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北京市第一零一中学2025~2026学年下学期阶段测试八年级数学（6月）
一、选择题
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.把方程化成一般式，则，，的值分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.用配方法解方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为( )
A. B. C. D. 不确定
5.甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶次，每次命中的环数如下：
甲：，，，， 乙：，，，，
则这两组数据的方差的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
6.如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.若关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
8.如图，在正方形中，对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作交于点若四边形，则的长为( )
A. B. C. D.
9.点在第一象限内，且，点的坐标为设的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系式的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，平分交于点，交于点，交于点，有以下结论：
四边形一定是平行四边形；
保持的大小不变，改变的长度可使成立；
保持的长度不变，改变的大小可使成立．
其中所有的正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12.若一次函数的图象过点，请写出一个符合条件的函数解析式 ．
13.某班有名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下表所示．
服务时长小时
人数人
这名同学社区服务的平均时长是 小时．
14.如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为 ．
15.如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点四个结论：；；当时，；当时，其中正确的是 ．
16.某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下：
每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成；
每人同一时间只能进行一项工作：
“家务”与“家务”的第二阶段由机器完成；
每项家务的各阶段所需时间如下表所示：
家务类别阶段用时 第一阶段用时分 第二阶段用时分
家务
家务
家务
家务
在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要 分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要 分钟．
三、解答题
17.解下列关于的方程：
；
．
18.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点．
求该函数的解析式；
的面积为 ．
19.下面是小明“作矩形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．
求作：矩形点在上，点在上．
作法：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点点与点在异侧；
连接交于点；
以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
连接．
则四边形为所求作的矩形．
根据作法补全图形，保留作图痕迹；
根据小明的作法完成下面的证明．
证明：连接．
四边形是平行四边形，
．
，
四边形是平行四边形． 填写推理依据．
，
四边形为 ，
，
，
四边形为矩形 填写推理依据．
20.为普及健康生活方式，倡导学生“合理运动，健康生活”，学校举办“健康使者”评比活动．每位同学需要参加科普知识、体育竞技和创意实践三项评比，每项评比成绩均按百分制打分．评委会将三项评比成绩按的比例计算出每人的总评成绩，在全校参加评比活动的学生中，随机选出名学生的成绩数据整理如下：
名学生总评成绩的频数分布直方图如下图所示：数据分组，每组包含最小值，不包含最大值
其中总评成绩在分的学生成绩如下：，
小聪和小明三项评比成绩及总评成绩如下：
科普知识成绩 体育竞技成绩 创意实践成绩 总评成绩
小聪
小明
根据以上信息，回答下列问题：
名学生总评成绩的中位数为 ；
名学生中总评成绩在分的学生成绩的众数为 ；
上表中 ；
若总评成绩不少于分的学生可获得“健康使者”奖章，则全校名参加此次评选活动的学生中约有 名学生可以获得奖章．
21.近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆．则新能源汽车出口量的年平均增长率为多少？
22.已知：关于的一元二次方程．
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
求证：无论为何值，方程总有一个固定的根．
23.在平面直角坐标系中，函数的图象是函数的图象向上平移个单位得到的．
直接写出，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
24.如图，在 中， ， 是 中点， ， 是 的角平分线，连接 ．
求证：四边形 是菱形；
若 ，求 的长．
25.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
经历同样的过程画函数和的图象．
函数的自变量的取值范围 ，对于函数，当 时，．
观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．
图象关于 对称．
对于函数，当时，的取值范围 ．
拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是什么．
26.在中，，过点作，且，点与点在异侧，连接．
当时，如图，若，，求线段的长；
当时，点，分别为，的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
27.在平面直角坐标系中，对于线段及线段上一点不与，重合给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段关于点的“中顶点”．
如图，点，，在图中画出线段关于点的“中顶点”；
已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围；
已知点，，点为线段上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，若矩形的四条边包含端点上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】答案不唯一
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】【小题】
解：对于方程，
，
利用求根公式得，
即．
【小题】
解：，
整理得，
移项得，
因式分解得，
或，
．

18.【答案】【小题】
解：一次函数的图象经过点和点，
，解得
一次函数的解析式为；
【小题】

19.【答案】【小题】
解：如图所示，四边形为所求矩形：
【小题】
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
菱形
有一个角是直角的平行四边形是矩形

20.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
【小题】

21.【答案】解：设年平均增长率为，
由题意，得，
整理，得，
开平方，得，
增长率，
，
，
新能源汽车出口量的年平均增长率为．

22.【答案】【小题】
解：，
方程有两个不相等的实数根，
且，
且，
的取值范围是且；
【小题】
证明：，
由求根公式得
，
，
，
无论为何值，方程总有一个固定的根是．

23.【答案】【小题】
解：函数的图象向上平移个单位，可得，
函数的图象是函数的图象向上平移个单位得到的，
，；
【小题】
解：由一次函数的解析式为，
当时，，
把点代入，得，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
．

24.【答案】【小题】
证明： ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
， 是 中点，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
【小题】
解： ，
又 ，
，
是等边三角形，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，
．

25.【答案】【小题】
全体实数
【小题】

【小题】
解：由图可得，的顶点为，的顶点为，即顶点为，
当时，其顶点坐标为，对称轴为直线，
系数，
函数图象开口向上，且当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当时，当都在函数对称轴的左边时或为顶点时，如图，
此时
解得；
当在函数对称轴的左边，在函数对称轴的右边时，如图，
此时，
根据题意得，，
，无法求出具体范围，故舍去；
当都在函数对称轴的右边时或为顶点时，如图，
此时，不符合题意舍去．
综上所述，的取值范围为．

26.【答案】【小题】
解：，，，
．
过点作，交的延长线于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在中，；
【小题】
线段，，之间的数量关系为，证明如下：
过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
．
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，即．
连接，，，，如图，
点是的中点，，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
点是的中点，，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
．
取的中点，连接，，，如图，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
，
．
，，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
在中，，
，即．

27.【答案】【小题】
解：，，
为等边三角形，
以为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
四边形为菱形，
，，，
，，
，
，
，，
，，
，，
为等边三角形，
以为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
四边形为菱形，
，，，
，，
，
，
，，
，，
的中点，的中点，的中点，的中点，
如图，点，，，为线段关于点的“中顶点”：
【小题】
解：的中点记为，的中点记为，的中点记为，的中点记为，
延长，交于点，的中点记为点，的中点记为点，
延长，交于点，的中点记为点，的中点记为点，
根据“中顶点”的定义可知，，，，
，，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，，
点在线段上运动，且不与点，点重合，
同理可得，，
点在线段上运动，且不与点，点重合，
点在线段上运动，且不与点，点重合，
点在线段上运动，且不与点，点重合，
，，
，，
，
在延长线上截取，则，，
，
为等边三角形，
，，
，
线段的垂直平分线交轴于点，连接，则，
，
，
当时，两条坐标轴上都存在线段的“中顶点”，不符合题意，
当时，只有轴上存在线段的“中顶点”，符合题意，
当时，两条坐标轴上都不存在线段的“中顶点”，不符合题意，
满足条件的的取值范围是．
【小题】
解：，，
，线段的中点为，
以为底边，作顶角为的等腰三角形和等腰三角形，作等边三角形和等边三角形，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，阴影区域为线段关于点的某个“中顶点”的运动轨迹，
矩形的四条边包含端点上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，
矩形的四条边与阴影区域有交点，
随着的变化，阴影区域沿轴平移，，，，，
当点在线段上时，，
当点在线段上时，，
当点在线段上时，，
当点在线段上时，，
的取值范围是或．

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