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2027湘教版高中数学必修第一册
专题强化练5　三角函数性质的综合应用
1.(2025河北沧衡名校联盟期中)已知函数f(x)=3cos(ω>0)在(0,π)内恰有两个零点,则ω的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.(2024河南新乡期末)将函数y=cos(2x+φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则φ=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
3.(2025甘肃张掖模拟)将函数g(x)=2sin2x+的图象向左平移个单位长度后,再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数h(x)的图象,若f(x)与h(x)的图象关于x轴对称,则f(x)的一个单调递增区间为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.(多选题)(2025湖南长沙第一中学期末)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的定义域为
B.函数|f(x)|的最小正周期与函数g(x)=|sin x|的最小正周期相同
C.函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z
D.函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z
5.(2024四川南充期末)图1是函数f(x)=cosx的部分图象,经过适当的平移、伸缩变换后,得到g(x)的部分图象(如图2),则(　　)
　　
A.g(x)=f
B.g=-
C.方程g(x)=lox有4个不相等的实数解
D.g(x)>的解集为,k∈Z
6.(2024福建泉州期末)将函数f(x)=2sin图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.若对于任意的x1∈,总存在唯一的x2∈,使得f(x1)=g(x2)+2,则ω的取值范围为　　　　.
7.(2024天津一中期末)已知A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<0图象上的任意两点, f(0)=-,且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的值域;
(3)当x∈时,不等式c8.(2025广东实验中学期初)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+bω>0,-<φ<图象的相邻两条对称轴间的距离为,将f(x)的图象先向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,已知g(x)为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.D　由00,得-<ωx-<ωπ-,
因为f(x)在(0,π)内恰有两个零点,
所以<ωπ-≤,解得<ω≤,
所以ω的取值范围是.
2.D　解法一:由题得函数g(x)=cos.
因为g(x)为奇函数,所以+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=-.
解法二:依题意得,y=cos(2x+φ)的图象的对称中心为(破题关键),因此2×+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=-.
3.C　由题意可得h(x)=2sin=2sin,
因为f(x)与h(x)的图象关于x轴对称,
所以f(x)=-h(x)=-2sin,
令+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
通过分析选项知C正确.
4.AD　令2x-≠kπ+,k∈Z,则x≠+,k∈Z,∴函数f(x)的定义域为,故A正确;
函数|f(x)|的最小正周期T=,g(x)=|sin x|的最小正周期T'=π,故B错误;
对于C,令2x-=,k∈Z,则x=+,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z,故C错误;
对于D,令kπ-<2x-∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故D正确.
5.D　A选项,若g(x)=f,则g(0)=f>0,与题图2不符合,所以A错误.
B选项, f(x)=cos x的图象向右平移1个单位长度得到y=cos=cos=sin x的图象,
再将横坐标缩小为原来的一半,纵坐标不变,得到g(x)=sin πx的图象,
所以g=sin π=sin=sin =,所以B错误.
C选项,由g(x)=lox,得sin πx=lox,设h(x)=lox,
则h(1)=0,h(4)=lo4=-1,画出y=g(x)和y=h(x)的图象,如图所示,
由图可知,两个图象有5个交点,所以方程g(x)=lox有5个不相等的实数解,所以C错误.
D选项,由g(x)=sin πx>,得2kπ+<πx<2kπ+,k∈Z,得2k+的解集为,k∈Z,所以D正确.
6.答案　
解析　由题意得g(x)=2sin,
因为对于任意的x1∈,总存在唯一的x2∈,使得f(x1)=g(x2)+2,所以g(x2)=f(x1)-2在x2∈上有唯一解.
设t=ωx2+,当x2∈时,t∈,
所以sin t=在上有唯一解,由x1∈得x1+∈,所以f(x1)∈[1,2],故∈.如图:
结合图象可得≤+<,解得2≤ω<,
故ω的取值范围为.
7.解析　(1)由可得φ=-,
∵当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,∴f(x)的最小正周期T满足T==,即ω=2,
∴f(x)=2sin,∴f=2sin =.
(2)根据已知得g(x)=2sin,
∵x∈,∴4x+∈[-π,π],∴y=g(x)在区间上的值域是[-2,2].
(3)x∈时,2x-∈,
此时f(x)min=-, f(x)max=1,
∵不等式c∴即解得-3故c的取值范围是(-3,-).
8.解析　(1)由题意知f(x)的最小正周期T=π,
又T=,所以ω=2,故f(x)=sin(2x+φ)+b,
而g(x)=sin+b-1=sin+b-1,
因为g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以b-1=0,且2×0++φ=kπ(k∈Z),则b=1,φ=kπ-(k∈Z),又-<φ<,所以φ=-,因此f(x)=sin+1.
(2)由(1)得g(x)=sin 2x,
令t=sin 2x,x∈,则t∈[0,1],由关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,得方程3t2+mt+2=0在t∈[0,1)内仅有一个根,且另一个根不等于1.
解法一:令h(t)=3t2+mt+2,则或解得m<-5或m=-2,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}.
解法二:显然0不是该方程的根,则-mt=3t2+2,即-m=3t+,故直线y=-m与函数y=3t+的图象在t∈(0,1)内有且仅有一个交点,且另一个交点不为(1,5),
易得函数y=3t+在上单调递减,在上单调递增,
故-m>5或-m=2,解得m<-5或m=-2,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}.
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