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2027湘教版高中数学必修第一册
专题强化练3　函数的概念及其表示
1.(2025河北保定六校联盟期中)已知集合A={0,1,2},B={0,1,,2,4},下列对应关系不能作为从A到B的函数的是(　　)
A.f:x→y=　　　　B.f:x→y=x2
C.f:x→y=　　　　D.f:x→y=|x|
2.(多选题)(2024河南郑州外国语学校月考)下列各组函数中,是同一个函数的是(　　)
A. f(x)=x+2,g(x)=+2
B. f(x)=,g(x)=()2-3
C. f(x)=x2+(x-1)0,g(x)=
D. f(x)=+,g(t)=+
3.(2025山东青岛第二中学期中)若函数f(2x+1)的定义域为,则y=的定义域为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.(2025重庆第十一中学期中)下列函数中,值域是(0,+∞)的是(　　)
A.y=　　　　
B.y=,x∈(0,+∞)
C.y=,x∈N　　　　
D.y=
5.(多选题)(2025黑龙江大庆实验中学月考)已知函数f(+1)=2x+-1,则(　　)
A.f(3)=9
B.f(x)=2x2-3x(x≥1)
C.f(x)的值域为(-1,+∞)
D.f(x)的图象与x轴有2个交点
6.(多选题)(2025广东中山实验中学期中)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=x3f ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),若f(x)+f(y)+xy=f(x+y),则下列说法正确的是(　　)
A.f(0)=0　　　　B.f(3)=3
C.f(x)-f(-x)=x　　　　D.f(x)=
7.(2025山东青岛第二中学期中)已知函数f(x)满足对任意非零实数x,均有f(x)=f(1)x+-,则f(x)在(0,+∞)上的最小值为　　　　.
8.(2025山东淄博第一中学期中)已知函数f(x)=则不等式f(x)+f(x-1)<3的解集为　　　　.
9.(2025广东广州第七中学期中)已知f(x)=x3-x2, f(1)=-,则a=　　　; f +f +f +…+f =　　　　.
10.为引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为　　　　千瓦时.
11.作出下列函数的图象:
(1)f(x)=|x-1|+|x+1|;
(2)f(x)=
(3)f(x)=[x](x∈[-1,3)),其中[x]表示不大于x的最大整数.
12.(2025广东潮州期末)已知函数f(x)=g(x)=x2-1.
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)若f(g(a))=-,求实数a的值.
答案与分层梯度式解析
1.C　对于A,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,,故A能;
对于B,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,4,故B能;
对于C,集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应,故C不能;
对于D,集合A中的元素0,1,2分别对应集合B中的唯一元素0,1,2,故D能.
解题模板　判断一个对应关系能否作为从A到B的函数,需满足下列3个条件:①两个非空实数集A,B;②A中的每一个实数x,在B中都有唯一的实数y和它对应,即一对一或多对一;③A中不能有剩余元素.
2.CD　选项A中, f(x)=x+2的定义域为R,g(x)=+2=|x|+2的定义域为R,两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故不是同一个函数;选项B中, f(x)==x-3的定义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),g(x)=()2-3=x-3的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不同,故不是同一个函数;选项C中, f(x)=x2+(x-1)0=x2+1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)===x2+1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数;选项D中, f(x)=+的定义域为(0,+∞),g(t)=+的定义域为(0,+∞),两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数.
3.D　因为函数f(2x+1)的定义域为,所以-≤x≤-1,则-2≤2x+1≤-1,故f(x)的定义域为[-2,-1],对于函数y=,由解得-14.D　对于A,当x=0时,y=0,所以值域中有0,故A错误;
对于B,因为y==1+≠1,所以值域中没有1,故B错误;
对于C,因为函数的定义域为x∈N,所以函数的值域不连续,故C错误.
对于D,由题得y=|x-1|的取值范围是(0,+∞),所以函数y=的值域为(0,+∞),故D正确.
5.AB　令t=+1,t≥1,得=t-1,则x=(t-1)2,
故f(+1)=f(t)=2t2-3t,即f(x)=2x2-3x,x∈[1,+∞),故B正确;
f(3)=9,故A正确;
f(x)=2x2-3x=2-,x∈[1,+∞),结合二次函数的图象知f(x)≥f(1)=-1,故f(x)的值域为[-1,+∞),故C错误;
令f(x)=2x2-3x=0,解得x=或x=0(舍去),所以f(x)的图象与x轴只有1个交点,故D错误.
6.AC　在f(x)+f(y)+xy=f(x+y)中,令x=y=0,
则f(0)=0,故A正确;
令y=-x,则f(x)+f(-x)-x2=f(0)=0,即f(x)+f(-x)=x2①,所以f +f =,即f =-f ,又f(x)=x3f,所以f(x)=x3=x-x3f =x+f(-x),即f(x)-f(-x)=x(x≠0)②,
又f(0)=0也符合上式,故C正确;
联立①②,解得f(x)=,故D错误;
f(3)==6,故B错误.
7.答案　-
解析　∵对任意非零实数x,均有f(x)=f(1)x+-,
∴f(1)=f(1)+-,解得f(2)=1,
又f(2)=2f(1)+-,即1=2f(1)+-,
∴f(1)=,∴f(x)=x+-.
当x>0时,x+-≥2-=-,当且仅当x=,即x=时,等号成立.
故f(x)在(0,+∞)上的最小值为-.
8.答案　
解析　当x≤1时,x-1≤0,
则f(x)+f(x-1)<3,即2x+2(x-1)=4x-2<3,解得x<,所以x≤1;
当1则f(x)+f(x-1)<3,即3x-1+2(x-1)=5x-3<3,解得x<,所以1当x>2时,x-1>1,
则f(x)+f(x-1)<3,即3x-1+3(x-1)-1=6x-5<3,
解得x<,又x>2,所以无解.
综上所述,不等式f(x)+f(x-1)<3的解集为.
9.答案　1;-
解析　由题意得f(1)=-=-,解得a=1,所以f(x)=x3-x2,
所以f(x)+f(1-x)=x3-x2+(1-x)3-(1-x)2
=x3-x2+(1-3x+3x2-x3)-(x2-2x+1)=-,
所以f +f +f +…+f =×=-.
10.答案　580
解析　设某户居民一个月的用电量为x千瓦时,电费为f(x)元,则当0≤x≤240时, f(x)=0.5x;当240400时, f(x)=0.5×240+0.6×160+0.8×(x-400)=0.8x-104.
故f(x)=
根据10月份此户居民交纳的电费可知,此户居民用到了第三阶梯电量,
令0.8x-104=360,得x=580.
所以此户居民10月份的用电量为580千瓦时.
11.解析　(1)函数f(x)=
画出其图象如图①所示.
(2)函数的图象是两段抛物线与一个点,画出其图象如图②所示.
(3)f(x)=画出其图象如图③所示.
12.解析　(1)由题意得f(2)==-,g(2)=22-1=3.
(2)令g(a)=t,
若t≤-1,则f(g(a))=f(t)==-,解得t=>-1,与t≤-1矛盾,舍去;
若t>-1,则f(g(a))=f(t)==-,解得t=8>-1,
故g(a)=a2-1=8,解得a=±3.
综上所述,实数a的值为±3.
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