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北京市第一七一中学2025–2025学年下学期九年级5月阶段测试数学试卷
一、选择题
1.下列几何体的三视图之一是长方形的是( )
A. B. C. D.
2.若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，则正确的结论是( )
A. B. C. D.
3.用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为 ( )
A. B. C. D.
4.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程：
以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，；
以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
作射线，与延长线父于点，点为延长线上一点．
根据以上作法，下列结论不成立的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，直线，与之间的距离为点是直线上一定点，点在直线上运动，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，则在点从左至右运动的过程中，当位于之间时，下列结论中一定成立的是( )
每个不同的点，使得到的距离都不相等；
每个不同的点，使得点到的距离都不相等；
为定值；
当点在上且，是定值．
A. B. C. D.
7.如图，在正方形中，点在上，，相交于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接，，若的面积为，则下列结论：与的面积一定相等；的面积为；；为的中点．其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.若 在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ， ．
13.有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下：
每周肌肉锻炼时长
人数
根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有 人．
14.如图，若，，则 度．
15.图是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度厘米与注水时间分钟之间的关系如图所示．图中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系选填“甲”或“乙”；点的纵坐标表示的实际意义是 ．
16.甲地有吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
类型 载重量吨 运费元车
大货车
小货车
运完这批货物最少要支付运费 元．
三、解答题
17.计算：．
18.解不等式组
19.已知是方程的一个根，求的值．
20.如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的周长．
21.在繁华的商业街上，有一家颇受欢迎的数码产品店．一月份，该店新上架了两款电话手表，一款是功能更强大、带有摄像头的升级款，另一款则是基础实用、不带摄像头的普通款．已知普通款的单价是升级款的，一月份升级款电话手表的销售额达到了元，普通款的销售额为元，两款电话手表总共售出只．
分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价；
随着二月份开学季的临近，数码店为了吸引更多学生和家长购买，开展了降价促销活动．在一月份价格的基础上，升级款电话手表每只降价元，而普通款的单价维持不变．活动开展后，升级款电话手表的销量增加了只，普通款电话手表的销量减少了只，最终二月份两款电话手表总的销售额比一月份增加了元，求的值．
22.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围．
23.校篮球队教练选出甲、乙、丙、丁四名队员参加定点投篮测试．对这四名队员最近轮测试每轮投球，记录命中数的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
乙、丙两名队员轮测试命中数的折线图：
丁队员轮测试命中数：，，，，，，，，，
四名队员轮测试命中数的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
表中的值为 ，的值为 ；表中 填“”“”或“”；
根据这轮测试成绩，教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试命中数大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名队员按实力由强到弱依次为 ．
24.如图，在中，，以斜边上一点为圆心，为半径作，交于点，交于点，且．
求证：是的切线；
连接交于点，若，求的值．
25.小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比简称剩余电量占比与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程单位：和单位：的部分数据：
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象．
根据上述数据和函数图象，解决下列问题：
当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶 结果精确到；
假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车 填“能”或“不能”将小明送到幼儿园；
若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为 精确到
26.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在点的左边，与轴交于点．
当时，求的长；
过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围．
27.在中，，，点在边上不与点，重合，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
根据题意补全图形，并证明：；
过点作的平行线，交于点，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系中，对于半径为的和它的一条弦，若点满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧不含，的较短弧上的所有点均在的内部或边上，则称点为弦的“等弦包络点”．
已知点，，，则在的弦、、中，存在等弦包络点的弦是
直线与轴、轴分别交于点、若线段不含，上存在的某条长度为的弦的等弦包络点，直接写出的取值范围；
弦是的一条弦，，点是的中点．若直线上有且仅有两个弦的等弦包络点，直接写出点的横坐标的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 答案不唯一
答案不唯一

13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】乙
乙槽中铁块的高度为

16.【答案】
17.【答案】解：
．

18.【答案】解：
解不等式得；
解不等式得；
原不等式组的解集为．

19.【答案】解；是方程的一个根，
，
，
．

20.【答案】【小题】
证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
，即，
在中，，是中点，
，
在中，是中点，
，
，
平行四边形是菱形；
【小题】
解：在中，，，
，
是中点，
，
四边形是菱形，
四边形的周长．

21.【答案】【小题】
解：设升级款电话手表的单价为元，则普通款电话手表的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
，
答：升级款电话手表的单价为元，普通款电话手表的单价为元；
【小题】
解：一月份升级款电话手表的销量为只，普通款电话手表的销量为只，
根据题意，得，
解得，不合题意，舍去，
答：的值为．

22.【答案】【小题】
解：一次函数的图象经过点和，
解得；
【小题】
解：由可得一次函数的关系式为．
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数，又小于函数的值，
当一次函数与重合时，，不合题意，
当时，在时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值；
当函数经过点时，，
解得，
此时当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值；
所以当时，当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值．

23.【答案】【小题】
【小题】
甲、丁、乙、丙

24.【答案】【小题】
证明：连接，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
【小题】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
．

25.【答案】【小题】
解：如图所示．
【小题】
答案不唯一
不能
合理即可

26.【答案】【小题】
解：由，
令，得，解得，，
，，
当时，，
；
【小题】
解：令，得，
，
由知，，
设直线的解析式为，代入，，
，解得
直线的解析式为，
轴，
，，
，
，
，
在轴正半轴，点从出发，沿某方向运动使长度逐渐增大，
当，即，此时点在左侧或重合，
点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大，
，如图，
当时，随的增大而增大，不符合题意，舍去，
当，即，此时点在右侧，
点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大，
点向左运动时，满足的长度逐渐增大，
，如图，
对称轴为直线，
点与点的距离随长度的增大先变小后变大，
，
综上所述，满足条件的的取值范围是．

27.【答案】【小题】
补全的图形如图所示．

证明：，
，
由旋转的性质可知，即，
．
【小题】
；
证明：如图，作于点，与直线交于点，

．
由旋转的性质可知，
由可知，
，
，．
，
．
，
，
，
，
．
，
，
，，
，
．

28.【答案】【小题】
【小题】
解：如图，是长为的弦，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，此时圆弧与切线交于一点，连接，
由可知，，
是切线，
，，，
，
则，
在中，，
根据圆的旋转不变性可知，长度为的弦的等弦包络点在以为圆心，以为半径的圆上，如图所示
直线，
，，
当线段不含，上存在的某条长度为的弦的等弦包络点时，线段与以为圆心，以为半径的圆有交点，且交点不与，重合，
当为时，，
综上所述，．
【小题】
解：如图，是长为的弦，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，分别交两条切线于，，，，
根据定义，等弦包络点应和劣弧在的同侧，则满足条件的等弦包络点在劣弧和劣弧上，
与相切，设切点为，弦在直线上的等弦包络点为，
若直线上有且仅有两个弦的等弦包络点，则劣弧和劣弧组成的图形与直线有两个交点，
，，
，
，
如图，当，在直线上时，与重合，
此时，，，则的中点，
如图，当两弧的交点在直线上时，连接，，，
分别以、为圆心，为半径画弧，两弧的交点为，
垂直平分，为等边三角形，
即，，三点共线，，
，
，
，
，，
，
则，
根据相似的性质，的横坐标与的横坐标满足，
即，则，
如图，当在直线上时，连接，交于，过点作于，过点作于，
此时，和为的切线，
则，，
，垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
则，
，，
，
，为的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是的中点，
，
综上，点的横坐标的取值范围为，．

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