)<4,∴f(1-x2)-2<-[f(5x-5)-2],
即g(1-x2)<-g(5x-5),∴g(1-x2)(等价转化所求不等式,即根据单调性转化为自变量的大小关系)
∴1-x2>5-5x,即x2-5x+4<0,解得1∴关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-5)<4的解集为(1,4).
8.答案　
解析　f(-x)=log4=log4,
因为函数f(x)=log4为偶函数,
所以f(x)=f(-x),即log4=log4,
所以m=1.
所以f(x)=log4≥log4(a·2x-a)在(1,2]上恒成立,即≥a·2x-a在(1,2]上恒成立,
因为x∈(1,2],所以1<2x-1≤3,
所以a≤=1+在(1,2]上恒成立,
令g(x)=1+,x∈(1,2],则只需a≤g(x)min即可.
(将a≤g(x)恒成立等价转化为a≤g(x)min,求出函数g(x)的最小值即可)
令t=2x+1,则3则g(x)可转化为h(t)=1+=1+,3故函数h(t)在(3,5]上单调递减,
故h(t)min=h(5)=,即g(x)min=,所以a≤.
由a·2x-a=a(2x-1)>0对任意的x∈(1,2]恒成立,且1<2x-1≤3,所以a>0.所以a的取值范围是.
思想方法　转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中常见的运用:利用函数奇偶性对原点左右两侧函数值进行转化;利用换元法将函数解析式化归为简单的解析式;利用构造函数将复杂的问题化为简单的问题;利用函数的最大(小)值解决不等式恒成立问题等.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑