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2027湘教版高中数学必修第一册
专题强化练6　统计思想的应用
1.(多选题)(2025甘肃平凉第一中学期末)经统计,某天某景点的老、中、青年旅客的人数之比为5∶2∶3,现采用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人,若青年旅客抽到90人,则下列说法中正确的是(　　)
A.被抽到的老年旅客和中年旅客的人数之和超过200
B.n=300
C.中年旅客抽到40人
D.老年旅客抽到150人
2.甲、乙两组各八名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)如下:
甲:9,16,25,18,24,x,27,24;
乙:8,17,y,13,24,28,20,22.
已知甲组数据的第25百分位数为14,乙组数据的平均数为18.5,则x,y的值分别为(　　)
A.12,16　　　　B.12,18　　　　
C.14,16　　　　D.14,18
3.(多选题)(2025辽宁鞍山普通高中月考)PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.PM2.5的日均值在35 μg/m3以下,空气质量为一级;PM2.5的日均值在35~75 μg/m3范围内,空气质量为二级;PM2.5的日均值超过75 μg/m3为超标.某地12月1日至10日PM2.5的日均值变化的折线图如图所示,则(　　)
A.这10天PM2.5的日均值的第80百分位数为60 μg/m3
B.前5天PM2.5的日均值的极差小于后5天PM2.5的日均值的极差
C.这10天PM2.5的日均值的中位数为41 μg/m3
D.前5天PM2.5的日均值的方差小于后5天PM2.5的日均值的方差
4.(多选题)(2024云南师范大学附属中学期末)在某市高二举行的一次数学考试中,共有2 000人参加考试.为了了解本次考试学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,样本容量为n.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,如图所示.其中,成绩在[50,60)内的人数为16.则下列结论正确的有(　　)
A.样本容量n=1 000
B.x=0.030
C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D.该市要对成绩在前20%的学生授予“优秀学生”称号,则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
5.(多选题)(2025甘肃天水第一中学期中)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10天,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:
甲地:中位数为2,极差为5;
乙地:总体平均数为2,众数为2;
丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;
丁地:总体平均数为2,总体方差为3.
甲、乙、丙、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是(　　)
A.甲地　　　　B.乙地　　　　
C.丙地　　　　D.丁地
6.对某市“四城同创”活动中的800名志愿者的年龄进行抽样调查,统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:
(1)年龄组为[25,30)所对应小矩形的高为　　　　;
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的第85百分位数为　　　　岁.(结果保留整数)
7.(2025吉林东北师范大学附属中学月考)某工厂的三个车间生产同一种产品,三个车间的产量分布如图所示,现在用样本量比例分配的分层抽样的方法从三个车间生产的该产品中,共抽取70件做使用寿命的测试,则C车间应抽取的件数为　　　　;若A,B,C三个车间产品的平均使用寿命分别为200 h,220 h,210 h,方差分别为30,20,40,则总样本的方差为　　　　.
8.(2025湖南长沙期末)某校为了解学生每日行走的步数,在全校3 000名学生中随机抽取200名,给他们配发了计步手环,统计他们的日行步数,按步数分组,得到频率分布直方图如图所示,
(1)求a的值,并求出这200名学生日行步数的众数、中位数、平均数;
(2)学校为了鼓励学生加强运动,决定对步数大于或等于13 000的学生加1分,计入期末三好学生评选的体育考核分中,估计全校每天获得加分的人数.
答案与分层梯度式解析
1.ABD　依题意得,=,解得n=300,B正确;
被抽到的老年旅客的人数为×300=150,被抽到的中年旅客的人数为×300=60,60+150=210,故A,D正确,C错误.
2.A　将甲组中除x外的7个数据从小到大排列为9,16,18,24,24,25,27,
因为8×25%=2,且×(9+16)=12.5≠14,×(16+18)=17≠14,所以×(16+x)=14,所以x=12.
因为×(8+17+y+13+24+28+20+22)=18.5,
所以y=16.
3.BD　10个数据从小到大排列为30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,
因为10×80%=8,所以这10天PM2.5的日均值的第80百分位数为=69(μg/m3),A选项错误.
前5天PM2.5的日均值的极差为41-30=11(μg/m3),后5天PM2.5的日均值的极差为80-45=35(μg/m3),B选项正确.
这10天PM2.5的日均值的中位数是=43(μg/m3),C选项错误.
根据题中折线图可知,前5天数据波动幅度小于后5天数据波动幅度,所以D选项正确.
4.BC　对于A,因为成绩在[50,60)内的人数为16,所以样本容量n==100,故A错误;
对于B,由(0.016+x+0.040+0.010+0.004)×10=1,解得x=0.030,故B正确;
对于C,0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6(分),故C正确;
对于D,因为10×(0.004+0.010)+(80-78)×0.040=0.22>0.20,所以成绩在前20%的学生中不含78分的学生,所以成绩为78分的学生不能得到此称号,故D错误.
5.AD　对于A,因为甲地的中位数为2,极差为5,
所以最大值不会大于2+5=7,故A符合.
对于B,若乙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B不符合.
对于C,若丙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足总体平均数为1,总体方差大于0,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C不符合.
对于D,若至少有一天新增疑似病例超过7人,则方差的最小值为×(8-2)2=3.6,与题意矛盾,故丁地连续10天,每天新增疑似病例不超过7人,故D符合.
6.答案　(1)0.04　(2)39
解析　(1)设年龄组为[25,30)所对应小矩形的高为a,根据题意,得5×(0.01+a+0.07+0.06+0.02)=1,解得a=0.04.
(2)设志愿者年龄的第85百分位数为x,
则5×(0.01+0.04+0.07)+0.06×(x-35)=0.85,解得x≈39.
7.答案　21;89
解析　C车间应抽取的件数为70×30%=21.
总的样本平均数=20%×200+50%×220+30%×210=213,
故总的样本方差s2=×[30+(200-213)2]+×[20+(220-213)2]+×[40+(210-213)2]=89.
8.解析　(1)由题意可得(0.005+0.055+0.09+0.15+a+0.08+0.015+0.005)×2=1,解得a=0.1.
因为步数在[8,10)内的频率最大,所以众数为9千步.
步数小于8千的频率为0.01+0.11+0.18=0.3,步数小于10千的频率为0.01+0.11+0.18+0.3=0.6,所以中位数在(8,10)内,设中位数为x千步,
则0.01+0.11+0.18+0.15(x-8)=0.5,解得x=,
所以中位数为千步.
平均数为(0.005×3+0.055×5+0.09×7+0.15×9+0.1×11+0.08×13+0.015×15+0.005×17)×2=9.44(千步).
(2)由题图可知步数大于或等于13 000的频率为+0.03+0.01=0.12,
则估计全校每天获得加分的人数为3 000×0.12=360.
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