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2027湘教版高中数学必修第一册
复习提升
易混易错练
易错点1　对分层抽样的抽样比或权重理解有误致错
1.(2025河南南阳部分学校联考)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产量之比为1∶2∶3.现用按比例分配的分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A种型号的产品有8件,则样本容量n的值为(　　)
A.48　　　　B.36　　　　C.54　　　　D.42
2.(2024湖南长沙雅礼中学月考)为调查某地区中学生每天的睡眠时间,采用分层抽样的方法,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间的均值为9 h,方差为1,抽取高中生1 200人,其每天睡眠时间的均值为8 h,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　)
A.0.96　　　　B.0.94　　　　C.0.79　　　　D.0.75
易错点2　忽视频率分布直方图的特征致错
3.(2024福建宁德寿宁第一中学月考)某小区从2 000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查,发现他们的月用电量都在50~350 kW·h范围内,进行适当分组后(除最后一组外,其余各组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,则(　　)
A.小区居民月用电量的平均数为186.5,极差为300
B.小区居民月用电量的中位数为171,众数为175
C.小区居民月用电量的第85百分位数约为262.5
D.小区居民月用电量不低于250 kW·h的约有380户
4.某中学高一年级举行了期中统一考试,随机抽取一部分学生的数学成绩(单位:分)并分组统计如下表:
分组 频数 频率
[0,30) 2 0.02
[30,60) 5 0.05
[60,90) 35 0.35
[90,120) m n
[120,150] 13 0.13
合计 M N
(1)求出表中m,n,M,N的值,并根据表中数据补全频率分布直方图;
(2)请根据频率分布直方图估计这次数学成绩的样本数据的第35百分位数;
(3)命题老师在考前期待这份试卷成绩的平均分在95分到105分之间,请你根据频率分布直方图估计最终成绩是否符合他的期待.
思想方法练
一、数形结合思想在统计中的应用
1.(2024北京交大附中月考)为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为　　　　.(用“<”连接)
2.(2025四川成都阶段检测)甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示:
则在这7天中:
①甲城市日均气温的中位数与平均数相等;
②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定;
③乙城市日均气温的极差为3 ℃;
④乙城市日均气温的众数为5 ℃.
以上判断正确的是　　　　.(写出所有正确判断的序号)
二、函数与方程思想在统计学中的应用
3.(2024黑龙江牡丹江第二高级中学期中)设样本数据x1,x2,…,x2 021的平均数为,方差为s2,若新数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 021+1的平均数比方差大3,求s2-的最大值.
4.(2024江西新余实验中学开学检测)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.
(1)求某户居民一个月的电费y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份电费小于260元的占80%,求a,b的值;
(3)根据(2)中求得的数据计算1月份用电量的第75百分位数.
5.(2024山东烟台第一中学月考)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,若备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到柱形图如图所示:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n∈N).
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.A　由题意可得=,解得n=48.
易错警示　解决有关分层抽样的问题时,先根据题目条件得出或计算出相应比例,或者各部分的权重,再列式求解.
2.B　初中生和高中生的权重分别为=和=(易错点),则估计该地区中学生每天睡眠时间的均值为×9+×8=8.4(h),则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为×[1+(9-8.4)2]+×[0.5+(8-8.4)2]=0.94.
3.C　对于A,小区居民月用电量的平均数为50×0.002 4×75+50×0.003 6×125+50×0.006 0×175+50×0.004 4×225+50×0.002 4×275+50×0.001 2×325=186,极差为300,故A错误;
对于B,小区居民月用电量的众数为=175,
因为50×(0.002 4+0.003 6)=0.3,50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0)=0.6,
所以小区居民月用电量的中位数在[150,200)内,设中位数为m,
则0.3+(m-150)×0.006 0=0.5,解得m=,故B错误;
对于C,因为50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.004 4)=0.82<0.85,
50×(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.004 4+0.002 4)=0.94>0.85,
所以估计小区居民月用电量的85%分位数在[250,300)内,设为x,则0.82+(x-250)×0.002 4=0.85,解得x=262.5,故C正确;
对于D,样本中小区居民月用电量不低于250 kW·h的频率为0.002 4×50+0.001 2×50=0.18,
所以小区居民月用电量不低于250 kW·h的约有2 000×0.18=360户,故D错误.
易错警示　利用频率分布直方图解决相关问题时,要注意纵轴并不是频率,而是,频率分布直方图中小矩形的面积才是频率.
4.解析　(1)由题中频率分布表,得M==100,
所以m=100-(2+5+35+13)=45,所以n==0.45.
由频率之和为1,可得N=1.补全的频率分布直方图如下:
(2)由题意知抽取的总人数为100,前两组的频率之和为0.02+0.05=0.07,第三组的频率为0.35,所以第35百分位数在第三组内,=0.8,0.8×30=24,所以第35百分位数为60+24=84(分).
(3)由频率分布直方图可得平均成绩为0.02×15+0.05×45+0.35×75+0.45×105+0.13×135=93.6(分),
因为93.6<95,所以估计最终成绩不符合命题老师的期待.
易错警示　在频率分布直方图中,纵轴表示频率与组距的比值,而不是频率.各矩形的面积之比与高度之比都等于频率之比.
思想方法练
1.答案　s2解析　观察题中三个频率分布直方图,可得甲的数据绝大部分都处在两端,数据大多偏离平均数,数据最分散,所以其标准差最大;乙的数据绝大部分都在平均数左右,数据最集中,所以其标准差最小;丙的数据分布均匀,数据偏离平均数的程度比甲低,集中程度比乙低,故其标准差介于甲、乙之间.故答案为s22.答案　①④
解析　甲城市7天的日均气温分别为5 ℃,3 ℃,6 ℃,3 ℃,7 ℃,5 ℃,6 ℃;
乙城市7天的日均气温分别为5 ℃,4 ℃,6 ℃,5 ℃,5 ℃,4 ℃,6 ℃.
(由题中折线图读出原始数据,进而利用相关公式得出中位数、平均数、众数、极差等,体现了数形结合思想)
对于①,甲城市日均气温的中位数为5 ℃,平均数为=5(℃),故①正确;
对于②,根据题中折线图知乙城市的日均气温更稳定,故②错误;
对于③,乙城市日均气温的极差为2 ℃,故③错误;
对于④,乙城市日均气温的众数为5 ℃,故④正确.
思想方法　数形结合思想是统计学中很重要的一种思想方法.一方面用图形可以直观表示相关统计量;另一方面可以借助图形分析样本数据的分布状况、变化趋势、变量间的关系等,进而估计总体的状况.常见的统计图有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等,要熟练掌握它们的特点.
3.解析　设数据2x1+1,2x2+1,…,2x2 021+1的平均数为,方差为,则=2+1,=4s2.因为新数据的平均数比方差大3,所以2+1=4s2+3,可得s2=-,
(列出s2- 2的表达式,结合二次函数的性质求最值,充分体现了函数思想的应用)
则s2- 2=--=--.
由s2=-≥0,可得≥1,
由二次函数的性质知,当=1时,s2-取得最大值,且最大值为-1.
4.解析　(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;
当200400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.
所以y与x之间的函数解析式为
y=
(根据题目信息列出y与x的关系式,应用了函数思想)
(2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即1月份用电量不超过400千瓦时的占80%,
结合题中频率分布直方图可知,
解得
(3)设第75百分位数为m,由题图知1月份用电量不超过300千瓦时的频率为(0.001 0+0.002 0+0.003 0)×100=0.6,用电量不超过400千瓦时的频率为0.8,所以第75百分位数在(300,400]内,所以0.6+(m-300)×0.002 0=0.75,解得m=375,故1月份用电量的第75百分位数为375千瓦时.
5.解析　(1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,
所以y=(x∈N).
(根据题目信息列出y与x的关系式,应用了函数思想)
(2)由题中柱形图知,需更换的易损零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台在购买易损零件上的费用为4 300元,10台在购买易损零件上的费用为4 800元,
因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).
若每台机器在购机的同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台在购买易损零件上的费用为4 500元,
因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
思想方法　解决数字特征的计算问题时,常会用到解方程,而涉及数字特征的最值问题时,偶尔会将其转化为函数最值问题,利用函数的性质求解,这是函数与方程思想在统计中的典型应用.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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