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2027湘教版高中数学必修第一册
专题强化练4　函数性质的综合应用
1.(2025四川德阳五中期中)函数f(x)=的大致图象是(　　)
2.设f(x)=x3++2,其中k∈R.若函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4,则函数f(x)在区间[1,2]上有(　　)
A.最小值-2　　　　B.最小值0
C.最小值4　　　　D.最大值2
3.(2024四川绵阳南山中学期中)已知函数f(x+2)是偶函数,当x1,x2∈[2,+∞)时,[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0恒成立,设a=f(1),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c4.已知函数f(x)=,则f(2-x)的单调递增区间为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
5.(多选题)(2024河南济源高级中学月考)若 x∈R,f(x+1)=f(1-x),当x≥1时,f(x)=x2-4x,则下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)为奇函数
B.函数f(x)在(1,+∞)上单调递增
C.f(x)min=-4
D.函数f(x)在(-∞,1)上单调递减
6.(2025山东济宁期末)设函数f(x)=x+,若不等式f(mx)<2mf(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
7.(多选题)(2025四川眉山仁寿第一中学月考)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列说法正确的有(　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)
C.当x∈R时, f(f(x))≤f(x)
D.当x∈[-4,4]时, f(x-2)≥f(x)
8.(多选题)(2025甘肃天水第一中学期末)已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对任意的x1,x2∈(1,2),且x1A.-2　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1
9.(多选题)(2025山西大同期中)若函数f(x)的定义域是[a,b],值域为[ka,kb],则称[ka,kb]为f(x)的“k倍跟随区间”,若函数的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”,下列结论正确的是(　　)
A.若[1,b]为f(x)=x2-2x+2的“跟随区间”,则b=2
B.函数f(x)=1+存在“跟随区间”
C.若函数f(x)=m-存在“跟随区间”,则m∈
D.函数f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”
10.(2024山东济宁嘉祥第一中学期中)若函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(-1,0)时, f(x)=x3-1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　;若函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0]上单调递增,则不等式f >f(1-x)的解集为　　　　.
11.(2025湖南师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=是定义在(-2,2)上的奇函数,且f(1)=-.
(1)求a,b的值;
(2)用定义证明:f(x)在(-2,2)上单调递减;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.
12.(2025河南部分学校期中)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=x2-x-1.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)设函数h(x)=f(x)+2ag(x)+3a-1(a>0),若对任意的x1∈[1,],总存在x2∈[-1,1],使得f(x1)=h(x2)成立,求实数a的取值范围.
13.(2025云南曲靖期中)已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R).
(1)若f(4)=0,当x∈[2,5]时,求f(x)的值域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)设实数m≥1,若不等式m-2≤f(x)对任意的x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.B　因为f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故C不满足;又当x>0时, f(x)==x-单调递增,故A,D都不满足,B满足.
2.B　设g(x)=x3+,则g(x)=f(x)-2.
∵f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4,
∴g(x)在区间[-2,-1]上的最大值为2.
∵g(x)=x3+是奇函数,
∴g(x)在区间[1,2]上的最小值为-2,
∴函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0.
3.C　因为当x1,x2∈[2,+∞)时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0恒成立,所以f(x)在[2,+∞)上单调递减,
又函数f(x+2)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
因此a=f(1)=f(3),c=f=f,
由函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,得f>f(3)>f,即f>f(1)>f,所以b>a>c.
4.D　因为f(x)=,所以f(2-x)==,
由-x2+3x>0,得0又t=-x2+3x=-+(00)为减函数,所以函数y=f(2-x)的单调递增区间为.
5.ABD　由 x∈R, f(x+1)=f(1-x)可知, x∈R,f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又当x≥1时, f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,所以当x<1时,2-x>1, f(x)=f(2-x)=(2-x-2)2-4=x2-4,所以f(x)=
作出f(x)=的图象,如图所示:
由图可知, f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(-∞,0),(1,2)上单调递减,f(x)min=-4, f(x)不是奇函数,故A,B,D中说法错误,C中说法正确.
6.B　由题意得m≠0,则f(mx)<2mf(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立,即mx+<2m对任意的x∈[1,+∞)恒成立,即>0在x∈[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=m2x2+2m2-1,则g(x)的图象开口向上且对称轴为y轴,
因为x∈[1,+∞),所以若m<0,则mx<0,且g(x)不恒为负数,所以>0不恒成立,舍去;
若m>0,则mx>0,要使得>0恒成立,则g(x)>0恒成立,
又g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=3m2-1,
所以3m2-1>0,解得m>或m<-(舍去).
故实数m的取值范围是.
7.ABC　由题得f(x)=画出f(x)的图象,如图所示:
对于A, f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)恒成立,故A正确;
对于B,当x≥1时, f(x)=|x-2|, f(x-2)的图象由f(x)的图象向右平移两个单位长度得到,所以f(x-2)≤f(x)恒成立,故B正确;
对于C,由图知,当x∈R时, f(x)≥0,可令t=f(x),由y=f(t)和y=t(t≥0)的图象(图略)知,当t≥0时,y=t的图象在y=f(t)的图象的上方,且两图象在点(0,0),(1,1)处重合,所以当t≥0时,t≥f(t),即f(f(x))≤f(x)成立,故C正确;
对于D,结合B知D错误.
8.ABC　由题意得, f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x),
g(x)为偶函数,则g(x)=g(-x),
由f(x)+g(x)=ax2+x+2①,得f(-x)+g(-x)=ax2-x+2②,①②联立可得,g(x)=ax2+2,
又因为<-1,1所以x2g(x1)-x1g(x2)>-(x1-x2),
整理,得->-,
令h(x)=-=-=ax+,则h(x)在(1,2)上单调递减,
当a=-2时,h(x)=-2x+,则h(x)在(1,2)上单调递减,故A正确;
当a=0时,h(x)=,则h(x)在(1,2)上单调递减,故B正确;
当a=时,h(x)=+,根据对勾函数的性质可知h(x)在(1,2)上单调递减,故C正确;
当a=1时,h(x)=x+,所以h(x)在(1,2)上单调递增,故D错误.
9.AD　对于A,易知f(x)=x2-2x+2的图象的对称轴为直线x=1,若[1,b]为f(x)的“跟随区间”,则b2-2b+2=b,解得b=2或b=1(舍去),故A正确;
对于B,假设f(x)=1+存在“跟随区间”[a,b],
因为f(x)=1+在(-∞,0),(0,+∞)上递减,所以所以
此时f(x)在[a,b]上的值域不包含1,所以不存在“跟随区间”,故B错误;
对于C,易知f(x)=m-在定义域上单调递减,所以若f(x)存在“跟随区间”[a,b](-1≤a又-1≤a所以m=b+=b+1-,
设=t,t∈,则m=t2-t,即t2-t-m=0在区间上有一个实数根,所以解得-对于D,若f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”,设定义域为[a,b],则值域为[3a,3b],
当a则a,b是方程-x2+x=3x的两个不相等的实数根,解得x=0或x=-4,
故存在定义域为[-4,0]使得值域为[-12,0],故D正确.
10.答案　f(x)=
解析　当x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),则f(-x)=(-x)3-1=-x3-1.
因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以当x∈(0,1)时, f(x)=-f(-x)=x3+1,当x=0时,f(x)=0,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=
因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0]上为增函数,所以函数f(x)在[0,1)上为减函数,
所以不等式f >f(1-x)可化为解得0所以不等式f >f(1-x)的解集为.
11.解析　(1)因为f(x)=是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(0)=0=,所以b=0,
由f(1)=-,即=-,解得a=1,
所以a=1,b=0.
当a=1,b=0时, f(x)=,x∈(-2,2),
又f(x)的定义域为(-2,2), f(-x)==-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-2,2),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=,
因为x2-x1>0,x1x2+4>0,x1-2<0,x1+2>0,x2-2<0,x2+2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递减.
(3)函数y=f(x)在(-2,2)上单调递减,且为奇函数,
由f(t-1)+f(t)<0得f(t-1)<-f(t)=f(-t),
所以解得所以不等式f(t-1)+f(t)<0的解集为.
12.解析　(1)因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数, f(x)+g(x)=x2-x-1①,
所以f(-x)+g(-x)=x2+x-1,即f(x)-g(x)=x2+x-1②,
①-②可得2g(x)=-2x,即g(x)=-x,
①+②可得2f(x)=2x2-2,即f(x)=x2-1.
所以f(x)=x2-1,g(x)=-x.
(2)由(1)可得h(x)=x2-2ax+3a-2(a>0),其图象开口向上,对称轴为直线x=a,
由题可知, f(x)在[1,]上的值域是h(x)在[-1,1]上值域的子集.
易得f(x)=x2-1在[1,]上的值域为[0,1],
当0所以h(x)min=h(a)=-a2+3a-2,h(x)max=h(-1)=5a-1,
所以所以≤a<1.
当a≥1时,h(x)在[-1,1]上单调递减,
所以h(x)min=h(1)=a-1,h(x)max=h(-1)=5a-1,
所以所以a=1,
所以实数a的取值范围是.
13.解析　(1)∵f(4)=4|m-4|=0,∴m=4.
∴f(x)=x|4-x|=
∴f(x)在[2,4]上单调递减,在(4,5]上单调递增,
∴f(x)的最小值为f(4)=0,
又f(2)=4, f(5)=5,∴f(x)的最大值为5.
∴当x∈[2,5]时, f(x)的值域为[0,5].
(2)f(x)的定义域为R,当m=0时, f(x)=x|x|,
又f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)是奇函数.
当m≠0时, f(x)=x|m-x|, f(-x)=-x|m+x|,
∵f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
综上,当m=0时, f(x)为奇函数,当m≠0时, f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)f(x)=
①若1≤m<3,则f(x)=
∴f(x)在[1,3]上的最小值为f(m)=0,
故m-2≤0,解得m≤2,故1≤m≤2.
②若3≤m≤6,则当x∈[1,3]时, f(x)=-x2+mx=+,
此时∈,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)在[1,3]上的最小值为f(1)=m-1或f(3)=3m-9,
∴解得m≥,∴≤m≤6.
③若m>6,则>3,此时f(x)在[1,3]上单调递增,故f(x)在x=1处取得最小值,为m-1,∴m-2≤m-1,恒成立,故m>6.
综上,m的取值范围是[1,2]∪.
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